HPM視野下數(shù)學(xué)教學(xué)的智性實(shí)踐

彭小霞

摘 要：將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)史走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)最為重要的方式。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生史和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理律是融入式教學(xué)展開(kāi)的前提和基礎(chǔ)。將歷史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，通常有融通式教學(xué)、浸潤(rùn)式教學(xué)和創(chuàng)生式教學(xué)。

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)教學(xué)；智性實(shí)踐

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系早已受到歐美數(shù)學(xué)家重視，但正式引起大家關(guān)注的是1972年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上成立的“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組”，即“History and Pedagogy of Mathematics”，亦即后來(lái)廣為人知的“HPM”。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)成為一種自覺(jué)。汪曉勤教授總結(jié)了數(shù)學(xué)史走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式，即附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，四種方式均能發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用。其中，教師運(yùn)用得最多的是附加式、復(fù)制式等。對(duì)于順應(yīng)式、重構(gòu)式，數(shù)學(xué)實(shí)踐還是研究得較少。一方面，是因?yàn)榍懊鎺追N方式是一種顯性運(yùn)用，后面幾種方式是一種隱性運(yùn)用；另一方面，順應(yīng)式、重構(gòu)式（尤其是重構(gòu)式）對(duì)教師的素養(yǎng)提出了很高的要求。因此，加強(qiáng)以融通、浸潤(rùn)、創(chuàng)生等方式為主的重構(gòu)數(shù)學(xué)史教學(xué)，應(yīng)該成為HPM視野下數(shù)學(xué)教學(xué)研究的應(yīng)有之為和應(yīng)然之舉。

一、融入式教學(xué)：前提和基礎(chǔ)

盡管數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)的歷史，但融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，就不僅是為數(shù)學(xué)而歷史，更是為教育而歷史。著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因（M.Kline，1908—1992）認(rèn)為，“歷史是教學(xué)的指南”。匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya，1887—1985）深刻指出，“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念知識(shí)，我們才能對(duì)人類孩子應(yīng)該如何獲得這種知識(shí)做出更好的判斷”。融入式教學(xué)，需要教師洞察數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生史以及學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。

1. 數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生史

研究數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生史，主要有兩方面內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展進(jìn)程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展進(jìn)程中的關(guān)鍵步子。這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、步子往往是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的關(guān)鍵階段，在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為概念、定義、法則、定理等，比如“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”“完美數(shù)”等。二是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展進(jìn)程中人類的認(rèn)知困惑、障礙、沖突及解決策略、方法、思想等，在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為知識(shí)超越、發(fā)展和演進(jìn)，比如“小數(shù)的誕生”“負(fù)數(shù)的誕生”等。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵階段、節(jié)點(diǎn)有助于洞悉數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)；而數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展進(jìn)程中人類的認(rèn)知困惑、障礙有助于預(yù)測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。梳理數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展史，通常有兩種方式：一是按時(shí)間順序，這個(gè)順序通常也就是數(shù)學(xué)知識(shí)的演進(jìn)順序，這是一種線性教學(xué)；二是以某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為核心，邏輯組織數(shù)學(xué)材料，這是一種輻射性教學(xué)。無(wú)論是哪一種數(shù)學(xué)材料組織方式，都能讓數(shù)學(xué)知識(shí)獲得歷史重建。

2. 學(xué)生學(xué)習(xí)心理律

融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)，教師要尊重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)不僅包括學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且包括學(xué)生認(rèn)識(shí)心理。每一個(gè)年齡階段的學(xué)生，其心理規(guī)律和特征是不一樣的。一般而言，低年級(jí)學(xué)段學(xué)生更偏重直觀動(dòng)作思維，中年級(jí)學(xué)段學(xué)生偏重具體形象思維，高年級(jí)學(xué)段學(xué)生已開(kāi)始向抽象邏輯思維過(guò)渡。不僅要把握學(xué)生思維規(guī)律，而且要把握學(xué)生注意、記憶規(guī)律等。這些心理特質(zhì)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理前提。南京大學(xué)哲學(xué)系教授鄭毓信從科學(xué)哲學(xué)和科學(xué)史知識(shí)社會(huì)學(xué)角度分析了教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行方法、文化重建的必要性。其中，“方法重建”主要是讓數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容成為學(xué)生可理解的內(nèi)容，而“文化重建”則是讓數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容成為學(xué)生可探究、可發(fā)現(xiàn)、可運(yùn)用、可推廣的內(nèi)容。以《認(rèn)識(shí)厘米》教學(xué)為例，通常情況下，教師注重讓學(xué)生建立厘米的長(zhǎng)度表象，重視用厘米尺測(cè)量物體長(zhǎng)度，但對(duì)厘米的認(rèn)知，還缺乏從方法和文化視角進(jìn)行的研究。從方法論來(lái)說(shuō)，測(cè)量長(zhǎng)度的單位需要統(tǒng)一；從文化上來(lái)說(shuō)，因?qū)嶋H需要而產(chǎn)生了長(zhǎng)度單位。因此，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生感受到厘米產(chǎn)生的必要性，引導(dǎo)學(xué)生協(xié)商、創(chuàng)造。

