例談平面直角坐標系下圖形變換和點坐標的確定

徐 臻

（常州市新北區(qū)實驗中學(xué)，江蘇 常州）

從近幾年考題來看，在平面直角坐標系的背景下，經(jīng)常有幾何圖形的變換，例如翻折、旋轉(zhuǎn)、平移。點坐標的確定就成為一個重要的考點，在解題過程中，首先要充分認識圖形變換前后之間的關(guān)系，特別是線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系，在旋轉(zhuǎn)變換背景下還要充分考慮特殊的旋轉(zhuǎn)角對于旋轉(zhuǎn)之后圖形的位置影響。其次還需要準確地把握坐標的確定方法。有時候，需要過所求點向坐標軸作輔助線（垂線），去構(gòu)造直角三角形，然后利用邊角的條件求出垂線段的長度。再由垂線段過渡到點的坐標過程中，有時還要考慮點的位置。值得注意的是要正確判斷坐標的符號。舉個例子，坐標系中的變換問題往往隱含著一些特殊角的條件，比如點，這樣的描述中就隱含著60°的角，因此，在分析圖形特征時，要格外留意是否題目中存在類似的關(guān)鍵的且不容易被發(fā)現(xiàn)的一些潛在條件。由此可見，處理這類問題時要把握變換的性質(zhì)以及確定坐標的方法，特別是確定點坐標，構(gòu)造垂線段，形成直角三角形，進而求解，這是一種典型的確定點坐標的好方法，可供學(xué)習(xí)者熟練掌握。下面我將分別列舉兩個平面直角坐標系下圖形在翻折和旋轉(zhuǎn)過程中求點坐標的例題。

背景一：如圖1，在直角坐標系xOy中，梯形OABC的頂點A、C分別在坐標軸上，且AB∥OC，將梯形OABC沿OB對折，點A 恰好落在BC邊的點A1處，已知OA=，AB=1。求：（1）∠AOB的度數(shù)；（2）點 A1的坐標。

圖1

點評：學(xué)生在閱讀題目，首先分析這是一道在平面直角坐標系下的翻折問題，那就要注意對稱性問題。第一問求∠AOB的度數(shù)，先考慮特殊角，特殊角經(jīng)常從直角三角形中來，那我們先觀察∠AOB所屬的三角形是否為直角三角形。從AB∥DC，可以得出∠BAO=∠AOC=90°。因為OA=，AB=1，所以 OB=2，所以∠AOB=30°。

在解決第二個問題時我們不難發(fā)現(xiàn)，對稱這個條件還未使用，△AOB 和△A1OB 全等，那么∠A1OA=60°，那么∠A1OC=30°。當看到30°的角，進而思考下能否在一個直角三角形中，此刻作A1M垂直于OC，要求A1的坐標，橫坐標就是A1M，縱坐標就是OM。OA=OA1=。在直角三角形A1MO中，A1M=以A1的坐標就是

背景二：如圖2，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A在x軸上，∠B=120°，OA=2，將菱形OABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)105°至OA′B′C′的位置，則點B′的坐標為 （ ）

圖2

點評：這是一題在平面直角坐標系下圖形旋轉(zhuǎn)下求點的坐標，抓住特殊角度想辦法構(gòu)造直角三角形。連接OB，OB′，過點B′作B′E⊥x軸于 E，根據(jù)題意得：∠BOB′=105°，因為四邊形 OABC 是菱形，所以O(shè)A=AB?！螦OB相當于∠AOC的一半，同時也相當于∠ABC的一半，△AOB是等邊三角形，所以O(shè)B=OA=2，所以∠AOB′等于∠BOB′減去∠AOB，就等于 45°，OB′=OB=2，所以O(shè)E=B′E=OB′sin45°=。所以B′的坐標就是（2，

通過這兩題的比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系下根據(jù)圖形的變換求點的坐標，構(gòu)造特殊三角形，在三角形里通過計算線段的長度，從而計算點坐標是大體思路。但面對不同的圖形變換，我們也有需要注意的地方，對于旋轉(zhuǎn)變換的問題，我們要注意旋轉(zhuǎn)角問題。對于三角形和四邊形的旋轉(zhuǎn)，在進行角度計算的時候，我們需要關(guān)注原來角度的條件。因為在旋轉(zhuǎn)過程中，非常容易出現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形或者直角三角形。因而在圖形變換下求點坐標，我們需要考慮特殊圖形對于角度的制約作用，比如，如果一條線段繞一個端點旋轉(zhuǎn)60°就可以形成等邊三角形，如果旋轉(zhuǎn)90°就會變成等腰直角三角形。當然我們也需要非常熟悉45°和60°兩塊特殊三角板邊與角之間的關(guān)系。面對圖形變換中折疊求點坐標問題，我們需要考慮軸對稱，把對應(yīng)關(guān)系搞清楚，然后分析圖形中出現(xiàn)的特殊三角形，在接下來的計算中，我們經(jīng)常會借助方程思想，通過勾股定理得出結(jié)論。