三角公式

◎任毓華

三角是中學生們學習數(shù)學的最基本內(nèi)容之一，是繼小學算術、初中代數(shù)之后的一塊最基礎內(nèi)容；只要想一想在初中數(shù)學中，代數(shù)（學）內(nèi)容和所占據(jù)位置，就不難領會作為高中數(shù)學內(nèi)容的三角（學）了；而且，三角還作為一種工具（方法）直接或者間接地參與解決數(shù)學問題，譬如：復數(shù)中有其三角式、解析中直線和圓錐曲線的參數(shù)方程、求解三角形時候運用到正弦定理余弦定理、乃至物理上的振動、波……。三角公式是組成三角的主要內(nèi)容之一、常被稱作“三角恒等變換”、與三角函數(shù)聯(lián)系緊密，掌握三角公式為提高數(shù)學推理能力和運算能力提供了廣闊的空間和領域！

掌握三角公式，首先需要記住這些公式。下面分類匯總，有的配以“口訣”要領。

第一類：誘導公式

sin cos tan cot公式一 α±2kπ sinα cosα tanα cot處理的角α公式二 α±π -sinα -cosα tanα cot α公式三 -α -sinα cosα -tanα -cot α公式四 π-α sinα -cosα -tαnα -cot α公式五 π2+α cosα -sinα -cotα -tan α公式五 π α公式六 3π2-α cosα sinα cotα tan α公式六 3π2-α -cosα -sinα cotα tan α 2+α -cosα sinα -cotα -tan

第二類：同角三角函數(shù)的基本關系式

1、倒數(shù)關系

2、商的關系

3、平方關系

同角三角函數(shù)關系六角形記憶法：

構造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

倒數(shù)關系——對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；

商數(shù)關系——六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

平方關系——三個倒三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

第三類：包含兩個角的三角函數(shù)式的公式（變換）

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

2．1二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．2三倍角公式

2．3萬能公式；

3、半角公式

有的地方又叫做降次公式。

4．1積化和差公式

4．2和差化積公式

第四類：轉化為形式Asin（ωx+φ）蘊含了化歸思想的三角公式。

要熟練掌握三角公式，關鍵在于正確應用到解決問題之中。

分析：應用誘導公式，化簡得-cosα．

分析：先用同角三角函數(shù)的公式得出cosα、cosβ，再用兩角差的余弦公式求出coa（α-β），從而確定α-β的值。

解∵α、β均為鈍角，∴cosα、cosβ均為負值，結合已知得 cosα＝-，由再余弦函數(shù)在第二象限為減函數(shù)，有α＜β得

分析：應用兩個角的三角函數(shù)的公式，依次求出α+β，α+2β的值。

分析：由函數(shù) f（x）的單調性知自變量的值，列得方程組：，從而得觀察該方程組與cos（α-β）之間的聯(lián)系，將sinα+sinβ＝-sin 360與cosα+cosβ＝-cos360兩邊平方相加，得sin2α+sin2β+2 sinαsinβ+cos2α+cos2β+2 cosαcosβ＝1結合公式 cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，可得其值為

分析：先化簡函數(shù)式子，再確定周期等。

練習

一、化簡：

二、求值：

通過以上練習，里邊總是蘊含著同角三角函數(shù)式的變換，兩個角的函數(shù)式的變換等三角變換。

代數(shù)公式、三角公式（或者說“代數(shù)恒等變換、三角恒等變換”）皆是“只變其形不變其質”的。

變換是數(shù)學的重要工具?！爸蛔兤湫尾蛔兤滟|”的三角變換，揭示外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系。三角變換包括變換的對象，變換的目標，變換的依據(jù)和方法等要素。兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據(jù)。通過對這些公式的探求，以及利用這些公式進行三角變換，我們將在怎么樣預測變換目標，怎么樣選擇變換公式，怎么樣設計變換途徑等方面作出思考，從而訓練和提高了我們的思考能力、推理能力、運算能力。

思維有序性和表述條理性是三角變換的基本要求。

最后，概括一下代數(shù)變換和三角變換的關系，以加深對三角變換的認識：

代數(shù)式變換往往著眼于式子結構形式的變換。對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系起來它們的那個恰當公式，這是三角式恒等變換的重要特點。