閉區(qū)間套定理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)有趣應(yīng)用

摘 要：實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性在數(shù)學(xué)分析、實(shí)分析等課程中是一非?；厩抑匾慕Y(jié)論。傳統(tǒng)的是利用對(duì)角線法證明（0，1）開(kāi)區(qū)間中所有實(shí)數(shù)是不可數(shù)的，從而證明全體實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。文章主要應(yīng)用實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一——閉區(qū)間套定理，巧妙地證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性，該結(jié)論將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣，并有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：閉區(qū)間套定理；實(shí)數(shù)集；不可數(shù)

眾所周知且容易證明，有理數(shù)集是可數(shù)的。自然的一個(gè)猜想就是，任何無(wú)限集合都是可數(shù)的。但是事實(shí)并非如此。德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論的創(chuàng)始人康托有一個(gè)極有意義的發(fā)現(xiàn)，就是全體實(shí)數(shù)集（有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）是不可數(shù)的。也就是說(shuō)，全體實(shí)數(shù)與整數(shù)或有理數(shù)相比有一個(gè)根本的不同。同樣是無(wú)限集，但實(shí)數(shù)集屬于更高一級(jí)類(lèi)型的無(wú)限。為人們所廣泛熟悉的連續(xù)統(tǒng)，就是實(shí)數(shù)集的基數(shù)（粗略地說(shuō)，即實(shí)數(shù)集元素的個(gè)數(shù)）。對(duì)于這個(gè)結(jié)論的其中一個(gè)應(yīng)用就是證明了實(shí)數(shù)集中除了代數(shù)數(shù)（任何整系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根）還存在超越數(shù)（不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)，如圓周率）；因?yàn)榇鷶?shù)式是可數(shù)的，但是實(shí)數(shù)集不可數(shù)。

康托利用對(duì)角線方法最早證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。主要思路如下：首先建立實(shí)數(shù)集與（0，1）開(kāi)區(qū)間的對(duì)等性（即找到兩個(gè)集合之間一個(gè)一一映射）；其次，利用十進(jìn)制法表示（0，1）開(kāi)區(qū)間中所有的實(shí)數(shù)，如果所有這些實(shí)數(shù)集可數(shù)，它們就與正整數(shù)集對(duì)等，換句話說(shuō)，它們就可以排列成一無(wú)窮序列。最后，也是最巧妙的部分，就是通過(guò)對(duì)角線方法構(gòu)造一個(gè)（0，1）開(kāi)區(qū)間中一個(gè)新的實(shí)數(shù)，但是我們能說(shuō)明這個(gè)新的實(shí)數(shù)不屬于這個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)矛盾就證明了實(shí)數(shù)集無(wú)法排列成一無(wú)窮序列，也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。

雖然康托的證明非常經(jīng)典，但是這個(gè)證明涉及到十進(jìn)制表示法以及新的實(shí)數(shù)的構(gòu)造，對(duì)于初學(xué)者并不容易掌握這個(gè)證明。很自然的問(wèn)題是，是否存在對(duì)角線方法之外的而且更容易為學(xué)生理解的證明？文章將嘗試應(yīng)用閉區(qū)間套定理證來(lái)明實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。閉區(qū)間套定理是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要定理，也是實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一。但同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)之一。其中一個(gè)原因，就是閉區(qū)間套定理相關(guān)的應(yīng)用以及練習(xí)較少（事實(shí)上該定理的應(yīng)用非常廣泛）。我們所做的嘗試，一面能幫助學(xué)生如何構(gòu)造閉區(qū)間套從而學(xué)會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間套定理，另一面這個(gè)證明充滿趣味，將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣，最終有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

一、主要結(jié)論

首先，讓我們來(lái)回顧閉區(qū)間套定義及閉區(qū)間套定理。

定義2.1（[1]）設(shè)閉區(qū)間列{[an，bn]}具有如下性質(zhì)：

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，L；

（2）limn→∞（bn-an）=0。

則稱(chēng){[an，bn]}為閉區(qū)間套。

定理2.2（[1]）若{[an，bn]}是一閉區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)ξ，使得ξ[an，bn]，n=1，2，L即an≤ξ≤bn，n=1，2，L。

