生長形態(tài)：把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的新視角*

□王兆正

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)生能夠獲得什么？一個(gè)重要因素取決于數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)知識的把握程度。筆者把對數(shù)學(xué)知識的把握分為兩種不同層次的形態(tài)，一種是“這是數(shù)學(xué)規(guī)定，知識就是這樣的”，可以稱之為數(shù)學(xué)知識抽象后的結(jié)論形態(tài)；另一種是“為什么會這樣規(guī)定，這個(gè)知識怎樣成為這樣的呢”，可以稱之為數(shù)學(xué)知識形成中的生長形態(tài)。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來。一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的思考變成冰冷的美麗。正因?yàn)閿?shù)學(xué)知識具有這樣一種抽象性、靜態(tài)化的特征，在研究不同版本的數(shù)學(xué)教材后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材多以精練、簡潔的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，往往省去了數(shù)學(xué)知識的背景描述和探索猜想的思維過程，省去了數(shù)學(xué)知識所隱含的數(shù)學(xué)思想方法的揭示。

這樣帶來的一個(gè)問題是，部分教師把數(shù)學(xué)教材中的知識結(jié)論簡單地搬運(yùn)給學(xué)生，并反復(fù)地加以訓(xùn)練，以期鞏固?！爸恢v推理，不講道理”。數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)知識的把握停留于結(jié)論形態(tài)，而忽視了生長形態(tài)的數(shù)學(xué)知識所帶給學(xué)生思維的啟蒙和滋潤的價(jià)值。張奠宙教授說，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)在于返璞歸真，把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)新時(shí)的火熱思考。只有經(jīng)過思考，才能最后理解這份冰冷的美麗。因此，生長形態(tài)，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教材解讀、把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的新視角。

如何從生長形態(tài)的視角把握數(shù)學(xué)知識，解讀數(shù)學(xué)教材呢？筆者通過追問三個(gè)問題、達(dá)成三個(gè)教學(xué)思考來嘗試教學(xué)實(shí)踐。

追問之一：為什么數(shù)學(xué)規(guī)定成這樣

【思考】數(shù)學(xué)知識是創(chuàng)造出來的，不是天生就有的

數(shù)學(xué)知識中有許多規(guī)定，比如數(shù)學(xué)符號“+、-、×、÷”、數(shù)學(xué)運(yùn)算法則先乘除后加減、數(shù)學(xué)單位換算進(jìn)率、數(shù)學(xué)各類公式等。但教師往往會覺得，這就是先天既有的規(guī)定，并沒有成為教學(xué)資源，從而很少去考慮是誰這樣規(guī)定的，為什么規(guī)定成這樣。

比如在教學(xué)“認(rèn)識多位數(shù)”時(shí)，學(xué)生和教師都很少感覺到為什么我國的計(jì)數(shù)習(xí)慣是“四位一級”，而很多講英語的國家是“三位一級”？它們之間有什么區(qū)別？有的教師心目中會自然歸因?yàn)檫@是不同民族的習(xí)慣。

但究其根本原因在于文化背景的不同。西方英語國家中沒有“萬”這個(gè)名稱，他們的計(jì)數(shù)單位分別是one（個(gè)）、ten（十）、hundred（百）、thousand（千）、ten thousand（十千）、hundred thousand（百千）、million（百萬）、ten million（十百萬）、hundred million（百百萬）……在這樣的文化背景下，“三位一級”就比較方便，每級分別表示多少個(gè)一、多少個(gè)千、多少個(gè)百萬……而在中國，因?yàn)橛?jì)數(shù)單位包括個(gè)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬……在這樣的文化背景下，自然選擇四位一級，每級分別表示多少個(gè)一、多少個(gè)萬等。

