基于自發(fā)輻射相干效應(yīng)的可調(diào)光子帶隙反射率的提高方法?

楊柳 郜中星2)? 薛冰 張勇剛 蔡永茂

1)(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院,哈爾濱 150001)

2)(哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院,哈爾濱 150001)

3)(東北電力大學(xué)理學(xué)院,吉林 132012)

(2018年7月17日收到;2018年8月28日收到修改稿)

1 引 言

在過去的二十年里,電磁誘導(dǎo)透明(electromagnetically induced transparency,EIT)效應(yīng)備受關(guān)注并產(chǎn)生了許多有趣的應(yīng)用,例如慢光效應(yīng)、量子存儲和非線性增強(qiáng)[1?7]等.起初,人們對光子帶隙的研究僅局限于光子晶體中.折射率隨著介質(zhì)長度呈現(xiàn)周期性變化,由于入射場的布拉格散射,導(dǎo)致某些特定頻率的光在傳播過程中不能夠透過介質(zhì),這些帶隙被描述為光子帶隙(photonic band gap,PBG)[8].眾所周知,光子晶體一旦形成其周期性結(jié)構(gòu)就固定了,獲得的帶隙寬度、位置及反射率等也就固定了,因此傳統(tǒng)光子晶體的PBG是不可調(diào)節(jié)的[9].21世紀(jì)初,基于量子干涉的動力學(xué)可調(diào)PBG的問世彌補(bǔ)了這一缺陷.前期,人們利用空間周期性傳播的駐波耦合場,使介質(zhì)的折射率呈周期變化形成光子禁帶[10?14].近期,在EIT條件下,利用囚禁在光學(xué)晶格中的冷原子來產(chǎn)生可調(diào)PBG也已取得了驚人的進(jìn)步[15].這兩種方案本質(zhì)上均是通過使折射率呈現(xiàn)周期性狀態(tài)來產(chǎn)生光子帶隙結(jié)構(gòu),并且動力學(xué)可調(diào).不同的是,后者將冷原子俘獲在一維光晶格中,利用原子在光晶格中周期性分布的特性,在行波場的驅(qū)動下產(chǎn)生光子禁帶.不同于駐波場驅(qū)動的Λ型原子系統(tǒng)的PBG,冷原子光晶格系統(tǒng)中會產(chǎn)生兩個(gè)帶隙,并且?guī)兜奶匦圆粌H受控制場的調(diào)制,而且還受探測場和光晶格之間的夾角及晶格波長的影響[16].隨后,Schilke等[17]還對對布拉格反射進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,并報(bào)道了透射和反射的測試光譜.

自發(fā)輻射相干(spontaneously generated co-herence,SGC)是指原子從兩個(gè)足夠靠近的上能級(或同一上能級)向同一個(gè)基態(tài)能級(或兩個(gè)足夠靠近的下能級)自發(fā)弛豫時(shí)由真空輻射場在兩個(gè)輻射通道間感生出來的原子干涉效應(yīng)[18?20].該現(xiàn)象能夠引起許多有趣的現(xiàn)象,例如無反轉(zhuǎn)激光、增強(qiáng)非線性Kerr效應(yīng)[21?23]等.一直以來,人們都致力于提高PBG的反射率,反射率越高就越利于提高光路由和光隔離器等的效率[24?27].一般而言,在無增益介質(zhì)中,由于EIT效應(yīng),PBG的反射率可以不斷接近1,但由于光信號在傳播過程中介質(zhì)以及其他器件或結(jié)點(diǎn)帶來的損耗會降低光信號的強(qiáng)度.因此本文提出一種可以通過考慮SGC效應(yīng)來提高PBG反射率的方法,并且選取適當(dāng)?shù)臈l件參數(shù),反射率甚至能夠高于1.該方法可以補(bǔ)償傳播過程中的不必要損耗,提高光信號的傳輸效率.

本文展示的一維PBG由囚禁在一維光晶格中的冷原子產(chǎn)生,并且該系統(tǒng)可以產(chǎn)生兩個(gè)PBGs.考慮基態(tài)兩能級為超精細(xì)結(jié)構(gòu)的三能級Λ型原子系統(tǒng),自發(fā)輻射效應(yīng)會使兩個(gè)PBGs產(chǎn)生高的反射率.我們還進(jìn)一步觀察了探測場的增益-吸收情況來探究PBG反射率提高的原因.另外,對PBG的反射率與兩個(gè)偶極矩之間的夾角和非相干驅(qū)動場強(qiáng)度等參數(shù)之間的關(guān)系也進(jìn)行了詳細(xì)討論.