以下例子說(shuō)明閉區(qū)間套定理中閉區(qū)間不能減弱為開(kāi)區(qū)間，否則結(jié)論可能不成立。

例2.3 開(kāi)區(qū)間列{（0，1/n）}是一區(qū)間套且滿足limn→∞（1/n-0）=0，但不存在實(shí)數(shù)系中一點(diǎn)ξ滿足ξ（0，1/n），n=1，2，L。

下面給出可數(shù)集和不可數(shù)集的定義。

定義2.4（[2]）凡和正整數(shù)集對(duì)等（兩集合之間存在一一映射）的集合都稱(chēng)為可數(shù)集合。

定義2.5（[2]）不是可數(shù)集的無(wú)限集合稱(chēng)為不可數(shù)集。

下面我們證明文章的主要結(jié)論。

定理2.6 實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。

證：（反證法）假設(shè)實(shí)數(shù)集不是不可數(shù)集，則實(shí)數(shù)集必為可數(shù)集。由定義2.4知，實(shí)數(shù)集與正整數(shù)集對(duì)等，則實(shí)數(shù)集可排列成一個(gè)無(wú)窮序列，因此不失一般性，我們不妨設(shè)實(shí)數(shù)集為A={a1，a2，L anL}?，F(xiàn)在我們?cè)赱0，1]中構(gòu)造閉區(qū)間套。

第一步，將[0，1]分成三等分，即[0，1/3]，[1/3，2/3]，[2/3，1]。顯然對(duì)于a1而言，至多同時(shí)屬于上述兩個(gè)閉區(qū)間，則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a1，且記該閉區(qū)間為I1，長(zhǎng)度為1/3。

第二步，將I1同樣分成三等分。（例如若I1=[1/3，2/3]，則三等分之后得到三個(gè)閉區(qū)間為[1/3，4/9]，[4/9，5/9]，[5/9，2/3]）顯然對(duì)于a2而言，至多同時(shí)屬于兩個(gè)閉區(qū)間，則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a2，記該閉區(qū)間為I2，長(zhǎng)度為1/9，且滿足I2I1。

延續(xù)這個(gè)方式下去，我們可得到一列閉區(qū)間列{In}滿足以下性質(zhì)：

（1）InIn+1，n=1，2，L，

（2）In的區(qū)間長(zhǎng)度為1/2n，n=1，2，L，

（3）an In，n=1，2，L。

由（1）和（2）可知，{In}形成一閉區(qū)間套。則有閉區(qū)間套定理知，在實(shí)數(shù)集中存在一點(diǎn)ξA，滿足ξIn≥1In。另一方面，因ξA，故可設(shè)ξ=ak，其中k為正整數(shù)。由（3）知，ξ=ak Ik，進(jìn)而ξ In≥1In。矛盾！這個(gè)證明了實(shí)數(shù)集不能排列成一個(gè)無(wú)窮序列，故實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。證明完畢！

推論2.7 無(wú)理數(shù)是不可數(shù)集。

證：（反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即無(wú)理數(shù)集是可數(shù)集。眾所周知，有理數(shù)集是可數(shù)集。因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)可數(shù)集的并仍舊是可數(shù)集[2]，所以實(shí)數(shù)集作為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的并是可數(shù)的，與定理2.6矛盾。證明完畢！

二、結(jié)語(yǔ)

閉區(qū)間套定理固然是教學(xué)難點(diǎn)之一，初學(xué)者亦很難構(gòu)造閉區(qū)間套來(lái)應(yīng)用該定理。但是筆者認(rèn)為，只要在教學(xué)過(guò)程中，多穿插一些有趣的應(yīng)用，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和分析思維，同時(shí)也能激發(fā)其強(qiáng)烈的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：宣渭峰（1984.02- ），男，漢族，浙江寧波人，博士，講師，研究方向：一般拓?fù)洹?/p>