這樣的例子有很多。每一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)定都值得我們?nèi)プ穯枺簽槭裁磾?shù)學(xué)規(guī)定成這樣？在這些追問中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識其實(shí)也不是天生就有的，探查其源頭，發(fā)現(xiàn)它們并不神秘和復(fù)雜，相反，卻能從中感受到一種非常親切和豁然開朗的感覺：它是數(shù)學(xué)家們對生活常識的一種合理遷移和概括。讓學(xué)生擁有這樣一種學(xué)習(xí)經(jīng)歷，那么數(shù)學(xué)在他們眼里，一定不會枯燥和深奧，相反，數(shù)學(xué)是一種鮮活的事物、創(chuàng)造的啟迪。教師引導(dǎo)學(xué)生弄清知識產(chǎn)生的淵源，學(xué)生就能更深刻地理解數(shù)學(xué)知識。

追問之二：數(shù)學(xué)規(guī)定除了這樣，還曾經(jīng)是什么樣子的

【思考】數(shù)學(xué)知識經(jīng)歷了優(yōu)化發(fā)展，不是天生這樣的

當(dāng)前的數(shù)學(xué)知識是人類文化發(fā)展歷史積淀下來的精神財(cái)富，經(jīng)歷了漫長的發(fā)展、演化的過程，經(jīng)過時(shí)間長河的篩選，已經(jīng)相當(dāng)?shù)耐陚浜途?。但在學(xué)生的世界里，他們往往無法感受到數(shù)學(xué)發(fā)展過程的艱辛歷程，認(rèn)為數(shù)學(xué)知識就是這樣的，而對數(shù)學(xué)的精妙感受不深刻。

比如十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯有一段非常精彩的闡述：用十個(gè)符號來表示一切的數(shù)，每個(gè)符號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種很巧妙的方法來自印度。這是一個(gè)非常深遠(yuǎn)而又重要的思想，它在今天看來是如此簡單，以至我們忽視了它真正的偉績。但正是它的簡單性以及對一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使得我們的算式在一切有用的發(fā)明中排列首位。而當(dāng)我們想到它竟然能夠逃過古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想關(guān)注時(shí)，我們更加感到這成就的偉大了。

在教學(xué)四年級“大數(shù)的認(rèn)識”時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考：十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從古至今就是這樣的嗎？古人又是怎么計(jì)數(shù)的呢？我們回顧遠(yuǎn)古時(shí)候人們使用的石子計(jì)數(shù)法（如圈養(yǎng)的禽畜放出去一只放一粒石子，回來再用同樣的方法丟掉以檢查。隨著數(shù)量增加，又規(guī)定數(shù)位堆，每一堆相當(dāng)于10只）、結(jié)繩計(jì)數(shù)法（一個(gè)結(jié)表示1 個(gè)，滿10 個(gè)打一個(gè)大結(jié)）、算籌計(jì)數(shù)法，再到后來用算盤計(jì)數(shù)、位值計(jì)算，等等。教師進(jìn)一步比較、歸納：以上幾種方法雖然形式各不相同，但它們有個(gè)共同點(diǎn)就是不同的位置表示不同的數(shù)值。

數(shù)學(xué)十進(jìn)位制的產(chǎn)生，說明數(shù)位順序表是人類經(jīng)過相當(dāng)漫長的一段時(shí)間探索，歷經(jīng)無數(shù)艱辛，在眾多的計(jì)數(shù)方法的基礎(chǔ)上漸漸形成的。在這個(gè)過程中，學(xué)生感受到任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識都不是簡單的，都有其復(fù)雜的發(fā)展過程。這樣有利于學(xué)生真正深入地去看待數(shù)學(xué)知識。

作為數(shù)學(xué)教師，我們需要讓學(xué)生保持一種理性的精神：為什么會有這樣的規(guī)定，而不是其他的可能呢？數(shù)學(xué)規(guī)定曾經(jīng)是什么樣子的呢？讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識不是先天預(yù)存的一堆“真理”，它是一步步發(fā)展形成的，因此，是可以被質(zhì)疑、可以被變化的。

