關注模型教學 拓展解題方法

顧友梅

[摘? ?要]在中考試題中，挖掘古老數(shù)學問題的價值，運用古老問題解決新問題的情形頻頻出現(xiàn).如費馬點問題、折弦定理、楊輝三角和胡不歸問題等.這些問題，如果學生平時沒有訓練，在考試時就會有一定的難度.因而，在平時的教學中，教師必須對這些模型進行歸納與總結，發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律，使學生加強模型識別，在一模多變的問題中提高學生分析與解決問題的能力.

[關鍵詞]模型;胡不歸問題;解題方法

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0004-02

“胡不歸問題”來自一個古老的傳說.話說一個在A地當學徒的小伙子得知家鄉(xiāng)（B地）的父親病危的消息，便往家趕.根據(jù)“兩點之間，線段最短”的線段性質，他選擇了全是沙礫的直線路徑AB，當小伙子回到家時，他父親剛剛去世，好心的鄰居給小伙子講，老人在臨終前口里不斷地說著“胡不歸？胡不歸？……”鄰居問小伙子：“你為什么不先走一段驛道呢？”如圖1所示，小伙子如果沿AP[→]PB的路徑行走，雖然路程長了，但在驛道上行走速度比較快.那么小伙子把點P選在驛道的何處，才能節(jié)省時間呢？這就是著名的“胡不歸問題”.

此問題可以抽象出這樣一個數(shù)學問題：設小伙子在驛道、沙礫中行走的速度分別為a、b（a>b），則他折線行走的總時間為[t=APa+BPb=1b（BP+baAP）] .由于兩個速度是定值，欲求t的最小值，就是求[BP+baAP]的最小值.這里需要將[baAP]替換為一條線段.如圖2，可以作射線AN，使[sin∠NAP=ba]，然后過點P作PF⊥AN，所以PF=[baAP]，于是[t=1b（BP+PF）]，求[BP+PF]的最小值.根據(jù)“垂線段最短”可以過點B作AN的垂線段交AC于點P′，則點P′就是所求作的點.

這里“胡不歸問題”就是求“[PA+kPB（0

一、三角形中的“胡不歸問題”

三角形中的“胡不歸問題”是指一動點在三角形中的一條折線上運動，且在第一條線段上運動速度為每秒1個單位長度，在另一條線段上運動速度不為每秒1個單位長度，求動點的最短運動時間.方法就是將系數(shù)不為1的線段轉化為系數(shù)為1的線段，然后利用“垂線段最短”的性質求解.

[例1]如圖3，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高AO，點D為射線AO上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿AD[→]DC運動，到達點C停止，動點P在AD上運動速度為3個單位每秒，動點P在CD上運動速度為1個單位每秒，則當AD=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時，運動時間最短.

解析：如圖4，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′.∵運動時間[t=AD3+CD1=AD3+CD]，∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴[ADAB=DHOB]，∴[DH=13AD]，∴[13AD+CD=CD+DH]，∴當C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短，∵OA=[32-12=22]，

[12BC·AO=12AB·CM]，∴[CM=423]，∴[AM=AC2-CM2=73]，∵AD′=3MD′.設MD′=m，則AD′=3m，則有9m2-m2 [=499]，∴[m=7212]或[-7212]（舍棄），∴AD′[=724]，故答案為[724].

評注：要正確解答本題，不僅要利用“胡不歸問題”的幾何模型進行轉化，而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性質進行計算.

二、四邊形中的“胡不歸問題”

四邊形中的“胡不歸問題”是指在四邊形中有一動點，此動點在對角線上或到四邊形一個頂點的距離為定值，求它到另一頂點的距離與它到第三頂點距離的k倍的和的最小值.這里也可以通過構造相似三角形將k倍的線段轉化一條線段，再利用“兩點之間，線段最短”得到三點共線時有最值，從而求解.

[例2]如圖5，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點，且PB=3，求[13]AP+PC的最小值.

解析：如圖6，在AB上截取BF=1，連接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1，∴[PBAB=13=BFBP]，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴[FPAP=BPAB=13]，∴PF= [13]AP，∴[13]AP+PC=PF+PC，∴當點F，P，C三點共線時，[13] AP+PC的值最小，∴CF= [BF2+BC2] = [1+49]= [52]，∴[13]AP+PC的最小值為[52].

評注：本題中系數(shù)不為1的線段中的系數(shù)k決定了構造相似三角形的相似比.若系數(shù)k是[14]，就構造一個相似比為[14]的相似三角形;若系數(shù)k是[22]，可構造等腰直角三角形;若系數(shù)k是[12]，就構造一個含30°的直角三角形.

三、圓中的“胡不歸問題”

圓中的“胡不歸問題”是指動點在圓周上運動，求動點到一定點的距離與動點到另一定點距離k倍的和的最小值.這里仍需構造相似三角形，將k倍的距離轉化為一條線段，然后利用“兩點之間，線段最短”求得最值.

[例3]如圖7，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點P是[CD]上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.

解析：如圖8，延長OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點F作FM⊥OD于點M，∵OC=4，F(xiàn)C=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴[OAOP=12=OPOF]，且∠AOP=∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴[APPF=OAOP=12]，∴PF=2AP，∴2PA+PB=PF+PB，∴當點F， P， B三點共線時，2AP+PB的值最小.∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，F(xiàn)M⊥OM，∴OM=4，F(xiàn)M=4[3]，∴MB=OM+OB=4+3=7.∴FB=[FM2+MB2]=[97].∴2PA+PB的最小值為[97] .

評注：本題與上例比較，相同點都是動點在圓周上運動，不同點是k倍的距離中的k，一個是分數(shù)，一個整數(shù)，它們在作輔助線時分別采用了截取與延長的方法.但都是在k倍距離的一側構造相似三角形，這一點是相通的.

（責任編輯 黃桂堅）