酒瓶的擺放藝術(shù)

黃婉盈　宋曉輝　白玉軍

研究動(dòng)機(jī)

酒瓶擺放問題起源于文藝復(fù)興時(shí)期。它的表述是這樣的：在酒柜中擺放13個(gè)大小相同的酒瓶，如果在底層擺放3個(gè)酒瓶，并且其中2瓶緊貼兩端，則依序放入13瓶酒后，一定會(huì)使最頂層的3瓶酒一樣高。我越想越覺得有興趣，但同時(shí)也懷疑這個(gè)問題是否正確。當(dāng)我去詢問老師的時(shí)候，老師建議我先找出其中的規(guī)律性，利用規(guī)律性再看是否能推導(dǎo)出其他的排列方式。于是，在老師的指導(dǎo)下，我開始對(duì)“13瓶酒”的問題進(jìn)行研究，尋找擺放13瓶酒的方法是否唯一及其規(guī)律性，進(jìn)而利用規(guī)律性推演出其他的相關(guān)擺放情況。

研究過程

我們把底部的3個(gè)酒瓶各自給予一個(gè)名稱：L代表左瓶，M代表中間的瓶子，R代表右邊的瓶子。而最頂層的3個(gè)酒瓶，最左邊的稱為1瓶，中間的稱為2瓶，右邊的稱為3瓶，見圖1。假設(shè)酒瓶的直徑為r。

估計(jì)酒柜的寬度

因?yàn)樽畹讓幽軘[放3瓶酒，所以酒柜的寬度最少要等于3個(gè)酒瓶的直徑；而為了讓M瓶有可以移動(dòng)的空間，所以最大寬度不可以超過4個(gè)酒瓶直徑的寬度（否則上層的酒瓶就會(huì)滾落到最底層）。

結(jié)論：3r≤酒柜的寬度<4r

以自制的酒瓶模型（同面值硬幣）與酒柜模型（白板）尋找可能出現(xiàn)的情況

酒柜寬度是3瓶酒的寬度：只有1種排列方式，經(jīng)過目測，看起來是等高的。

酒柜寬度在3r（不含）與3.5r之間，可以歸納出5種排列方法，分別是L跟M相接觸、M在中間偏左、M在正中間、M在中間偏右和M跟R相接觸。經(jīng)過目測，每一組看起來都是等高的，見圖2。

以同樣的方式觀察酒柜寬度剛好為3r的寬度和酒柜寬度在3.5r與4r（不含）之間的11種擺放情況，經(jīng)過目測，每一組看起來都是等高的。在全部這16種情況中，可觀察到一個(gè)共性：

若M緊貼著L，則2會(huì)緊貼著3；當(dāng)M向R移動(dòng)時(shí)，則2也會(huì)逆向地往1移動(dòng)；若M跟R緊貼，則2就會(huì)跟1緊貼。

確定最頂層的3瓶酒是否真的等高

觀察圖2可發(fā)現(xiàn)，除了固定不變的4瓶外，其他9個(gè)瓶子將形成一個(gè)四邊形的形狀；現(xiàn)在我們隨意取一組出來，并且將所有的圓都標(biāo)上圓心，之后把外面代表酒柜的框涂掉，接著把中間的9個(gè)圓心連線，另外把固定不動(dòng)的4個(gè)圓的圓心分別與旁邊的圓心相連接，最后再把圓心標(biāo)上字母，見圖3。

在圖3中，連接CE，因?yàn)镃E、EF和EG都等于酒瓶的直徑r，所以我們可以知道，C、F、G這3個(gè)點(diǎn)都會(huì)落在以E為圓心且半徑為r的圓周上，再加上∠FCG=90°，于是可以知道：F、E、G這3點(diǎn)恰好在同一條直線上。同理，H、I、F這3點(diǎn)也在同一條直線上，可以推導(dǎo)出四邊形HFGJ是一個(gè)菱形。

