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    關注模型教學 拓展解題方法

    2019-01-07 01:36:28顧友梅
    中學教學參考·理科版 2019年12期
    關鍵詞:解題方法模型

    顧友梅

    [摘? ?要]在中考試題中,挖掘古老數(shù)學問題的價值,運用古老問題解決新問題的情形頻頻出現(xiàn).如費馬點問題、折弦定理、楊輝三角和胡不歸問題等.這些問題,如果學生平時沒有訓練,在考試時就會有一定的難度.因而,在平時的教學中,教師必須對這些模型進行歸納與總結,發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律,使學生加強模型識別,在一模多變的問題中提高學生分析與解決問題的能力.

    [關鍵詞]模型;胡不歸問題;解題方法

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2019)35-0004-02

    “胡不歸問題”來自一個古老的傳說.話說一個在A地當學徒的小伙子得知家鄉(xiāng)(B地)的父親病危的消息,便往家趕.根據(jù)“兩點之間,線段最短”的線段性質,他選擇了全是沙礫的直線路徑AB,當小伙子回到家時,他父親剛剛去世,好心的鄰居給小伙子講,老人在臨終前口里不斷地說著“胡不歸?胡不歸?……”鄰居問小伙子:“你為什么不先走一段驛道呢?”如圖1所示,小伙子如果沿AP[→]PB的路徑行走,雖然路程長了,但在驛道上行走速度比較快.那么小伙子把點P選在驛道的何處,才能節(jié)省時間呢?這就是著名的“胡不歸問題”.

    此問題可以抽象出這樣一個數(shù)學問題:設小伙子在驛道、沙礫中行走的速度分別為a、b(a>b),則他折線行走的總時間為[t=APa+BPb=1b(BP+baAP)] .由于兩個速度是定值,欲求t的最小值,就是求[BP+baAP]的最小值.這里需要將[baAP]替換為一條線段.如圖2,可以作射線AN,使[sin∠NAP=ba],然后過點P作PF⊥AN,所以PF=[baAP],于是[t=1b(BP+PF)],求[BP+PF]的最小值.根據(jù)“垂線段最短”可以過點B作AN的垂線段交AC于點P′,則點P′就是所求作的點.

    這里“胡不歸問題”就是求“[PA+kPB(0

    一、三角形中的“胡不歸問題”

    三角形中的“胡不歸問題”是指一動點在三角形中的一條折線上運動,且在第一條線段上運動速度為每秒1個單位長度,在另一條線段上運動速度不為每秒1個單位長度,求動點的最短運動時間.方法就是將系數(shù)不為1的線段轉化為系數(shù)為1的線段,然后利用“垂線段最短”的性質求解.

    [例1]如圖3,等腰△ABC中,AB=AC=3,BC=2,BC邊上的高AO,點D為射線AO上一點,一動點P從點A出發(fā),沿AD[→]DC運動,到達點C停止,動點P在AD上運動速度為3個單位每秒,動點P在CD上運動速度為1個單位每秒,則當AD=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時,運動時間最短.

    解析:如圖4,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M,交AO于D′.∵運動時間[t=AD3+CD1=AD3+CD],∵AB=AC,AO⊥BC,∴BO=OC=1,∵∠DAH=∠BAO,∠DHA=∠AOB=90°,∴△AHD∽△AOB,∴[ADAB=DHOB],∴[DH=13AD],∴[13AD+CD=CD+DH],∴當C,D,H共線且和CM重合時,運動時間最短,∵OA=[32-12=22],

    [12BC·AO=12AB·CM],∴[CM=423],∴[AM=AC2-CM2=73],∵AD′=3MD′.設MD′=m,則AD′=3m,則有9m2-m2 [=499],∴[m=7212]或[-7212](舍棄),∴AD′[=724],故答案為[724].

    評注:要正確解答本題,不僅要利用“胡不歸問題”的幾何模型進行轉化,而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性質進行計算.

    二、四邊形中的“胡不歸問題”

    四邊形中的“胡不歸問題”是指在四邊形中有一動點,此動點在對角線上或到四邊形一個頂點的距離為定值,求它到另一頂點的距離與它到第三頂點距離的k倍的和的最小值.這里也可以通過構造相似三角形將k倍的線段轉化一條線段,再利用“兩點之間,線段最短”得到三點共線時有最值,從而求解.

    [例2]如圖5,矩形ABCD中,BC=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點,且PB=3,求[13]AP+PC的最小值.

    解析:如圖6,在AB上截取BF=1,連接PF,PC,∵AB=9,PB=3,BF=1,∴[PBAB=13=BFBP],且∠ABP=∠ABP,∴△ABP∽△PBF,∴[FPAP=BPAB=13],∴PF= [13]AP,∴[13]AP+PC=PF+PC,∴當點F,P,C三點共線時,[13] AP+PC的值最小,∴CF= [BF2+BC2] = [1+49]= [52],∴[13]AP+PC的最小值為[52].

    評注:本題中系數(shù)不為1的線段中的系數(shù)k決定了構造相似三角形的相似比.若系數(shù)k是[14],就構造一個相似比為[14]的相似三角形;若系數(shù)k是[22],可構造等腰直角三角形;若系數(shù)k是[12],就構造一個含30°的直角三角形.

    三、圓中的“胡不歸問題”

    圓中的“胡不歸問題”是指動點在圓周上運動,求動點到一定點的距離與動點到另一定點距離k倍的和的最小值.這里仍需構造相似三角形,將k倍的距離轉化為一條線段,然后利用“兩點之間,線段最短”求得最值.

    [例3]如圖7,扇形COD中,O為圓心,∠COD=120°,OC=4,OA=2,OB=3,點P是[CD]上一點,求2PA+PB的最小值,畫出示意圖并寫出求解過程.

    解析:如圖8,延長OC,使CF=4,連接BF,OP,PF,過點F作FM⊥OD于點M,∵OC=4,F(xiàn)C=4,∴FO=8,且OP=4,OA=2,∴[OAOP=12=OPOF],且∠AOP=∠AOP,∴△AOP∽△POF,∴[APPF=OAOP=12],∴PF=2AP,∴2PA+PB=PF+PB,∴當點F, P, B三點共線時,2AP+PB的值最小.∵∠COD=120°,∴∠FOM=60°,且FO=8,F(xiàn)M⊥OM,∴OM=4,F(xiàn)M=4[3],∴MB=OM+OB=4+3=7.∴FB=[FM2+MB2]=[97].∴2PA+PB的最小值為[97] .

    評注:本題與上例比較,相同點都是動點在圓周上運動,不同點是k倍的距離中的k,一個是分數(shù),一個整數(shù),它們在作輔助線時分別采用了截取與延長的方法.但都是在k倍距離的一側構造相似三角形,這一點是相通的.

    (責任編輯 黃桂堅)

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