兩比例失效率元件組成串聯(lián)系統(tǒng)元件冗余與系統(tǒng)冗余的隨機(jī)比較*

張建東，顏榮芳

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的迅猛發(fā)展, 經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)精細(xì)化程度越來(lái)越高, 物流運(yùn)輸、銀行支付、電商服務(wù)等大型復(fù)雜系統(tǒng)的矛盾日益凸顯, 其中如何提高和改善大型復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性成了經(jīng)濟(jì)發(fā)展過(guò)程中亟待解決的重要問(wèn)題. 例如, 全球生產(chǎn)商(華為, 微軟等)努力提高產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的可靠性, 第三方支付公司(阿里, Paypal等)竭力保障系統(tǒng)的可靠性與安全穩(wěn)定性. 因此, 在經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的時(shí)代研究大型復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性與安全性變得尤為重要.

在各種各樣的大型復(fù)雜系統(tǒng)中, 每一個(gè)元件的壽命越大, 整個(gè)系統(tǒng)的壽命也越大, 將這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為協(xié)同系統(tǒng)(Barlow and Proschan(1975)[1]). 根據(jù)元件的連接方式, 又將協(xié)同系統(tǒng)分為n中取k系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、串聯(lián)系統(tǒng).為了有效地研究復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性, 借助最小路集的理論, 可將協(xié)同系統(tǒng)等價(jià)為多個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)的并聯(lián); 同時(shí), 通過(guò)最小割集的方法, 將協(xié)同系統(tǒng)等效為多個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的串聯(lián). 因此, 為了研究并聯(lián)系統(tǒng)與串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題, 首先需要建立復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性理論. Barlow and Proschan(1975)在普通隨機(jī)序下給出了串聯(lián)系統(tǒng)中元件冗余優(yōu)于系統(tǒng)冗余的結(jié)論(BP原理). Boland等(1992)[2]分別考慮了由兩個(gè)壽命獨(dú)立異分布元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)的熱冗余元件和冷冗余元件的分配問(wèn)題, 就如何分配冗余元件給出了一些充分條件, 并得到了冗余系統(tǒng)壽命比較的普通隨機(jī)序. 基于Boland等(1992)的研究, Singh等(1994)[3]在所有元件壽命服從指數(shù)分布的條件下, 討論了串聯(lián)系統(tǒng)的熱冗余分配問(wèn)題, 給出了冗余系統(tǒng)壽命比較的失效率序, 同時(shí)還考慮了由兩個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的冷單冗余分配問(wèn)題, 得到了冗余系統(tǒng)壽命比較的隨機(jī)占優(yōu)序. Valdés等(2006)[4]考慮了兩個(gè)獨(dú)立異分布的初始元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)中的熱冗余分配問(wèn)題, 分析了元件失效率對(duì)分配策略的影響, 給出了冗余系統(tǒng)壽命比較的失效率序. 鑒于Singh等(1994)的研究, Li等(2008)[5]討論了兩個(gè)元件組成串聯(lián)系統(tǒng)的熱單冗余分配, 建立了冗余系統(tǒng)壽命比較的增凸序與隨機(jī)占優(yōu)序, 而對(duì)于兩個(gè)元件組成并聯(lián)系統(tǒng)的冷單冗余分配, 得到了冗余系統(tǒng)壽命比較的隨機(jī)占優(yōu)序. Brito等(2011)[6]給出了冗余系統(tǒng)壽命比較的反失效率序, 進(jìn)一步豐富和完善了Valdés等(2006)的結(jié)果. Li等[7]在隨機(jī)占優(yōu)序下比較了兩個(gè)溫備元件的分配問(wèn)題. Zhao等(2012)[8]進(jìn)一步將Singh等(1994)的結(jié)論從失效率序推廣到似然比序, 同時(shí)還討論了由兩個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的冷單冗余分配問(wèn)題, 給出了冗余系統(tǒng)壽命比較的似然比序. Nanda等(2013)[9]在一般的協(xié)同系統(tǒng)中將BP原理推廣到了反失效率序以及似然比序. Hazra and Nanda (2014)[10]在一般的協(xié)同系統(tǒng)中將BP原理推廣到了失效率序. Zhao等(2015)[11]對(duì)于溫備情形, 在串聯(lián)系統(tǒng)中給出了BP原理的似然比序, 在并聯(lián)系統(tǒng)中給出了BP原理的普通隨機(jī)序；對(duì)于熱備情形, 在串聯(lián)系統(tǒng)中也給出了BP原理的似然比序. Zhao等(2017)[12]研究了由n個(gè)元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)的冗余分配問(wèn)題, 將Zhao等(2012)的結(jié)論從兩個(gè)元件的情形推廣到n個(gè)元件的情形. Yan等(2016)[13]研究了由n個(gè)壽命獨(dú)立異分布的初始元件組成串聯(lián)系統(tǒng)的熱單冗余分配問(wèn)題, 在反失效率序意義下給出了冗余的分配策略, 將Valdés等(2006)的結(jié)果從兩個(gè)初始元件推廣至多個(gè)初始元件的情形, 同時(shí)將Brito等(2011)的結(jié)論從匹配情形推廣到不匹配情形. 在匹配情形下, 大多數(shù)的文獻(xiàn)都是基于元件壽命服從特定分布(例如指數(shù)分布, Gamma分布和Weibull分布等)的假設(shè)進(jìn)行研究, 在各種隨機(jī)序下對(duì)冗余分配策略作出隨機(jī)比較. 然而在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)活動(dòng)中, 元件的壽命往往是未知的, 使特定分布下得到的冗余分配方案不再具有一般性. 因此, 在元件服從一般壽命分布的條件下, 如何有效地改善與提高系統(tǒng)的可靠性與穩(wěn)定性成為了可靠性理論與可靠性工程中面臨的重大問(wèn)題. 有關(guān)冗余分配理論更多的討論可參閱You and Li(2014)[14], Da and Ding(2016)[15]和Fang and Li(2018)[16]等文獻(xiàn).

