對《一個有趣的數(shù)學猜想及證明》一文的補充

蔣金團

（云南省保山市施甸縣第一完全中學，云南 保山）

筆者曾發(fā)表過《一個有趣的數(shù)學猜想及證明》文章，某讀者看過后，覺得文中“用反證法證明猜想”這一段抽象難懂，所以很有必要對該文章進行完善和補充。如下面表格所示，將自然數(shù)分成十行，每一行都是公差為10的等差數(shù)列，第一行的通項公式為10k1+1（k1=0、1、2、3…），第九行的通項公式為 10k9+9（k9=0、1、2、3…），第十行的通項公式為 10k10+10（k10=0、1、2、3…）

一、討論變換特點

根據(jù)變換規(guī)則，對奇數(shù)實行“乘3加1”變換之后將變?yōu)榕紨?shù)，具體如下，第1行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第3行奇數(shù)將演變?yōu)榈?0行偶數(shù)，第5行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第7行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第9行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)。

根據(jù)變換規(guī)則，對偶數(shù)實行“除以2變換”變換，相應(yīng)的約束關(guān)系討論如下。

1.第2行偶數(shù)的變換特點

對第2行偶數(shù)實行“除以2”變換之后，有一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行奇數(shù)，另一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行偶數(shù)，相應(yīng)的約束條件如下：

（1）第 2行（10k2+2）除以 2轉(zhuǎn)變?yōu)榈?1行（10k1+1）時，有=10k1+1，即約束條件為，為保證k為整數(shù)，k只能12取偶數(shù)，即 k1=0、2、4、6、8、10…，對應(yīng)的 k1值為 k2=0、1、2、3、4、5…

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

（2）第2行（10k2+2）轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行（10k6+6）

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

同理可討論其他行偶數(shù)除以2之后的變換特點和上述流程類似，最后可把各行變換組成如下網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

通過以上的網(wǎng)狀圖可以得出一個重要結(jié)論：當自然數(shù)從某行演變?yōu)榱硗庖恍袝r，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的值都會在原來的基礎(chǔ)之上減半，因為碰到“除以2”變換時，值將會分成奇偶兩支。

2.為了通俗理解，我們可以舉個例子，假設(shè)第6行數(shù)值按如下流程變換：

（1）設(shè)第6行數(shù)值的通項公式為10k6+6，此時的k6取一切自然數(shù)，k6=0、1、2、3、4、5、6…

（2）第6行的數(shù)值，有哪些能轉(zhuǎn)化為第3行（10k3+3）的數(shù)值？

（3）第3行的數(shù)值，有哪些能為第5行（10k5+5）的數(shù)值？

二、用反證法證明猜想

假設(shè)某個自然數(shù)按規(guī)則變換后沒有要落入“4-2-1-4”循環(huán)，則該數(shù)將無限度地變換下去，因為除1、2、4外的自然數(shù)都不可能回到自身，這樣一來，將會遇到無窮次“除以2”變換，無論該數(shù)從哪一行開始，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值都會在原來的基礎(chǔ)之上減半，k值最終只能取一個值，即變換最終在同一列之間進行，根據(jù)網(wǎng)狀圖可知，沒有落入“4-2-1-4”循環(huán)的數(shù)將會多次經(jīng)過第6行，因為最終只剩一列k值了，這說明第6行的某個數(shù)值將會回到自身，這與文獻1的結(jié)論是矛盾的，所以假設(shè)是錯誤的，猜想是正確的。