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    合理選擇參數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算
    ——以圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題為例

    2019-04-10 07:46:10余建國(guó)
    關(guān)鍵詞:參變量設(shè)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)

    余建國(guó)

    圓錐曲線(xiàn)因運(yùn)動(dòng)而精彩紛呈.在定性證明和求最值類(lèi)問(wèn)題中,選取什么參變量表示運(yùn)動(dòng),通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到定值或建立目標(biāo)函數(shù)呢?這里不僅是計(jì)算問(wèn)題,更是算法的優(yōu)化問(wèn)題.本文和同學(xué)們探討如何選取參數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算.請(qǐng)看下面問(wèn)題:

    例如圖1,已知橢圓,點(diǎn)B,C分別是橢圓O的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)P是直線(xiàn)l:y=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與y軸交點(diǎn)除外),直線(xiàn)PC交橢圓于另一點(diǎn)M.

    圖1

    (1)記直線(xiàn)BM,BP的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

    先解決問(wèn)題(1).

    分析一根據(jù)“點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”,可以設(shè)P坐標(biāo)為(m,-2),這樣用m表示直線(xiàn)BM,BP的斜率,計(jì)算k1·k2為定值,即k1·k2的值與參數(shù)m無(wú)關(guān).

    證明一P坐標(biāo)為(m,-2),則直線(xiàn)BP的斜率.

    分析二事實(shí)上,我們也可以將問(wèn)題表述為“M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B,C不重合),直線(xiàn)CM與l交于點(diǎn)P”.這樣我們可以設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),將它作為參數(shù).

    證明二設(shè) 點(diǎn)M(x0,y0),則,即.

    分析三既然我們認(rèn)為“主動(dòng)點(diǎn)”為M,當(dāng)然就可以選擇直線(xiàn)BM的斜率為參數(shù).

    證明三直 線(xiàn)BM的 方 程 為y=k1x+1.

    于是,直線(xiàn)PM,即MC的斜率為kMC=方程為

    在直線(xiàn)PM的方程中令y=-2,得P(4k1,-2),于是直線(xiàn)PB的斜率k2=.

    顯然,我們也可以用直線(xiàn)PM,即PC的斜率kPC為參變量,一方面求點(diǎn)P的坐標(biāo),另一方面求點(diǎn)M的坐標(biāo),證明過(guò)程類(lèi)似.

    歸納總結(jié)在圓錐曲線(xiàn)定性證明中,不同的視角決定我們選取不同的參變量,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,計(jì)算k1·k2的值,最終這個(gè)值中參變量被消去了,我們就實(shí)現(xiàn)了“定”的目的.比較而言,還是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法運(yùn)算量較小,這里省去了聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程解交點(diǎn)的計(jì)算.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的解題中是否有這種感覺(jué)呢?

    解法一由(1)知,=(-m,3),,

    令m2+4=t>4,故.

    解法二設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)(x0≠0),

    令t=y0+1,t∈(0,2),則以下略.

    以斜率為參變量的方法留給同學(xué)們自己去解決.

    解析幾何的思想就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.如何表示平面上點(diǎn)或線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)變化?點(diǎn)的變化用坐標(biāo)描述,線(xiàn)的變化用斜率(旋轉(zhuǎn))或截距(平移)表示.在復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,我們往往從“主動(dòng)”開(kāi)始,依次描述“從動(dòng)”,就能將運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程表達(dá)清楚,定性證明、求最值類(lèi)問(wèn)題迎刃而解.正如我們只有抓住舞動(dòng)彩練的棒子,彩練才能隨心而動(dòng),舞出絢麗的色彩!

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