追問之三：除了數(shù)學(xué)知識結(jié)論，還能給學(xué)生什么

【思考】數(shù)學(xué)知識發(fā)展背后的規(guī)律及思想就是數(shù)學(xué)的魅力所在

數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程往往都是在教師的“指令”下完成的。學(xué)生雖然“經(jīng)歷”了這一學(xué)習(xí)過程，但卻對這一切究竟是怎樣發(fā)生的毫無感知，也無從感知。當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不同于數(shù)學(xué)家研究過程的簡單復(fù)制，也不是數(shù)學(xué)發(fā)展史的簡單濃縮，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)敏銳地感受到數(shù)學(xué)發(fā)展中的“內(nèi)核”，引導(dǎo)學(xué)生真實(shí)參與數(shù)學(xué)知識的“創(chuàng)造”“發(fā)現(xiàn)”過程。這一學(xué)習(xí)過程已不只是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的工具，其本身就是學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

比如教學(xué)“認(rèn)識乘法”時(shí)，一種教法是：2+2+2+2 還可以寫成2×4，你發(fā)現(xiàn)2 是什么，4 是什么？你還能模仿寫出一道這樣的算式嗎？這是簡單的結(jié)論形態(tài)的數(shù)學(xué)知識。另一種教法這樣設(shè)計(jì)：2+2+2+……+2（100 個(gè)2 相加），一口氣讀一讀，你有什么想法？（好長、好累、數(shù)不清楚）你能創(chuàng)造一種簡潔的寫法嗎？教師還可以借機(jī)介紹乘號的由來：1631年，英國的數(shù)學(xué)家奧托雷德發(fā)明了符號“×”，乘法是由加法而來的，表示幾個(gè)相同的數(shù)字相加，所以他把“+”斜過來寫成“×”形，既表示了加法與乘法的關(guān)系，又表示了相乘的方法。

在這個(gè)過程中，學(xué)生學(xué)到的不只是知識技能，而是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中求簡、創(chuàng)新的數(shù)學(xué)精神。

再比如許多數(shù)學(xué)教師講過高斯的故事：高斯在少年時(shí)做一道算術(shù)題：1+2+……+98+99+100=（ ），高斯迅速算出了正確答案5050。有的教師只是從數(shù)學(xué)知識的角度介紹可以一組一組地相加，1+100=101，2+99=101……一共有50組，即101×50=5050，甚至還會歸納出“等差數(shù)列之和=（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”的結(jié)論。其實(shí)教師可以從生長形態(tài)的角度，關(guān)注高斯的數(shù)學(xué)思維活動過程，引導(dǎo)學(xué)生模擬場景：首先，高斯看到這個(gè)問題的第一感受是什么呢？高斯可能想：這么長的算式，不能直接一個(gè)個(gè)相加吧？那也太煩瑣了。接著，高斯會怎么想呢？高斯會想，有沒有簡便的計(jì)算方法呢？這說明高斯思維的靈活性。然后，高斯會怎么做呢？他的做法是：觀察這些數(shù)字是否有特征？很快，他就發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字依次加1，很有規(guī)律。這也說明高斯思維的直覺性和概括性。最后，高斯順利地解決了問題。這樣，學(xué)生在聽故事的過程中，感受到高斯思維變化的過程。這是學(xué)生最為寶貴的數(shù)學(xué)文化財(cái)富。

通過經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生獲得的是知識背后的數(shù)學(xué)思想方法，是不斷生長的活動經(jīng)驗(yàn)，是支持學(xué)生發(fā)展的心理結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)從知識層面躍升到精神層面、認(rèn)知方法層面，能夠在新情境中自我適應(yīng)、創(chuàng)生和發(fā)展。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中“既有作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，又有作為教育的數(shù)學(xué)”，具有數(shù)學(xué)知識深刻理解的數(shù)學(xué)，教師能夠自覺地自我追問以及引導(dǎo)學(xué)生追問：為什么數(shù)學(xué)規(guī)定成這樣？除了這樣，還曾是怎樣的？除了結(jié)論，還能提供什么？能夠不斷重溫并強(qiáng)化“簡單而有用”的基本思想與經(jīng)驗(yàn)，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠獲得智慧的啟蒙、素養(yǎng)的滋潤和生長的力量，重新賦予數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的魅力！