2 理論模型

考慮一個(gè)簡單的三能級Λ型原子系統(tǒng),如圖1所示,其中頻率為ωp(Ep)和ωc(Ec)分別作用在偶極允許躍遷的兩個(gè)探測場上.相應(yīng)的激光場拉比頻率?p=Ep·d13/(2~),?c=Ec·d12/(2~),其中dij是躍遷的電偶極矩.同時(shí),探測場和耦合場的單光子失諧被定義為?p= ω31?ωp,?c= ω21?ωc.值得注意的是,所選的三能級原子結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基態(tài)為超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級,因此兩個(gè)自發(fā)輻射躍遷通道Γ31和Γ21會產(chǎn)生相干,即SGC效應(yīng).一維光晶格是由波長為λlatt的紅失諧激光反射形成的,大量原子俘獲在其中.

在相互作用圖象下,通過電偶極近似和旋轉(zhuǎn)波近似,我們可求得光波場與原子系統(tǒng)的相互作用哈密頓H如下:

圖1 三能級Λ型原子系統(tǒng) (a)三能級原子系統(tǒng)與弱探測場Ep和強(qiáng)耦合場Ec相互作用;(b)相應(yīng)的兩電偶極距d13和d12之間夾角為θ;(c)冷原子被束縛在周期為alatt=λlatt/2的一維光晶格中Fig.1 .Three-level Λ-type atomic system:(a)A threelevel atomic system interacting with a probe f i eld Ep and a coupling f i eld Ec;(b)the angel between the relevant dipole moments d13and d12is θ;(c)atoms are trapped in an optical lattice formed by a retroref l ecting laser beam of wavelength alatt=λlatt/2.

其中等式右側(cè)第一項(xiàng)代表源于相干驅(qū)動場的可逆過程,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別代表源于自發(fā)輻射和非相干驅(qū)動場的不可逆過程.將H代入(2)式,我們可得到如下的密度矩陣方程組:

(3)式滿足粒子數(shù)守恒和共軛條件,即ρ11+ρ22+ρ33=1和代表能級和能級之間的相干弛豫速率,代表源于自發(fā)輻射通道和之間的交叉耦合的量子干涉效應(yīng),即SGC效應(yīng).耦合場和探測場的初始相位分別為?c和?p,?c= ?c0exp(i?c)和?p= ?p0exp(i?p),其中?c0和?p0為實(shí)數(shù),ηΦ= η eiΦ,Φ = ?p? ?c表示兩相干場的相對相位.注意,只有當(dāng)能級|2〉和|3〉的間隔足夠小時(shí),我們才必須考慮SGC效應(yīng),才有η=1,否則η=0.對于如圖1(a)所示的原子模型,我們有

Λ表示非相干驅(qū)動場抽運(yùn)速率.于是,我們通過穩(wěn)態(tài)下(?tρij=0)求解(3)式來獲得探測場的極化率χp(z),即

如圖1(c)中所示,冷87Rb原子被囚禁于一個(gè)駐波偶極阱中,該偶極阱利用一個(gè)波長為λlatt的紅失諧回反射激光形成. 勢阱的深度Ulatt與樣品溫度T0有關(guān),二者之比為一個(gè)常系數(shù)ξ=Ulatt/(kBT0)(kB表示玻爾茲曼常數(shù)).用來形成晶格的激光波長必須滿足λlatt>λ31來形成偶極阱.這意味著布拉格條件可以通過一個(gè)探測場和晶格之間的非零傳輸角α來滿足,而且α需要足夠小使得探測場能夠與整個(gè)晶格長度相互作用.通過幾何布拉格條件λ0= λ31/cosα,我們可以定義?λlatt= λlatt?λ0.每個(gè)晶格周期原子密度分布滿足,沿z方向的均方根譜寬為表示沿z方向上第i個(gè)周期的中心位置且alatt=L/n表示每個(gè)周期的長度,N0表示平均原子密度,則在這個(gè)原子介質(zhì)中,我們將利用傳輸矩陣?yán)碚?首先,構(gòu)建第j個(gè)周期的傳輸矩陣Mj,該周期長度可以被分成很多層,例如厚度δz(?alatt)均勻的100層結(jié)構(gòu).每個(gè)周期的傳輸矩陣Mj是周期內(nèi)每層傳輸矩陣mj(zl)的乘積,mj(zl)的系數(shù)由菲涅耳系數(shù)給出[28],并與反射rj和透射系數(shù)tj有關(guān),即

于是Mj=mj(z1)···mj(zl)···mj(z100). 第二,由于每個(gè)偶極阱內(nèi)原子密度是相同的,我們可以容易地獲得整個(gè)原子介質(zhì)長度L=nalatt的傳輸矩陣M=,如圖1(c)所示.并且,探測場的反射率和透射率可以通過(9)式計(jì)算,

其中M(ij)是整個(gè)介質(zhì)傳輸矩陣M的矩陣元.

