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    巧解“最短距離”問題

    2018-12-18 02:15:42
    關(guān)鍵詞:短距離對稱點壁虎

    (合肥五十中新校 安徽合肥 230000)

    先看這類問題最基本的例子:

    要在河邊修一個水泵站向A、B兩個村莊供水(如圖1),村莊A、B在河道兩側(cè),那么水泵站應(yīng)該建在什么地方,才能使它到A、B兩個村莊的距離之和最???

    分析:這個問題可以直接應(yīng)用基本事實“兩點之間,線段最短”來解決,連接AB交于點P(如圖2),此時AP+BP=AB,故點P就是應(yīng)該建水泵站的位置。

    圖1

    圖2

    下面來看這個問題的一些變式。

    一、利用軸對稱進(jìn)行轉(zhuǎn)化并求最短距離

    例1 如圖3,點A、B在直線l的同側(cè),在直線直線l上求作一點P,使得AP+BP最小.

    分析 解決這個問題的關(guān)鍵是將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點,就可以運用“兩點之間線段最短”來找到使距離最短的點。利用軸對稱的知識,若作點A關(guān)于直線l的對稱點A’(如圖4),則直線l上任意一點到A和A’的距離相等,點A、B到直線l上一點距離之和最短問題就轉(zhuǎn)化為A’、B到直線l上一點距離之和最短的問題,也就是我們最開始看到的基本問題。

    圖3

    圖4

    解:如圖4,作點A關(guān)于直線l的對稱點A’,連接A’B交直線l于點P,則點P即為所求做,此時AP+BP最小.

    例2 如圖5,牧區(qū)內(nèi)有一家牧民,點A處有一個馬廄,點B處是他的家.l1是草地的邊沿,l2是一條筆直的河流。每天,牧民要從馬廄牽出馬來,先去草地上讓馬吃草,再到河邊飲馬,然后回到家B處.請為牧民設(shè)計一條最短路線。

    圖5

    分析 我們需要在l1上找到一點M,在l2上找到一點N,使得AM+MN+BN最小,若作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′,點B關(guān)于直線l2的對稱點B′(如圖6),則根據(jù)軸對稱的性質(zhì)A’M=AM,B’N=BN,要使得AM+MN+BN最小,只要讓A’M+MN+B’N最小即可,這便轉(zhuǎn)化成了“兩點之間距離最短”的問題。

    解:作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′,點B關(guān)于直線l2的對稱點B′,連接A′B′交l1于點M,交l2于點N,則A→M→N→B的路程最短.

    練習(xí)1 (2012·蘭州中考)如圖7,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,求∠AMN+∠ANM的度數(shù).

    圖6

    圖7

    二、利用平面展開進(jìn)行轉(zhuǎn)化并求最短距離

    例3 如圖8,有一個長方體盒子,長4,寬2,高8,盒子的A點處有一只壁虎,B點處有一只蒼蠅,壁虎想沿著長方體盒子地表面去捕捉蒼蠅,請你計算出壁虎爬行的最短距離.所有

    分析 若能將A點和B點放到一個平面內(nèi),問題就轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“兩點之間線段最短”的問題了。

    圖8

    思考:怎樣將A點和B點放到一個平面呢?有幾種不同的方案?哪種方案最佳呢?

    解:展開長方體的側(cè)面(如圖9),連接AB.

    圖9

    練習(xí)2 如圖10是一個圓柱形儲油罐,底面半徑為2米,高為5米,在底部A處準(zhǔn)備修一個繞油罐的螺旋式樓梯到達(dá)位于上底面B處,則樓梯至少多長?

    圖10

    圖11

    練習(xí)3 (2012·青島中考)如圖11,圓柱形玻璃杯,高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處,求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離.

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