數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)視角下的正弦定理教學(xué)

郭志堅(jiān)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最基礎(chǔ)、最基本的一個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它推動(dòng)、制約著其它5個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和運(yùn)算素養(yǎng)較為低下是普遍存在的事實(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)成為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著眼點(diǎn)，本文以“正弦定理”為例，談?wù)劰P者在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)上的思考.

1 教學(xué)案例展示

1.1 提出問題，精準(zhǔn)化理解運(yùn)算對(duì)象

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提出與教學(xué)內(nèi)容有實(shí)質(zhì)聯(lián)系的問題，使學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生求知心理之間產(chǎn)生一種失衡的狀態(tài)，以形成學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望、點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花、促進(jìn)學(xué)生情感的積極投入和思維的深沉參與;為學(xué)生不斷搭建“腳手架”，并暴露教師研究解決問題的思維過程，將“高深”問題通俗化、抽象問題具體化、一般問題特殊化，讓學(xué)生“看到”教師思維的“痕跡”，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解，進(jìn)而幫助學(xué)生找到研究的“入手點(diǎn)”，促進(jìn)學(xué)生持續(xù)主動(dòng)的探究，不斷實(shí)現(xiàn)“從無到有、從不懂到懂”，讓學(xué)生在教師的這種思維的教學(xué)中逐步掌握研究問題的一般方法，提高問題的轉(zhuǎn)化能力和語言的轉(zhuǎn)化能力，從而真正促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)定理的“再創(chuàng)造”.

師：我們知道在三角形中“大邊對(duì)大角”，也就是說三角形的內(nèi)角隨著它的對(duì)邊的增大而增大，那么三角形內(nèi)角與其對(duì)邊的這種關(guān)系是否存在一種等量關(guān)系呢？若存在，能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系表示出來？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合已學(xué)知識(shí)探討這個(gè)問題，

師：研究問題常常是從特殊情況入手，同學(xué)們可以試著從特殊三角形入手.

生：在正三角形中，三邊等長(zhǎng)，其角等大，在直角三角形中呢？ （沉思）

師：如果在將直角三角形特殊化呢？比如：在直角三角形△ABC中，∠A= ∠B= 45°，∠C= 90°，不妨設(shè)AC= BC =1，則AB=√2，此時(shí)，邊與其對(duì)角有沒等量關(guān)系？若有，那么其等量關(guān)系是什么？

生：∠C的大小是∠A和∠B的兩倍，但是邊AB不是邊AC，BC的兩倍，因此肯定不是角與邊直接的倍數(shù)關(guān)系，那是什么樣的等量關(guān)系呢？

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中我們學(xué)過哪些能與該問題產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的有關(guān)知識(shí)？

生：對(duì)了，正弦、余弦和正切.

1.2 思想化推導(dǎo)，多角度探究運(yùn)算方向

“四基”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土，因此，在運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師首先要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的思想要素，使“潛形態(tài)”的思想方法顯性化[2];其次應(yīng)努力增加教學(xué)過程的思想含量，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中受到思想的熏陶;再次應(yīng)教學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度、用不同方法去研究問題，積累基本經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)多角度探究運(yùn)算方向，進(jìn)而優(yōu)化運(yùn)算程序.

師：由特例歸納出的猜想必須要經(jīng)過嚴(yán)格的證明，你能證明它嗎？

生：在直角三角形△ABC中，C=90°，

由銳角三角函數(shù)的定義有sinA=α/c，sinB=b/c，

sinC =1.

師：如何將上面三個(gè)式子聯(lián)系起來？它們有沒相同的“東西”（暗示方法、啟迪思維）.

生：前面兩個(gè)式子都有字母c.

師：很好！這樣我們通過c可以將前面2式聯(lián)系起來，因此c是聯(lián)系它們的“橋梁”，請(qǐng)同學(xué)們通過c這個(gè)橋梁將前面2式聯(lián)系起來.

生：c=α/sinA=b/sinB

師：很好！那第三個(gè)式子呢？如何與前面2式產(chǎn)生聯(lián)系？

生：∵sinC=l=c/c=>c=c/sinC

師：非常好！剛才找聯(lián)系幾個(gè)式子的“橋梁”的過程，實(shí)際上是把每個(gè)式子當(dāng)作一個(gè)方程，然后進(jìn)行消“元”，運(yùn)用了方程的思想解決問題，這樣我們得到：在直角三角形中，各邊與其對(duì)角的正弦的比相等，其它三角形是否也有類似結(jié)論？你能進(jìn)行推導(dǎo)嗎？

師：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，它與直角三角形最大的區(qū)別是它沒直角，你有什么方法“造”直角？（停頓，暗示方法、啟迪思維）

生：可以過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作底邊的垂線.

師：你的意思是構(gòu)造直角三角形？

生：是的.

師：非常好！請(qǐng)你完成證明.（學(xué)生證明，教師巡視，展示學(xué)生解答過程并點(diǎn)評(píng)）

師：非常好！這樣我們完成了銳角三角形的推導(dǎo)，請(qǐng)同學(xué)們回顧剛才的推導(dǎo)過程，包括其中所遇到的困難及其破解方法.（教學(xué)生學(xué)會(huì)回顧反思）

生：推導(dǎo)中首先遇到的困難是“沒有直角”，所以要“造”直角，其次是要會(huì)找“橋梁”.

