例談具體函數(shù)抽象化解題

雷亞慶

我們?cè)诮鉀Q抽象問(wèn)題時(shí)往往把它具體化，便于理解，但是有些具體函數(shù)的問(wèn)題被繁雜的表象掩蓋了本質(zhì)，或解法很明確，卻面臨繁瑣的化簡(jiǎn)與運(yùn)算．而這時(shí)我們反其道而行之，把具體函數(shù)抽象化，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，往往會(huì)收到事半功倍的效果．

例1定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=-5x-sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

分析如果直接導(dǎo)入解析式則所得不等式為

-5（1-a）-sin（1-a）+［-5（1-a2）-sin（1-a2）］＞0．

面對(duì)這樣復(fù)雜的不等式，我們只能望洋興嘆，但如果我們改變思維習(xí)慣，利用函數(shù)的單調(diào)性（問(wèn)題的本質(zhì)所在）將其轉(zhuǎn)化為抽象不等式求解，則會(huì)大大簡(jiǎn)化．

解函數(shù)y=-5x在（-1，1）上是減函數(shù)，因?yàn)椋瘮?shù)y=-sinx在（-1，1）上是減函數(shù)，所以f（x）=-5x-sinx在（-1，1）上是奇函數(shù)，且是減函數(shù)．

則f（1-a）+f（1-a2）＞0可化為f（1-a）＞-f（1-a2），即f（1-a）＞f（a2-1），

例2已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=x2，且?x∈［t，t+2］，都 有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范圍．

分析本題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題中的恒成立問(wèn)題解決，但需要分類，解答會(huì)很繁瑣，如利用抽象函數(shù)的單調(diào)性解決則容易得多．

解易求得

從而可以推出函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

已知抽象函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，且對(duì)任意的x∈［t，t+2］，都有f（x+t）≥恒成立，求t的取值范圍．

所以h（x）max=h（t+2）2），

例3設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M+m=________．

分析該組合函數(shù)的最值很難直接求出，如果我們把原函數(shù)分解為一個(gè)奇函數(shù)與常數(shù)的和后，利用奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)則可順利解決問(wèn)題．

解化 簡(jiǎn)=，

即g（x）max+g（x）min=0，

而f（x）max=1+g（x）max，f（x）min=1+g（x）min，

所以f（x）max+f（x）min=2．

平時(shí)解題中我們更習(xí)慣利用具體函數(shù)來(lái)幫助理解抽象函數(shù)問(wèn)題，而上述問(wèn)題則反其道而行之，把具體問(wèn)題抽象化，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．通過(guò)這樣的逆向思維，可以加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成良好的思維習(xí)慣．

鞏固練習(xí)

1.已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=x2，且?x∈［-2，2］，都 有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范圍．

2.已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=sinx+2x，且有f（1+a）+f（a）＜0，求a的取值范圍．

參考答案