規(guī)律探索題面對面

戴敏

[摘? ?要]規(guī)律探索問題頻頻出現(xiàn)在中考試題中，成為中考的一大亮點.研究規(guī)律探索問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納能力.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);規(guī)律;探索;問題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0008-02

數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活中需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.近年來，規(guī)律探索問題頻頻出現(xiàn)在中考試題中，成為中考的一大亮點.規(guī)律探索問試題旨在考查學(xué)生的觀察能力和歸納能力，它要求學(xué)生能從具體的、特殊的數(shù)據(jù)或圖形中，找出隱含的內(nèi)在的規(guī)律，然后依規(guī)律解決相關(guān)的問題.

一、數(shù)式規(guī)律探索

數(shù)式規(guī)律探索，是指先給定一列數(shù)或代數(shù)式，要求學(xué)生通過觀察已知的數(shù)或式，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律，然后運用規(guī)律寫出第n項的數(shù)或代數(shù)式.它包括數(shù)字規(guī)律探索與代數(shù)式規(guī)律探索兩種類型.在中考中，以選擇題或填空題的形式考查較為常見，偶爾也會在解答題中出現(xiàn).通過數(shù)與式的規(guī)律探索，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

[例1]一列數(shù)[a1 ， a2 ， a3]…其中[a1=12]，[an=11+an-1] （n為不小于2的整數(shù)），則[a9]的值為? ? ? ? ? ?.

解析：由[an=11+an-1]可知[a2=11+a1]，[a3=11+a2]，[a4=11+a3]，…又因為[a1=12]，通過代入，可知[a2=11+12=23]，[a3=11+23=35]，[a4=11+35=58] .? 倘若一直這樣計算下去，是不是有些麻煩？認(rèn)真觀察就會發(fā)現(xiàn)，每一個數(shù)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子排列順序是1，2，3，5 … 它們的分母排列順序是 2，3，5，8 … 這不就是著名的斐波那契數(shù)列嗎？即從第三項開始，每一項都等于前兩項的和.按此規(guī)律，分子與分母都寫到第9項，就可以得到[a9]的值，即[a9]= [5589] .

[例2]有一組多項式：[a+b2]，[a2-b4]，[a3+b6]，[a4-b8] … 請觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第10個多項式為? ? ? ? ? ? .

解析：觀察每個多項式的首項：[a]，[a2]，[a3]，[a4]? …? 顯然第10個多項式的首項為[a10];觀察每個多項式的末項：[b2]，[-b4]，[b6]，[-b8] … 顯然第10個多項式的末項為[-b20]，所以第10個多項式為[a10-b20].

評注：在數(shù)與式中探索規(guī)律，要認(rèn)真觀察已有的數(shù)與式，觀察相鄰兩項的關(guān)系（如例1中[a1]與[a2]），或項與對應(yīng)序號的關(guān)系 （如例2中[a+b2]與1， [a2-b4]與2），規(guī)律能用含n的代數(shù)式表示的用式子表示出來，困難的就用語言表達(dá)出來.這樣能使我們的結(jié)論清晰化，然后用后面的某一項或兩項進(jìn)行驗證.最后再推廣到其他各項.它很好地體現(xiàn)了“特殊——一般——特殊”的數(shù)學(xué)思想.需要熟記的數(shù)列是：（1）奇數(shù)列：1，3，5，7，…，2n-1;（2）偶數(shù)列：2，4，6，8，…，2n;（3）1，4，9，16，…，n2;（4）斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…（5）正整數(shù)前n的和：1+2+3+4+…+n = [n（n+1）2].

二、圖形規(guī)律探索

圖形規(guī)律探索問題，是指給定一列圖形，這列圖形按一定的規(guī)律增長，要求學(xué)生觀察圖形，寫出第n個圖形中某個元素的個數(shù).這需要學(xué)生觀察圖形的組成，所關(guān)注的元素在每個已知圖形中的個數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)增長的規(guī)律.這類問題因其圖文并茂，變化多樣，備受中考命題人的喜愛，它常以選擇或填空題考查.

[例3]如圖1，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個圖案中陰影小正三角形的個數(shù)是? ? ? ? ? （用含有n的代數(shù)式表示）.

解析：第一個圖案中有2個正三角形，第二個圖案中有6個正三角形，第三個圖案中有10個正三角形，第四個圖案中有14個正三角形 ……發(fā)現(xiàn)后面的每一個圖案比前一個圖案多4個正三角形，所以第n個圖案中就有[2+4（n-1）]個正三角形，2+4（n-1） = 4n-2，故填4n-2或2+4（n-1）.此題也可以這樣去觀察圖案，把每個圖案中的小正三角形分為兩部分，一部分是上、下小正三角形之和，它們的個數(shù)分別為：0，2，4，6，…，（2n-2）;另一部分是中間的小正三角形數(shù)，它們的個數(shù)分別為：2，4，6，8，…，2n，所以第n個圖案中小正三角形的個數(shù)是4n-2.

評注：在圖形中探索規(guī)律，首先在已知的每個圖案中，數(shù)得所關(guān)注圖形的個數(shù)，看看這些個數(shù)之間有什么關(guān)系（如例題中6-2 = 4，10-6 = 4），或有什么共同點.因為每個圖案都有不變的部分與變化的部分組成，所以用不變部分的個數(shù)加上變化部分的個數(shù)，也可獲得規(guī)律，實際上，圖形的變化規(guī)律最終要轉(zhuǎn)化為數(shù)與式的變化規(guī)律.

三、數(shù)與圖結(jié)合規(guī)律探索

在數(shù)與圖形結(jié)合中探索規(guī)律，是指用圖形來研究數(shù)字的規(guī)律，從而使我們直觀地看到數(shù)字的變化規(guī)律，實現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合.用圖形表示數(shù)字方面的規(guī)律，在教材多次出現(xiàn)，例如用圖形面積法證明代數(shù)恒等式，用圖形面積法證明勾股定理，用數(shù)軸觀察實數(shù)的大小等.

[例4]圖2中每一個小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）=? ? ? ? ?（用n表示，n是正整數(shù)）.

解析：觀察圖形可得，當(dāng)n = 2時，圖形面積=1+3 = 4 = 22，而最后一個加數(shù)3 = 2 × 2 - 1;

當(dāng)n = 3時，圖形面積= 1 + 3 + 5 = 9 = 32，而最后一個加數(shù)5 = 2 × 3 - 1;

當(dāng)n = 4時，圖形面積= 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42，而最后一個加數(shù)7 = 2 × 4 - 1;

……

所以，當(dāng)邊長為n時，圖形面積 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + （2n - 1） = n2.

評注：在數(shù)與形的結(jié)合中探索規(guī)律，圖形往往是為數(shù)字服務(wù)的，圖形能很直觀呈現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，是數(shù)形結(jié)合思想的一個生動體現(xiàn).例如，計算[12+14+18+116]+…+[1256]時比較困難，但觀察圖3可以很容易地得到[12+14+18+116] +…+[1256] =1- [1256] = [255256] .

規(guī)律探索問題沒有固定的模式可以套用，唯一不變的方法就是觀察再觀察，思考再思考，嘗試再嘗試.只有經(jīng)過一定量的訓(xùn)練，才能提高觀察能力與歸納能力.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 陳芳.撥開云霧見月明：解初中數(shù)學(xué)規(guī)律探索題[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2018（4）：86-87.

[2]? 杜玉成.初中數(shù)學(xué)規(guī)律探索型問題的解答策略[J].甘肅教育，2017（19）：123.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）