3 數(shù)值結(jié)果及分析

在圖1(c)所示的一維光晶格系統(tǒng)中,不考慮SGC效應(yīng)(η=0),探測場會在EIT窗口內(nèi)產(chǎn)生兩個(gè)帶隙PBG1和PBG2,其理論反射率均在80%左右,如圖2(a)中黑色虛線.本文同樣采用三能級系統(tǒng),考慮基態(tài)|2〉和|3〉為超精細(xì)結(jié)構(gòu),即SGC效應(yīng)(η=1)對PBG效應(yīng)帶來的變化.我們先對PBG2進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)考慮SGC效應(yīng)后,探測場反射率明顯提高,PBG2的反射率甚至高達(dá)1.06,如圖2(a)中紅色實(shí)線.由于探測場的增益-吸收曲線正比于Im(ρ31),Im(ρ31)大于0則表示探測場處于增益狀態(tài),Im(ρ31)小于0則表示探測場處于被吸收狀態(tài).圖2(b)進(jìn)一步給出探測場的增益-吸收曲線,并且為了方便觀察,插圖中我們將反射率大于1的失諧區(qū)域進(jìn)行放大.可以清楚地看到,在PBG2反射率大于1的區(qū)域,Im(ρ31)的值大于0,即出現(xiàn)探測場增益現(xiàn)象.這說明帶隙出現(xiàn)大于1的情況是由于探測場增益導(dǎo)致的,這也解釋了反射率提高的能量來源.但是否探測場增益就一定會導(dǎo)致反射率大于1的情況將在下文中討論.接下來,我們介紹如何操控PBG2平臺的反射率.

為了探究如何操控PBG2的反射率,我們觀察了非相干驅(qū)動場抽運(yùn)速率Λ分別為0.07Γ,0.08Γ和0.09Γ以及偶極矩θ分別為0,π/6和π/4情況下的反射率和增益-吸收特性隨探測場失諧演化的情況.從圖3(a)和圖3(b)可以看出,在一定范圍內(nèi),隨著Λ的增加,PBG的反射率由0.97增加到1.08,并且探測場的極化率也不斷增加.從圖3(c)和圖3(d)可以看出,隨著SGC效應(yīng)(cosθ)的增強(qiáng),PBG的反射率由0.94增加到1.05,其探測場的極化率也不斷增加.這說明對于PBG2,SGC效應(yīng)的加強(qiáng)(Λ和cosθ增加),是反射率不斷提高的有效方法.也進(jìn)一步證明,探測場極化率的增加是使系統(tǒng)反射率提高的主要原因.并且當(dāng)反射率出現(xiàn)大于1的情況時(shí),探測場均會相應(yīng)地出現(xiàn)增益.

圖2 η=0(黑色虛線)和η=1(紅色實(shí)線)情況下探測場的反射率和探測場的增益-吸收與失諧?p/Γ的關(guān)系,其中Λ =0.06Γ,Φ =0,θ=0,?c0=20?p0= Γ,?c=0,Γ32=0.001 MHz,Γ12= Γ13= Γ =6 MHz,λlatt=781.00 nm,?λlatt=0.25 nm,λ31=780.02 nm,N0=7.0×1010cm?3,L=3.0 mm (a)反射率與失諧的關(guān)系;(b)增益-吸收與失諧的關(guān)系Fig.2 .The ref l ectivities and the gain or loss of the probe f i eld versus the detuning ?p/Γ as η =0(black dashed line)and η =1(red solid line),where Λ =0.06Γ,Φ =0,θ =0,?c0=20?p0= Γ,?c=0,Γ32=0.001 MHz,Γ12= Γ13= Γ =6 MHz,λlatt=781.00 nm,?λlatt=0.25 nm,λ31=780.02 nm,N0=7.0× 1010cm?3,L=3.0 mm:(a)The ref l ectivities versus the detuning;(b)the gain or loss versus the detuning.

圖3 探測場的反射率、增益-吸收與失諧?p/Γ的關(guān)系 (a)θ=π/4時(shí)反射率與失諧的關(guān)系;(b)θ=π/4時(shí)增益-吸收與失諧的關(guān)系;(c)Λ=0.06Γ時(shí)反射率與失諧的關(guān)系;(d)Λ=0.06Γ時(shí)增益-吸收與失諧的關(guān)系:其他參數(shù)同圖2Fig.3 .The ref l ectivity and the gain-loss of probe f i eld versus the detuning?p/Γ:(a)The ref l ectivity versus the detuning when θ = π/4;(b)the gain-loss versus the detuning when θ = π/4;(c)the ref l ectivity versus the detuning when Λ =0.06Γ ;(d)the gain-loss versus the detuning when Λ =0.06Γ .Other parameters are the same as in Fig.2.

