細菌模型的非協(xié)調(diào)混合有限元分析

毛鳳梅,楊曉俠

(平頂山學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 平頂山 467000)

0 引言

考慮細菌模型

(1)

其中:a11,a12,a22均為正數(shù),X=(x,y,z),Ω為R3上的一個具有光滑邊界的有界閉區(qū)域,I代表區(qū)間(0,T),T>0;u和v分別代表細菌的空間密度和被感染的人口密度;d1>0及d2>0為擴散系數(shù);a11u表示細菌的自然死亡率;a11v代表傳染病人口對細菌增加的貢獻率;為傳染病人口潛伏期所產(chǎn)生的阻尼項;g(u)代表在傳染病流行中,當已感染人口總數(shù)不變的情況下的人口傳染率且滿足Lipchitz條件。

細菌模型描述了某些細菌在空氣中的傳播問題[1],怎樣控制細菌傳播速度和易感染人口的增長速度成為人們研究的熱點。文獻[2]用Leray-Schauder不動點定理證明了一類一維推廣的細菌模型的周期解的存在唯一性;文獻[3]用Green函數(shù)方法討論了問題(1)周期平面波解的存在唯一性;文獻[4]用Galerkin方法討論了一類廣義細菌模型的定解問題;文獻[5]用Galerkin譜方法證明了二維廣義細菌模型的整體解的存在唯一性;文獻[6]給出了帶有遷移的瘧疾病和虐蚊數(shù)學模型的交替有限元方法和數(shù)值分析;文獻[7]利用細致的能量估計、不同的希爾伯特空間的先驗估計及一致的Gronwall不等式,證明了一類帶有趨化性擴散的細菌模型一致有界解的整體存在性;文獻[8]研究了一類噬菌體死亡率受到噪聲干擾的隨機噬菌體-細菌模型邊界平衡點的隨機漸近穩(wěn)定性和隨機模型的解圍繞相應確定性模型正平衡點的震蕩行為;文獻[9]利用非協(xié)調(diào)元對細菌模型在全離散和半離散格式下進行了最優(yōu)誤差估計及超逼近分析。然而上述文獻分析主要集中在傳統(tǒng)的Galerkin方法,對此方程利用新混合元(特別是非協(xié)調(diào)和混合元)方法進行半離散和全離散誤差分析的討論目前少見報道。

眾所周知,混合有限元方法是有限元領域中最活躍的分支之一,與傳統(tǒng)有限元方法相比,具有可同時逼近標量函數(shù)(壓力)和向量函數(shù)(流量)的優(yōu)勢,且引入通量后可改為在光滑度較弱的混合元空間中求解,但是該方法所涉及的兩個逼近空間通常需要滿足所謂的LBB條件。文獻[10-11]提出了另外一種混合元格式,當選取的兩個逼近空間滿足一種簡單的約束關(guān)系時,該格式自然滿足LBB條件,避開了因梯度算子帶來的麻煩,且在和傳統(tǒng)格式同樣精度的條件下,該格式需要更小的自由度規(guī)模,但他們在誤差估計中僅得到了收斂性結(jié)果,沒有涉及超收斂分析。后來,該方法應用到了二階橢圓問題[12]、非線性四階雙曲方程[13]的超逼近和超收斂分析；文獻[14-15]利用EQrot+Q10×Q01對廣義神經(jīng)傳播方程和EFK方程在半離散和全離散格式下進行了高精度分析。

本文的主要目的是構(gòu)造一個三維的非協(xié)調(diào)混合元(EQrot+Q100×Q010×Q001)用于研究具有實際背景的細菌模型,利用插值理論、高精度分析和對時間t的導數(shù)轉(zhuǎn)移的技巧,借助于該單元所具有的性質(zhì),在半離散格式下分別導出了原始變量u,v的H1模和中間變量p,q的L2模下O(h2)階超逼近結(jié)果和超收斂性質(zhì)。進一步,通過構(gòu)造適當?shù)娜x散格式,得到了精度為O(h2+Δt)的誤差估計結(jié)果。

1 單元構(gòu)造

Fig.1 Cell partition diagram圖1 單元剖分圖

類似于文獻[16]，定義混合有限元空間為

Wh={wh=(w1,w2,w3);wh|k∈Q100(K)×Q010(K)×Q001(K),?K∈Th},

(2)

和

(3)

其中,n表示?K上的單位外法向量。

類似于文獻[16-18]可以證明如下結(jié)論

對于φ∈H1(Ω),ψ∈(H2(Ω))3,wh∈Wh,vh∈Vh,有

(4)

(5)

(6)

2 超逼近和超收斂分析

為了構(gòu)造問題(1)的新混合有限元格式,引入變量p=-u,q=-v,則方程(1)可變?yōu)?/p>

(7)

(8)

相應的混合有限元逼近為:求{uh,vh;ph,qh}:[0,T]→Vh×Vh×Wh×Wh滿足

(9)

