平面向量夾角問題的易錯剖析

李鵬

通過向量的數(shù)量積及其相關(guān)運算探究兩個向量的夾角問題，考生常常因為概念不清、考慮問題不全面等原因而導(dǎo)致錯誤.現(xiàn)就此類問題在解題中常見的易錯點剖析如下.

1.向量夾角的概念不清

教材上對向量夾角是這么定義的：對于兩個非零向量a和b，作OA =a，OB =b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a和b的夾角（圖1）.

例1 在△ABC中，AB =a， BC =b，有a·b<0，則△ABC的形狀是_____ .（填寫正確的序號）①鈍角三角形；②直角三角形；③銳角三角形；④不能確定.

錯解 由已知條件可得a·b=|a|.|b|.cos∠ABC<0，即cos ∠ABC<0，所以∠ABC為鈍角，故選擇①.

剖析 在本題中，向量a，b的夾角并不是∠ABC，因為它們并沒有從同一個起點出發(fā).我們可以通過平移讓兩個向量的起點重合（圖2），不難發(fā)現(xiàn)它們的夾角其實是∠ABC的補角.

正解 由已知條件可得a·b=|a|.|b|cos（π-∠ABC）0，所以∠ABC為銳角，但這并不能判斷三角形的形狀，所以答案應(yīng)該是④.