函數(shù)思想方法在非函數(shù)型不等式中的運(yùn)用

黃如炎

有些難度較大的不等式（最值）問(wèn)題，表面看似與函數(shù)無(wú)關(guān)但背后往往蘊(yùn)藏著某個(gè)函數(shù)，如能揭示所隱含的函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象可化難為易，此類(lèi)不等式（最值）問(wèn)題在近年高考?jí)狠S題、競(jìng)賽題和數(shù)學(xué)問(wèn)題中時(shí)有出現(xiàn)，學(xué)生不知所措，束手無(wú)策，應(yīng)引起教師教學(xué)上的重視，運(yùn)用函數(shù)思想方法解決非函數(shù)型不等式（最值）問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征或?qū)⒉坏仁阶冃无D(zhuǎn)化后構(gòu)建以某個(gè)量為自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、切線和圖象后使問(wèn)題獲解，探尋與構(gòu)建不等式中蘊(yùn)藏函數(shù)的方法機(jī)智靈活多樣，主要有以下幾種情境與對(duì)策.

方法提煉 對(duì)某些多元對(duì)稱(chēng)不等式，可利用不等式等號(hào)成立時(shí)函數(shù)取得極值探尋不等式g（a）≥h（a），即構(gòu)建函數(shù)f（x）=g（x）一h（x）解決問(wèn)題，此方法比利用切線尋找函數(shù)的一次估計(jì)式更具有一般性.

例8[2] （《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問(wèn)題2080）正數(shù)a，b，c滿足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.

本問(wèn)題難度較大，引起了許多中數(shù)研究者的關(guān)注和探究，問(wèn)題提供人是在賦予a ，b，c具體值的情況下設(shè)置本問(wèn)題，可根據(jù)已知a，b，c值和均值不等式取等號(hào)的條件對(duì)式子進(jìn)行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看來(lái)這種變形分拆神秘莫測(cè)，文獻(xiàn)[4～6]通過(guò)待定系數(shù)法、算術(shù)平均不等式、加權(quán)冪平均不等式等方法進(jìn)行探究，雖然揭開(kāi)了命題者解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過(guò)程十分艱難，下面通過(guò)構(gòu)建函數(shù)既輕松解決問(wèn)題又開(kāi)啟新的思維方式.

方法提煉 對(duì)某些關(guān)于a，b，c式子最值，可先構(gòu)建關(guān)于某個(gè)字母的函數(shù)f（x，b，c）（或f（x，a ，c），f（x，a，b）），利用導(dǎo)數(shù)求出最值g（b，c）（或g（a，c），g（a，b0）），再構(gòu)建函數(shù)g（x，c）（或g（x，a），g（x，b）），利用導(dǎo)數(shù)求出最值h（c）（或h（a），h（b）），再求出h（c）（或h（a），h（b））最值.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 （2017年版）對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)水平的要求包括：“對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題;對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性命題，探索論證的途徑，解決問(wèn)題”[7].解決難度較大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往需要提出某個(gè)假設(shè)或引理，構(gòu)建函數(shù)是提出假設(shè)和引理的有效途徑之一，在非函數(shù)型不等式（最值）問(wèn)題中，通過(guò)探尋與構(gòu)建函數(shù)合乎情理地探求不等式求證（解）思路，有助于培養(yǎng)學(xué)生理性思維和高水平邏輯推理素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]黃兆麟.數(shù)學(xué)問(wèn)題2298解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（5）：64

[2]黃兆麟.數(shù)學(xué)問(wèn)題2080解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012 （9）：封底

[3]黃兆麟.2080號(hào)題是這樣編出來(lái)的[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2015 （11）：39-61

[4]王淼生.追尋數(shù)學(xué)問(wèn)題2080解答本來(lái)面目[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013 （11）：58-61

[5]楊先義.也談數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問(wèn)題2080的解答[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2014（11）：31-34

[6]張青山.對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題2080的探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016 （12）： 52-54

[7]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017