定理1 方程(9)存在唯一解

在方程(9)中令χh=φi,zh=φi,Φh=Ψj,ψh=Ψj,則方程可變?yōu)槿缦滦问?/p>

(10)

其中,

H1(t)=(h1(t),h2(t),…,hr1(t))T,H2(t)=(l1(t),l2(t),…,lr1(t))T,

G1(t)=(g1(t),g2(t),…,gr2(t))T,G2(t)=(s1(t),s2(t),…,sr2(t))T,

A=((φi,φj))r1×r1,B=((Ψi,

由(10)可得

(11)

由于(11)是關(guān)于向量H(t)=(H1,H2)T的非線性微分方程系統(tǒng),由微分方程解的存在唯一性定理知,當t>0時,H(t)有唯一解[19],從而G(t)有唯一解,即問題(9) 存在唯一解。

下面給出上述問題的超逼近分析

定理2 設{u,v,p,q}和{uh,vh,ph,qh}分別是方程(8)和 (9)解,u,v,ut,vt∈H2(Ω),p,q∈(H2(Ω))3, 則

證明記

由(8)和(9)得誤差方程:

(12)

在(12)(a)式中令χh=ζt,在(12)(a)式中令ψh=ζt再乘d1,兩式相加得

(ζt,ζt)+d1(ζ,ζt)+a11(ζ,ζt)=

a12(τ,ζt)+a12(θ,ζt)-(ηt,ζt)-a11(η,ζt)-d1(η,

(13)

由于

(14)

根據(jù)結(jié)論(4)、(5)、(6), 插值理論,Schwartz不等式, Young不等式再結(jié)合(14)式, 方程(13)可估計為

C(‖τ‖0‖ζt‖0+‖θ‖0‖ζt‖0+‖η‖0‖ζt‖0+‖ηt‖0‖ζt‖0)+

從而,有

(15)

在(12)(c)式中令zh=θt,在(12)(d)式中令Φh=θt再乘d2,兩式相加得

(θt,θt)+d2(θ,θt)+a22(θ,θt)=

(g(u)-g(uh),θt)-(τt,θt)+d2(δ,

(16)

類似于(13)式的估計, 再利用g(u)的Lipschitz條件,(16)式可估計為

從而,有

(17)

(15)和(17)式相加可得

對上式兩邊從0到t積分, 并注意到ζ(X,0)=0,θ(X,0)=0,得

再由Gronwall引理可得

(18)

在(12)(b)式中令ψh=ξ可得

在(12)(d)式中令Φh=r可得

從而,定理2得證。

注:若新格式混合有限元空間選為Q111+Q011×Q101×Q110,當u,v∈H2(Ω),ut,vt∈H3(Ω) 時可得如下結(jié)論

顯然此時對ut,vt的光滑度要求偏高,從而說明了本文所選單元的合理性和優(yōu)勢。

(19)

和

并成立如下結(jié)論

定理3 設{u,v,p,q}和{uh,vh,ph,qh}分別是方程(8)和(9)解,則

3 全離散及誤差分析

首先將區(qū)間[0,T] 做n等分,0=t0

tn=nΔt, Δt=tn-tn-1,un=u(X,tn),

?φn=(2Δt)-1(φn-φn-1),

由于以上記號,方程(8)可改寫為如下形式

(20)

與(20)式對應的全離散格式為:求{Un,Vn;Pn,Qn}∈Vh×Vh×Wh×Wh,滿足

(21)

定理4 設{un,vn,pn,qn}和{Un,Vn,Pn,Qn}分別是方程(20)和(21)的解,u,v,ut,vt∈H2(Ω),p,q∈(H2(Ω))3, 則

‖ζM‖h+‖θM‖h=O(h2+Δt), ‖ξn‖0+‖rn‖0=O(h2+Δt).

證明記

由(20)和(21)可得誤差方程

(22)

在(22)(a)式中令χh=?tζn,在(12)(a)式中令ψh=?tζn再乘d1,兩式相加得

(?tζn,?tζn)+d1(ζn,?tζn)+a11(ζn,?tζn)=-

(?tηn,?tζn)-a11(ηn,?tζn)+a12(τn,?tζn)+

(23)

下面我們對(23)式進行估計

d1(ζn,?tζn)=d1(2Δt)-1(‖ζn+

(?tηn,?tζn)≤C‖?tηn‖0‖?tζn‖0≤

將上述結(jié)果代入(23)式可得

(24)

同理,在(22)(c)中令zh=?tθn,在(12)(a)式中令Φh=?tθn再利用g(u)Lipschitz條件,類似于(23)式的估計可得

(25)

(24)與(25)相加可得

(26)

對(26)式n從1到M求和

(27)

從而,有

(28)

選取適當?shù)摩和ε使1-CΔt-ε>0，再由離散的Gronwall引理, 有

‖ζM‖h+‖θM‖h=O(h2+Δt).

(29)

在(22)(b)中令ψh=ξn,可得

‖ξn‖0=O(h2+Δt).

(30)

在(22)(d)中令Φh=rn,可得

‖rn‖0=O(h2+Δt).

(31)