二、融入式教學(xué)：實(shí)踐與創(chuàng)造

融入數(shù)學(xué)史教學(xué)，可以借鑒弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”方法。弗氏強(qiáng)調(diào)：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法就是“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人將所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)并創(chuàng)造出來(lái)。顯然，弗氏所強(qiáng)調(diào)的“再創(chuàng)造”，并不是數(shù)學(xué)知識(shí)原創(chuàng)，而是經(jīng)由教師指引，重蹈人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子。正如弗氏所說(shuō)，“歷史正是通過(guò)避免走盲目的道路，通過(guò)縮短大量彎曲小道，通過(guò)歷史自己重新組織的道路系統(tǒng)來(lái)修正自己”。

1. 融通式教學(xué)，讓“史”蕩漾眼前

HPM認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的羅列，更是圍繞數(shù)學(xué)史啟迪展開(kāi)的。“歷史是教學(xué)的指南”。只有洞察人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史，才能更好地服務(wù)于人類孩子的認(rèn)知。許多數(shù)學(xué)知識(shí)，只有置于數(shù)學(xué)史中，才能被正確認(rèn)知和理解。融通式教學(xué)，就是通過(guò)創(chuàng)設(shè)歷史化情境，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)探究歷程。只有教師將數(shù)學(xué)歷史融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，學(xué)生才能居高臨下、高屋建瓴，深刻洞察數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

以《圓的面積》教學(xué)為例，筆者首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生活化情境：一塊圓形菜地，如何測(cè)量面積？這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，能讓學(xué)生體驗(yàn)到圓面積計(jì)算的必要性。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：圓面積和以前所學(xué)平面圖形的面積有怎樣的不同？旨在讓學(xué)生明晰：以前所學(xué)的平面圖形都是直線圖形，而圓是一種曲線圖形。因此，問(wèn)題解決的關(guān)鍵是將曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形，比如轉(zhuǎn)化成三角形、梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形等。由此，滲透古代有限次分割圓，近似求出圓面積。最后，借助新媒體課件，將圓無(wú)限分割，讓學(xué)生體驗(yàn)“無(wú)窮”（這是古希臘人沒(méi)有逾越的一道坎）。這個(gè)過(guò)程，就是圓面積在數(shù)學(xué)史上的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，體現(xiàn)了人類對(duì)圓面積的執(zhí)著探索。

在數(shù)學(xué)史家克萊因看來(lái)，教師的職責(zé)是讓學(xué)生洞察數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)整體。克萊因認(rèn)為，許多數(shù)學(xué)知識(shí)只有在歷史長(zhǎng)河中才能更好地被理解。站在數(shù)學(xué)史視角中審視、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能讓我們獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的更好領(lǐng)悟。

2. 浸潤(rùn)式教學(xué)，讓“史”游弋其中

HPM認(rèn)為，融入數(shù)學(xué)史，要營(yíng)造一種蘊(yùn)含歷史知識(shí)、文化、氣息的場(chǎng)域，讓學(xué)生沉浸在濃濃的歷史文化場(chǎng)中。數(shù)學(xué)知識(shí)是人類“生命·實(shí)踐”活動(dòng)的智慧結(jié)晶。教學(xué)中，如果能營(yíng)造一種歷史氛圍，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史創(chuàng)造，就能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法，深切地感受到數(shù)學(xué)的神奇力量。

