探析含參函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)附近函數(shù)值符號(hào)的解題策略

福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

郭富梅 林志斌

近幾年來(lái)，全國(guó)高考卷的壓軸題常常是函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，由函數(shù)零點(diǎn)定理知，要判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在，需要尋找兩個(gè)端點(diǎn)并判斷這兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，當(dāng)碰到含參函數(shù)零點(diǎn)不可求，且無(wú)法直接判斷零點(diǎn)兩側(cè)附近的函數(shù)值符號(hào)時(shí)，學(xué)生只能走江湖，大約通過(guò)圖像猜想零點(diǎn)個(gè)數(shù)，解答過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，很多高考題的解答過(guò)程也是猶如天降，直接給出答案，并沒(méi)有給出常規(guī)的解法，學(xué)生老師很多時(shí)候也摸不著頭腦，下面結(jié)合這幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)例，初步探析解決含參函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)附近符號(hào)的幾種解題策略，供大家參考．

1.賦值法

對(duì)于函數(shù)的特征比較明顯，通過(guò)觀察，在所要判斷的區(qū)間內(nèi)具體賦值，并判斷函數(shù)值的符號(hào)．

2.重新合并同類(lèi)項(xiàng)法

對(duì)于有些函數(shù)不易觀察出函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)附近的函數(shù)值符號(hào)，可通過(guò)對(duì)函數(shù)重新分解、重新合并同類(lèi)項(xiàng)，尋找函數(shù)大于零或小于零的充分條件．

例3 (2016全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,其中a>0，求證；f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

3.執(zhí)果索因法

根據(jù)函數(shù)的具體特征，尋找滿(mǎn)足函數(shù)大于零或小于零的充分條件.

下面探析在(0，a)存在一點(diǎn)x0使f(x0)<0．

4.放縮法

對(duì)于有些函數(shù)不易觀察出函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)附近的函數(shù)值符號(hào)，可通過(guò)適當(dāng)縮小范圍，適當(dāng)放縮，以達(dá)到能解出或找出函數(shù)大于零或小于零的充分條件．

例3中的探析在(-∞，1)存在一點(diǎn)x0使f(x0)>0，也可以采用適當(dāng)放縮法，以達(dá)到能找出函數(shù)小于零的點(diǎn)或范圍．

在對(duì)于含有指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)式，經(jīng)常利用常見(jiàn)不等式進(jìn)行放縮，達(dá)到能夠找出函數(shù)大于零或小于零的充分條件．

常見(jiàn)的幾個(gè)放大的不等式：

常見(jiàn)的幾個(gè)縮小的不等式：

上述不等式還可根據(jù)題目的需要對(duì)參數(shù)a與n取不同值，避免放縮過(guò)大或過(guò)小．

例5 (2017全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.a∈(0,1)，求證：f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

解：f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，其中a∈(0,1)，由f′(x)<0解得x∈(-∞,-lna)；f′(x)>0解得x∈(-lna,+∞)，所以f(x)在

例6 (2014福建高考卷改編)求證：對(duì)任意給定的0