不同于以上文獻(xiàn), 這里主要研究了兩個(gè)比例失效率元件組成的串聯(lián)系統(tǒng), 在元件壽命相互獨(dú)立的條件下, 對(duì)于元件冗余與系統(tǒng)冗余兩種分配方式, 分別在普通隨機(jī)序、失效率序、反失效率序下作出了討論, 得到了元件冗余是最優(yōu)分配策略的結(jié)論.

2 模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明

(ⅲ)若對(duì)于任意的x∈R,FY/FX關(guān)于x是遞增的,則稱(chēng)X反失效率序下小于Y.記作X≤rhY.

眾所周知, 失效率序與反失效率序都蘊(yùn)含了普通隨機(jī)序, 然而失效率序與反失效率序之間并沒(méi)有必然的聯(lián)系, 由普通隨機(jī)序既不能得失效率序也不能得失效率序.有關(guān)隨機(jī)序詳細(xì)的討論可以參閱Shaked and Shanthikumar(2007)[17]和Müller and Stoyan (2002)[18].

為了提高系統(tǒng)的可靠性, 經(jīng)常給系統(tǒng)元件附加冗余元件, 根據(jù)元件附加方式的不同, 可以將冗余分配方式分為元件冗余(見(jiàn)圖1)與系統(tǒng)冗余(見(jiàn)圖2), 所謂元件冗余是指給系統(tǒng)中的每一個(gè)初始元件附加一個(gè)冗余元件, 系統(tǒng)冗余是指給原始系統(tǒng)并聯(lián)一個(gè)冗余元件組成的系統(tǒng). 其中元件冗余又可分為熱備份和冷備份,熱備份是指初始元件與冗余元件壽命的最大值, 而冷備份是指初始元件與冗余元件壽命的卷積.本文將考慮兩比例失效率元件元件組成的串聯(lián)系統(tǒng), 對(duì)元件冗余方式與系統(tǒng)冗余兩種分配策略作出隨機(jī)比較, 得到最優(yōu)的分配方案.

圖1 元件冗余

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)表示圖1中的元件冗余的壽命，τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)表示圖2中的系統(tǒng)冗余的壽命.

圖2 系統(tǒng)冗余

3 元件冗余與系統(tǒng)冗余的隨機(jī)比較

定理1假設(shè)X1,X2是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別具有比例參數(shù)λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別也具有比例參數(shù)λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥st

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明使用元件冗余方案時(shí), 串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性函數(shù)為

采用系統(tǒng)冗余策略時(shí), 串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性函數(shù)表達(dá)為

將兩種方案的可靠性函數(shù)作差, 即

至此, 定理1得證.

定理2設(shè)X1,X2是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別具有比例參數(shù)λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別也具有比例參數(shù)λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥hr

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明為了建立元件冗余與系統(tǒng)冗余的失效率序, 將元件冗余與系統(tǒng)冗余方案的可靠性函數(shù)作比值, 即

因此，

所以y2(x)關(guān)于x是遞增的, 故完成了定理2的證明.

定理3設(shè)X1,X2是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別具有比例參數(shù)λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量分別具有比例參數(shù)λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥rh

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明為了得到元件冗余與系統(tǒng)冗余的失效率序, 將元件冗余與系統(tǒng)冗余方案的分布函數(shù)作比值, 即

進(jìn)一步有

不失一般性, 假設(shè)0<λ1≤λ2, 從而有

4 結(jié) 論

對(duì)于兩組比例失效率元件組成的串聯(lián)系統(tǒng), 將元件冗余與系統(tǒng)冗余兩種方式在普通隨機(jī)序、失效率序、反失效率序下做出了隨機(jī)比較, 得到了最優(yōu)的冗余方案, 元件冗余優(yōu)于系統(tǒng)冗余, 即

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥st

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y);

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥hr

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y);

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥rh

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y).

這里只討論了熱備冗余情形下, 兩組比例失效率元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)元件冗余與系統(tǒng)冗余的最優(yōu)分配問(wèn)題.對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)、串聯(lián)系統(tǒng)、協(xié)同系統(tǒng)的溫備情形, 或者相依元件組成系統(tǒng)的冗余分配問(wèn)題, 為確定冗余系統(tǒng)的分布函數(shù)帶來(lái)了極大地困難, 一些關(guān)鍵的理論問(wèn)題依然懸而未決, 一些富有挑戰(zhàn)性的應(yīng)用問(wèn)題亟待解決, 這將是以后的研究方向.