比如，教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的《年、月、日》，在學(xué)生根據(jù)日歷了解了一年有12個(gè)月，閏年有366天、平年有365天后，一位教師運(yùn)用新媒體創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：地球繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，時(shí)間為365天5時(shí)48分46秒。由此引發(fā)學(xué)生思考：為什么要規(guī)定平年是365天，閏年是366天？當(dāng)學(xué)生理解了“平年”和“閏年”的時(shí)間規(guī)定后，教師又運(yùn)用新媒體創(chuàng)設(shè)了史蘊(yùn)文化場(chǎng)：愷撒和奧古斯的故事，引發(fā)學(xué)生思考：為什么要由2月來(lái)決定平年和閏年？每年的7月和8月為什么都是大月？這種教學(xué)，對(duì)規(guī)定性知識(shí)進(jìn)行深度發(fā)掘，不僅讓學(xué)生知其然，更讓學(xué)生知其所以然。通過(guò)浸潤(rùn)式教學(xué)，學(xué)生知道了什么是陽(yáng)歷，什么是陰歷，知道了“世紀(jì)”和“年代”的分別，了解了國(guó)外日期的書寫格式，掌握了我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日等。數(shù)學(xué)教學(xué)負(fù)載著歷史文化的氣息。在這種史蘊(yùn)文化場(chǎng)的浸潤(rùn)中，數(shù)學(xué)史與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融在一起，歷史游弋于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，學(xué)生真切地感到數(shù)學(xué)的神奇與曼妙。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)之深刻，而且要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)歷史之厚重。為了教學(xué)而研讀數(shù)學(xué)歷史，要基于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知去關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)背后的歷史。通過(guò)知識(shí)史，讓學(xué)生不斷優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)思想方法觀念、數(shù)學(xué)文化觀念。

3. 創(chuàng)生式教學(xué)，讓“史”始終在場(chǎng)

美國(guó)當(dāng)代杰出的數(shù)學(xué)家、教育家喬治·波利亞深刻指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)產(chǎn)生、按照數(shù)學(xué)發(fā)展歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，才能最好地理解數(shù)學(xué)?！眲?chuàng)生式教學(xué)是重構(gòu)數(shù)學(xué)歷史最為重要的方式。只有順著數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的內(nèi)在邏輯進(jìn)行教學(xué)，才能把握數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的關(guān)鍵。通過(guò)創(chuàng)生式教學(xué)，教師不斷開(kāi)掘?qū)W生創(chuàng)造潛能，落實(shí)學(xué)生創(chuàng)史實(shí)踐。

教學(xué)《確定位置》，可以指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷“用方向和距離確定位置”的探究過(guò)程，尤其是要讓學(xué)生理解“為什么規(guī)定東北方向叫北偏東，西北方向叫北偏西？”筆者在教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從正北方向略偏向東和正東方向略偏向北，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造“北偏東”“東偏北”的概念。接著，筆者將目標(biāo)定位于“北偏東（東偏北）45°方向”，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突：這個(gè)方向到底是北偏東還是東偏北呢？在學(xué)生猶豫不決時(shí)，筆者出示一艘在茫茫大海上航行的船只，這艘船只依靠什么辨別方向呢？學(xué)生想到了指南針。由此，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)為應(yīng)以南北方向作為基準(zhǔn)方向，進(jìn)而揭示“北偏東”“北偏西”“南偏東”“南偏西”的內(nèi)涵。這樣的教學(xué)，不再是機(jī)械灌輸，而是基于數(shù)學(xué)史的積極再創(chuàng)造。在這個(gè)過(guò)程中，歷史始終在場(chǎng)。

像這樣，學(xué)生在不知不覺(jué)、潛移默化中經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再創(chuàng)造的過(guò)程就是一種創(chuàng)生式教學(xué)。創(chuàng)生式教學(xué)不僅讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、原理、價(jià)值、用法，而且在再創(chuàng)造中積淀了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這種教學(xué)，悄無(wú)聲息地播下了學(xué)生探究數(shù)學(xué)的種子，讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)歷史的脈搏。

數(shù)學(xué)家吳文俊說(shuō)：“數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)史是分不開(kāi)的。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中重構(gòu)數(shù)學(xué)歷史，需遵循歷史發(fā)生的原理，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歷史理性重構(gòu)，讓學(xué)生觸摸、感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)豐贍文化意蘊(yùn)，經(jīng)歷豐碩、曼妙的歷史化數(shù)學(xué)探究之旅，在學(xué)生再創(chuàng)造的過(guò)程中豐盈學(xué)生精神，潤(rùn)澤學(xué)生生命。