接下來,我們來探究出現(xiàn)在PBG2左側(cè)的PBG1.如圖4所示,考慮SGC效應(yīng)(η=1)時(shí)的帶隙反射率要高于不考慮SGC效應(yīng)(η=0)的情況.通過調(diào)節(jié)參數(shù),我們可以實(shí)現(xiàn)PBG1反射率大于1的情況(圖4(a)紅色曲線),此時(shí)同樣伴隨著探測場吸收譜線出現(xiàn)增益(圖4(b)插圖紅色曲線).并且該帶隙的譜線線寬遠(yuǎn)小于自然譜線線寬,在實(shí)際應(yīng)用中可以起到探針的作用.為了探究如何操控PBG1的反射率,我們在圖5(a)和圖5(b)中展示了PBG1的反射率以及探測場增益-吸收與非相干抽運(yùn)Λ之間的關(guān)系.我們看到,隨著Λ由9× 10?4Γ 減小到5× 10?4Γ,PBG1的反射率由1.90降到0.90,且探測場的極化率也不斷降低.我們在圖5(c)和圖5(d)中展示了PBG1反射率和探測場增益-吸收與θ之間的關(guān)系.隨著cosθ由cos增加到cos,PBG1的反射率由0.77提高到1.35,探測場的極化率也不斷增加.這說明對于PBG1,SGC效應(yīng)的加強(qiáng)(Λ和cosθ增加),同樣會使反射率不斷提高.也進(jìn)一步證明,探測場極化率的增加是使系統(tǒng)反射率提高的主要原因.值得注意的是,圖5(a)和圖5(b)中反射率出現(xiàn)大于1的情況,圖5(b)和圖5(d)中探測場均會相應(yīng)地出現(xiàn)增益,但圖5(b)和圖5(d)中所有探測場增益-吸收曲線均出現(xiàn)增益,圖5(a)和圖5(b)中僅有部分反射率大于1,這說明探測場出現(xiàn)增益是反射率大于1的必要不充分條件.

圖4 η=0(紅色實(shí)線)和η=1(黑色虛線)情況下探測場的反射率和探測場增益-吸收與失諧?p/Γ的關(guān)系 (a)反射率與失諧的關(guān)系;(b)增益-吸收與失諧的關(guān)系:其中,Λ=8×10?4Γ,Φ=0.6π,其他參數(shù)同圖2Fig.4 .The ref l ectivity and the gain-loss of probe f i eld versus the detuning?p/Γ:(a)The ref l ectivity versus the detuning;(b)the gain-loss versus the detuning.Λ =8×10?4Γ,Φ =0.6π and other parameters are the same as in Fig.2.

圖5 探測場的反射率和探測場增益-吸收與失諧?p/Γ的關(guān)系 (a)反射率與失諧的關(guān)系;(b)增益-吸收與失諧的關(guān)系;(c)反射率與失諧的關(guān)系;(d)增益-吸收與失諧的關(guān)系;其他參數(shù)同圖4Fig.5 .The ref l ectivity and the gain–loss of probe f i eld versus the detuning ?p/Γ:(a)The ref l ectivity versus the detuning;(b)the gain-loss versus the detuning;(c)the ref l ectivity versus the detuning;(d)the gain-loss versus the detuning.Other parameters are the same as in Fig.4.

綜上,不考慮SGC效應(yīng)時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生的光子帶隙較低,SGC效應(yīng)的引入使反射率大大提高.這是由于SGC效應(yīng)導(dǎo)致了系統(tǒng)探測場出現(xiàn)增益現(xiàn)象.并且隨著SGC效應(yīng)的增加,探測場的極化率不斷增加甚至出現(xiàn)增益現(xiàn)象,PBG的反射率也不斷增加,甚至超過1.

4 結(jié) 論

本文在一維冷原子光晶格產(chǎn)生可調(diào)雙光子帶隙的基礎(chǔ)上考慮了SGC效應(yīng),通過合理設(shè)置參數(shù)分別獲得了反射率大于1的兩光子帶隙.對于之前提高帶隙反射率的工作,該工作取得了重要成果,特別是PBG2的反射率可達(dá)到1.08,PBG1的反射率可以達(dá)到1.9甚至更高.我們通過探究探測場的增益-吸收情況分析反射率提高的原因,發(fā)現(xiàn)反射率提高的頻率區(qū)域探測場的吸收-增益曲線均有提高,甚至在反射率大于1的區(qū)域,探測場均出現(xiàn)增益情況.這說明該系統(tǒng)反射率的提高是由于探測場增益導(dǎo)致的.該結(jié)論可以用來提高各類光學(xué)器件,例如光路由、光二極管和光三極管等的效率[25,29],并且PBG2的線寬小于自然線寬可以用作探針.