本是同“根”生

張 瑜

南京市第十二中學(xué) 江蘇南京 210011

一、提出問(wèn)題

我們知道，將兩個(gè)相交的圓的方程相減，得到兩圓公共弦所在直線方程，如果將兩個(gè)不相交的圓的方程相減，會(huì)得到什么呢？它具有什么性質(zhì)呢？

很明顯，這個(gè)方程表示的是一條直線l。它有什么性質(zhì)呢？設(shè)點(diǎn) 為直線上的任意一點(diǎn)，由（*）式可得：

即，所以

，可知 。

這說(shuō)明，將兩圓的方程作差可以得到一條直線方程l，過(guò)l上的任意一點(diǎn)作兩圓的切線，則兩切線長(zhǎng)相等，這條直線叫做兩圓的“根軸”。利用這一結(jié)論，我們可以方便地解題。

二、根軸的由來(lái)和相關(guān)性質(zhì)

1．根軸的定義和方程

平面幾何中有一條著名的定理——圓冪定理：過(guò)平面上一定點(diǎn)M，任作一直線與半徑為R的定圓O交于A、B兩點(diǎn)，則MA MB為定值k（這里MA、MB、表示有向線段的數(shù)量），并且 。定值k為點(diǎn)M對(duì)圓O的冪，簡(jiǎn)稱“圓冪”。可以證明：對(duì)于不同心的兩定圓等冪的點(diǎn)的軌跡，是垂直于連心線的一條直線，該直線稱為兩圓的根軸，也稱等冪軸。

當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，點(diǎn)對(duì)圓的冪小于零；當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)對(duì)圓的冪等于零；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)對(duì)圓的冪大于零（其值等于該點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)的平方）。因此，對(duì)兩圓等冪的點(diǎn)或者同在兩圓內(nèi)，或者同在兩圓上，或者同在兩圓外（此時(shí)該點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等）。特別的，當(dāng)兩圓相交時(shí)，根軸即兩交點(diǎn)的連心線；當(dāng)兩圓相切時(shí)，根軸即為過(guò)切點(diǎn)的公切線；當(dāng)兩圓外離或內(nèi)含時(shí)，根軸與兩圓均不相交。

2.根軸的性質(zhì)和相關(guān)結(jié)論

根軸的性質(zhì)如下：

（1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

（2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

（3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；

（4）蒙日定理（根心定理）：平滿上任意三個(gè)圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者相互平行，或者交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它們的根心。

三、根軸的應(yīng)用

由于根軸有明顯的幾何意義，其方程又很容易直接構(gòu)造獲得，因此利用它解決問(wèn)題，很多時(shí)候非常方便有效。下面把考試中?？嫉膸讉€(gè)題型利用根軸的性質(zhì)來(lái)解答，拓寬我們的視野。

1.求切線的方程

2.求圓方程問(wèn)題3.求對(duì)稱圓的方程

這些經(jīng)典的題目，換了一種思路來(lái)做，開(kāi)拓了思維，帶給我們更多的思考和啟發(fā)，讓教師們的解題思路多維且具有一定的高度。

要給學(xué)生一碗水，教師得是自來(lái)水。教師雖然面對(duì)的知識(shí)沒(méi)有變化，但自己要善于學(xué)習(xí)，豐富自己的知識(shí)，拓寬自己的眼界，做一個(gè)研究型的教師。

圓和直線題，有“軸”不要急，本是同“跟”生，構(gòu)造來(lái)解題。