再連接AK，因?yàn)锳K、KH和KJ都等于酒瓶的直徑r，所以A、H、J這3點(diǎn)都會(huì)落在以K為圓心且半徑為r的圓周上，又因?yàn)镠、K、J這3個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，所以可以知∠HAJ=90°。同理，可以得到∠JDG=90°。因此，可以證明四邊形ABCD正好為一個(gè)長方形。由于四邊形ABCD為一個(gè)長方形，所以可知道A、J、D這3點(diǎn)在同一條直線上，并且和BC平行，也就是這3點(diǎn)將會(huì)在同一高度上。既然圓心都在同高度上，那么這3個(gè)酒瓶當(dāng)然也就等高了。用相同的方法，在其他組也可以證實(shí)最頂端的3瓶酒一定會(huì)等高。

結(jié)論：不管怎么排列，最頂端的3瓶酒1、2、3一定會(huì)等高。

繼續(xù)向上堆，是否有某一層的3瓶酒能夠等高

經(jīng)推導(dǎo)證明（過程略），只要是對(duì)稱組組合，每增加10瓶，就可以保持頂層的酒瓶等高；在特殊情況下每增加5瓶，同樣也可以保持頂層的酒瓶等高。

若將酒柜的寬度延伸，是否會(huì)有等高的情形發(fā)生

觀察前面圖形我發(fā)現(xiàn)，堆好的瓶子是類似長方形的排列，若是將堆好的瓶子旋轉(zhuǎn)90°，就可以發(fā)現(xiàn)：每次底層增加2瓶，則總瓶數(shù)將增加10瓶。

如果再繼續(xù)向上堆，是否會(huì)有等高的情形發(fā)生

經(jīng)推導(dǎo)證明（過程略）：底層為奇數(shù)時(shí)，若是繼續(xù)向上堆去，則每次將增加（第一次等高的瓶數(shù)-底層的瓶數(shù)）瓶；底層為偶數(shù)時(shí)，若是繼續(xù)向上堆去，則每次將增加（底層的瓶數(shù)×2-1）瓶。

研究結(jié)論

基本型：底層保持只有3瓶，向上堆時(shí)，第n次頂層的一樣高，則需要（10n+3）瓶（n為正整數(shù)）；特殊情況（底層M瓶在正中間時(shí)）第n次頂層的一樣高，則需要（5n+8）瓶（n為正整數(shù)）。

推廣型：底層向右邊增加，底層瓶數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)2種情況。底層為奇數(shù)時(shí)，底層為（2m+1）瓶，第1次頂層一樣高，則需要（10m+3）瓶（m為正整數(shù)）；底層為偶數(shù)時(shí)，底層為2m瓶時(shí)，第1次頂層一樣高，則需要（10m-2）瓶（m為正整數(shù)）。

最終型：底層向右增加，第n次等高時(shí)，若底層為奇數(shù)，底層為（2m+1）瓶，第n次頂層一樣高，則需要（8mn+2m+2n+1）瓶（m、n都是正整數(shù)）；底層為2m瓶時(shí)，第n次頂層一樣高，則需要（4mn+6m n 1）瓶（m、n都是正整數(shù)）。

該項(xiàng)目獲得第32屆全國青少年科技創(chuàng)新大賽創(chuàng)新成果競賽項(xiàng)目中學(xué)組數(shù)學(xué)一等獎(jiǎng)。

專家評(píng)語

本項(xiàng)目應(yīng)用初中幾何知識(shí)證明了擺放13瓶酒方法的唯一性和規(guī)律性，其次應(yīng)用翻折、數(shù)學(xué)歸納等方法將問題推廣，分別得到底層為奇數(shù)或偶數(shù)瓶時(shí)第n次等高擺放的酒瓶數(shù)，具有獨(dú)創(chuàng)性。項(xiàng)目立意有創(chuàng)新，研究方法合理，論據(jù)充分，研究成果有說服力。建議將得到的3種類型結(jié)果之間的聯(lián)系指明，并考慮研究方法是否可推廣到其他問題（例如地磚問題）中。