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    柯西不等式在初等數(shù)學(xué)物理中的若干應(yīng)用

    2018-12-20 04:27:48徐浩然
    新課程(中學(xué)) 2018年10期
    關(guān)鍵詞:外接圓柯西歸納法

    徐浩然

    (安徽省合肥市第一中學(xué)高二(26)班,安徽 合肥)

    法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西,1789年8月21日出生于巴黎。他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、抽象代數(shù)和微分方程等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究,并取得了許多重要成果。著名的柯西不等式就是其中之一。此不等式在初等數(shù)學(xué)的解題中應(yīng)用上具有耳目一新、靈活巧妙的作用。有些參考書(shū)上采用了構(gòu)造函數(shù)、利用判別式的方法來(lái)證明。而本文在此給出了三種更為簡(jiǎn)捷的證明法:引入了二次型法和數(shù)學(xué)歸納法,來(lái)證明柯西不等式。

    定理 1 設(shè) ai,bi為任意實(shí)數(shù) i=1,2,…,n則,

    其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ai,bi成比例時(shí)成立。(柯西不等式原命題)

    1.證明方法

    方法1(簡(jiǎn)潔證明)

    方法2(二次型法)

    由常識(shí)可知,上式的二次型是關(guān)于x與y的非負(fù)函數(shù),故有

    成立

    證明方法3(數(shù)學(xué)歸納法)

    當(dāng)n=1時(shí)顯然成立

    其中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí)成立

    那么當(dāng)n=k+1時(shí)

    其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)aibj=ajb(ii,j=1,2,…,k)時(shí)成立。

    二、柯西不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

    柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式,學(xué)習(xí)柯西不等式可以提高我們的數(shù)學(xué)探究能力、創(chuàng)新能力等,能進(jìn)一步開(kāi)闊我們的數(shù)學(xué)視野,培養(yǎng)我們的創(chuàng)新能力,提高我們的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在合適的場(chǎng)合,靈活巧妙地運(yùn)用它,可以使一些使用平常方法不易解開(kāi)的難題迎刃而解。這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)寬松,應(yīng)用靈活廣泛,常通過(guò)適當(dāng)配湊,直接套用柯西不等式解題,常見(jiàn)的有兩大類(lèi)型:

    例1 已知正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1。求證:a3+b3+

    證明:利用柯西不等式:

    例2 三角形外接圓問(wèn)題

    設(shè)P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn),x,y,z是點(diǎn)P到三角形三邊a,b,c的距離。R是△ABC外接圓半徑,求證:

    證明:由柯西不等式得到

    故有上式成立。

    三、證明光行最短原理

    在幾何光學(xué)中,有費(fèi)爾馬發(fā)現(xiàn)的一個(gè)著名的光行最短原理?,F(xiàn)在重新敘述一遍:設(shè)甲、乙兩種均勻介質(zhì)的分界線(xiàn)為直線(xiàn)l,光線(xiàn)從甲種介質(zhì)中一點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過(guò)l上的點(diǎn)O折射后到乙種介質(zhì)中一點(diǎn)B,所用的時(shí)間為tO,P是l上任一點(diǎn),光線(xiàn)從A經(jīng)過(guò)P到達(dá)B的時(shí)間為tP,求證tP≥tO,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)P與O重合時(shí)成立。

    證明:以l為x軸,O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系。設(shè)A,B,P 的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x,0),光線(xiàn)的入射角為∠1,折射角為∠2(如圖),在甲、乙兩種介質(zhì)中光速分別為 v1,v2,

    由柯西不等式:

    將上面兩個(gè)不等式左右兩邊同時(shí)除以v1,v2后,再將兩式相加,之后得到

    讓等號(hào)成立的充分必要條件是

    (x-x1)cos∠1=y1sin∠1

    (x2-x)cos∠2=y2sin∠2

    也就是x=0

    原命題得證。

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