合理選擇參數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算
——以圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題為例

余建國(guó)

圓錐曲線(xiàn)因運(yùn)動(dòng)而精彩紛呈．在定性證明和求最值類(lèi)問(wèn)題中，選取什么參變量表示運(yùn)動(dòng)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到定值或建立目標(biāo)函數(shù)呢？這里不僅是計(jì)算問(wèn)題，更是算法的優(yōu)化問(wèn)題．本文和同學(xué)們探討如何選取參數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算．請(qǐng)看下面問(wèn)題：

例如圖1，已知橢圓，點(diǎn)B，C分別是橢圓O的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)l：y=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外），直線(xiàn)PC交橢圓于另一點(diǎn)M．

圖1

（1）記直線(xiàn)BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．

先解決問(wèn)題（1）．

分析一根據(jù)“點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，可以設(shè)P坐標(biāo)為（m，-2），這樣用m表示直線(xiàn)BM，BP的斜率，計(jì)算k1·k2為定值，即k1·k2的值與參數(shù)m無(wú)關(guān)．

證明一P坐標(biāo)為（m，-2），則直線(xiàn)BP的斜率．

分析二事實(shí)上，我們也可以將問(wèn)題表述為“M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B，C不重合），直線(xiàn)CM與l交于點(diǎn)P”．這樣我們可以設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），將它作為參數(shù)．

證明二設(shè) 點(diǎn)M（x0，y0），則，即．

分析三既然我們認(rèn)為“主動(dòng)點(diǎn)”為M，當(dāng)然就可以選擇直線(xiàn)BM的斜率為參數(shù)．

證明三直 線(xiàn)BM的 方 程 為y=k1x+1．

于是，直線(xiàn)PM，即MC的斜率為kMC=方程為

在直線(xiàn)PM的方程中令y=-2，得P（4k1，-2），于是直線(xiàn)PB的斜率k2=．

顯然，我們也可以用直線(xiàn)PM，即PC的斜率kPC為參變量，一方面求點(diǎn)P的坐標(biāo)，另一方面求點(diǎn)M的坐標(biāo)，證明過(guò)程類(lèi)似．

歸納總結(jié)在圓錐曲線(xiàn)定性證明中，不同的視角決定我們選取不同的參變量，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，計(jì)算k1·k2的值，最終這個(gè)值中參變量被消去了，我們就實(shí)現(xiàn)了“定”的目的．比較而言，還是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法運(yùn)算量較小，這里省去了聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程解交點(diǎn)的計(jì)算．同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的解題中是否有這種感覺(jué)呢？

解法一由（1）知，=（-m，3），，

令m2+4=t＞4，故．

解法二設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）（x0≠0），

令t=y0+1，t∈（0，2），則以下略．

以斜率為參變量的方法留給同學(xué)們自己去解決．

解析幾何的思想就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題．如何表示平面上點(diǎn)或線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)變化？點(diǎn)的變化用坐標(biāo)描述，線(xiàn)的變化用斜率（旋轉(zhuǎn)）或截距（平移）表示．在復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，我們往往從“主動(dòng)”開(kāi)始，依次描述“從動(dòng)”，就能將運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程表達(dá)清楚，定性證明、求最值類(lèi)問(wèn)題迎刃而解．正如我們只有抓住舞動(dòng)彩練的棒子，彩練才能隨心而動(dòng)，舞出絢麗的色彩！