師：很好！在剛才的推導(dǎo)中，“造”直角體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，找橋梁則體現(xiàn)了方程和消參的思想方法.（感悟提升）

師：接下來請(qǐng)同學(xué)們?cè)阝g角三角形中繼續(xù)探討這個(gè)問題（學(xué)生推導(dǎo)，教師巡，在學(xué)生遇到困難時(shí)給予適當(dāng)點(diǎn)撥，展示學(xué)生的解答過程，并點(diǎn)評(píng)）（略去解答過程）

師：當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)同學(xué)們課后用這種方法繼續(xù)證明，此外，同學(xué)們還可以嘗試用平面向量的方法證明正弦定理.

1.3 內(nèi)涵化辨識(shí)，全方位選擇運(yùn)算方法

深刻理解定理內(nèi)涵、準(zhǔn)確把握定理本質(zhì)，是學(xué)生牢固掌握定理和靈活應(yīng)用定理解決問題的前提條件，因此不單要讓學(xué)生掌握定理的內(nèi)涵，也要掌握其外延，同時(shí)要掌握定理的等價(jià)形式及其適用范圍、類型，從而靈活其運(yùn)算方法的選擇，進(jìn)而優(yōu)化運(yùn)算程序、準(zhǔn)確運(yùn)算結(jié)果.

從方程的觀點(diǎn)看正弦定理可以解決以下兩類三角形問題：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊角;②己知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他邊角.

師：下面應(yīng)用正弦定理解決以下問題：

例1在△ABC中，已知bsinB =αsinA，試判斷該三角形的形狀，

師：怎么判斷三角形的形狀？一般可以從何入手？ （暗示方法、啟迪思維）

生：可以從邊入手或從角入手，

師：你的意思是單純從邊或者從角入手是嗎，可是已知條件邊角“混合”在一起，該怎么辦呢？

生：化統(tǒng)一，即將己知條件統(tǒng)一化成邊或者角，

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)完成此題.（巡視，提問）

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們小結(jié)一下解題方法.

師生：判斷三角形形狀，邊角互化，實(shí)現(xiàn)“邊統(tǒng)一”或“角統(tǒng)一”.（總結(jié)、感悟、提升）

例2在 △ABC中，己知c=10，A=45°，C= 30°，解這個(gè)三角形.（學(xué)生解答，教師巡視，展示學(xué)生解答過程，特別說明如何計(jì)算sin105°）

解程序1：α→B→b程序2：B→α→b程序3：B→b→α.

小結(jié) 已知兩角和任意一邊，求其余兩邊和一角.

師：哦？其它同學(xué)有不同看法嗎？

生2：A除了等于45°之外，還等于135°，本題有兩組解，

師：非常好！在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的正弦值有兩個(gè)角與之對(duì)應(yīng)（直角除外），同學(xué)們思考問題時(shí)要注意思維的嚴(yán)密性，繼續(xù)完成本題.

2 教學(xué)案例分析

在本教學(xué)案例中，將數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)滲透在正弦定理的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，具體如下：

（1）在促進(jìn)運(yùn)算對(duì)象的理解上，首先，通過問題將探究“正弦定理的模樣”這一抽象的運(yùn)算對(duì)象通俗化、具體化，使學(xué)生得以找到探究的“入手點(diǎn)”——探尋“三角形邊與其對(duì)角的等量關(guān)系”;其次，通過精心設(shè)置問題，用“降維”的思想不斷地將大問題拆分成一個(gè)個(gè)連貫且有梯度的小問題，從抽象到具體、從一般到特殊，使學(xué)生逐步明晰運(yùn)算對(duì)象，讓學(xué)生明白要“做什么”，并恰時(shí)恰度地對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生懂得“怎么做”;此外，不斷地為學(xué)生搭建“腳手架”，并暴露教師研究解決問題的思維過程，讓學(xué)生“看到”教師思維的“痕跡”，使學(xué)生在教師的這種思維的教學(xué)中逐步掌握研究問題的一般方法，提高問題轉(zhuǎn)化能力和語言轉(zhuǎn)化能力，從而真正促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

（2）在促進(jìn)運(yùn)算思路的探究和運(yùn)算程序的優(yōu)化上，首先通過研究問題一般方法的熏陶讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究、學(xué)會(huì)多角度探究運(yùn)算方向;其次通過推導(dǎo)過程和應(yīng)用過程的數(shù)學(xué)思想方法滲透，讓學(xué)生掌握運(yùn)算技能、感悟思想方法、積累基本經(jīng)驗(yàn);再次通過對(duì)定理內(nèi)涵的理解，靈活其運(yùn)算方法的選擇;最后通過回顧反思加促進(jìn)其運(yùn)算知識(shí)的鞏固、運(yùn)算技能的掌握、思想方法的感悟和基本經(jīng)驗(yàn)的積累.

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)會(huì)隨運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)、運(yùn)算技能的訓(xùn)練、運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的積累、思想方法的感悟而逐步提升[3].但是，運(yùn)算是“童子功”，其培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，它需要教師堅(jiān)持不懈地研究數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合點(diǎn)，探尋它的孕育點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)與常態(tài)教學(xué)相結(jié)合，貫穿于課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，使數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)切實(shí)成為可以落實(shí)的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍，三角函數(shù)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016 （12）： 66

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2018

[3]章建躍.高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)該強(qiáng)調(diào)什么[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016 （6）： 66