數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中算法課程的創(chuàng)新性研究

陶慶云　劉麗芳

摘 要 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽取得了良好的人才培養(yǎng)效應(yīng)，提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)，特別是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)學(xué)生的算法設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)和分析能力要求較高，研究如何提高學(xué)生的算法設(shè)計(jì)技能是一項(xiàng)具有重要意義的研究課題。本文詳細(xì)介紹了競(jìng)賽培訓(xùn)中算法課程教學(xué)時(shí)如何進(jìn)行實(shí)例教學(xué)和如何鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，以及實(shí)踐環(huán)節(jié)如何進(jìn)行分層次教學(xué)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模 算法設(shè)計(jì) 算法課程

1 數(shù)學(xué)建模與算法

根據(jù)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)提供的數(shù)據(jù)，2017年共有36375個(gè)隊(duì)，近11萬(wàn)名大學(xué)生參加此次競(jìng)賽。參賽選手來(lái)自全國(guó)34個(gè)省/市/區(qū)（包括香港、澳門和臺(tái)灣）及新加坡和澳大利的1520所院校。參賽人數(shù)再創(chuàng)歷史新高。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽目前已成為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，已經(jīng)取得了良好的人才培養(yǎng)效應(yīng)。

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目均來(lái)自實(shí)際問(wèn)題或者有明確的實(shí)際應(yīng)用背景。它的宗旨是培養(yǎng)大學(xué)生用數(shù)學(xué)思維和方法解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，這要求學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型并選擇合適的數(shù)學(xué)表示方式，設(shè)計(jì)出求解問(wèn)題的算法步驟，再利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)計(jì)算出模型的數(shù)值解，進(jìn)而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。這是一個(gè)復(fù)雜的抽象思維過(guò)程，其中對(duì)學(xué)生的算法設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)和分析能力要求較高。為此，研究如何在競(jìng)賽培訓(xùn)中提高學(xué)生的算法設(shè)計(jì)技能是一項(xiàng)具有重要意義的研究課題。

2 算法課程教學(xué)的現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)中算法課程的教學(xué)難度大，主要體現(xiàn)在課程涵蓋內(nèi)容非常廣泛、理論性較強(qiáng)、學(xué)生編程水平有限、上機(jī)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)實(shí)施困難。一方面，可以說(shuō)競(jìng)賽培訓(xùn)中各門課程皆涉及算法。這些內(nèi)容包括計(jì)算機(jī)常用算法、現(xiàn)代優(yōu)化算法、數(shù)值計(jì)算方法、線性與非線性規(guī)劃、微分方程、各種概率與統(tǒng)計(jì)方法等等。另一方面，作為地方性院校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和計(jì)算機(jī)編程基礎(chǔ)一般，尤其低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)編程時(shí)間短，實(shí)踐編程練習(xí)少，從而學(xué)生普遍反映競(jìng)賽培訓(xùn)課程內(nèi)容繁雜，理論深度大，上機(jī)實(shí)驗(yàn)難。授課教師一致反映要想在短時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的算法設(shè)計(jì)技能實(shí)為不易。因此，從教與學(xué)兩方面對(duì)算法課程改革進(jìn)行積極探索具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

3 算法課程理論性教學(xué)的探索

算法課程的目的是培養(yǎng)學(xué)生全面理解算法設(shè)計(jì)與分析中的基本概念，掌握算法設(shè)計(jì)和分析的主要原理和方法，熟練掌握解決常見(jiàn)問(wèn)題的經(jīng)典算法，提高學(xué)生用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。由于算法課程內(nèi)容非常廣泛且理論深度大，教師在培訓(xùn)中不可能全面的講授競(jìng)賽中可能涉及到的所有知識(shí)內(nèi)容，而只能盡可能多地介紹求解各類問(wèn)題的基本算法。這時(shí)教師可向?qū)W生推薦優(yōu)秀的輔導(dǎo)教材，供學(xué)生引申閱讀，拓寬學(xué)生知識(shí)面，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

競(jìng)賽培訓(xùn)中我們提倡實(shí)例教學(xué)法，理論的講授盡量做到深入淺出，給學(xué)生起引導(dǎo)作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步自學(xué)，要求學(xué)生做到舉一反三。例如，在講授動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法時(shí)，教師可先介紹如何用它求解斐波拉契數(shù)列問(wèn)題，并與用遞歸算法求解斐波拉契數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，分析子問(wèn)題的重疊性，從而突出動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的最大優(yōu)點(diǎn)即避免子問(wèn)題的重復(fù)計(jì)算，極大提高算法效率。然后教師可提出0-1背包問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生討論分析，指出它與斐波拉契數(shù)列問(wèn)題的相似性，即二者都可以看作多階段最優(yōu)化問(wèn)題，都具有子問(wèn)題重疊性，且適時(shí)指出這兩個(gè)問(wèn)題都具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，因此可用相同的方法求解它們。此時(shí)教師再詳細(xì)介紹如何用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法逐步求解0-1背包問(wèn)題，最后再總結(jié)出算法的基本思想。

教學(xué)時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，教學(xué)應(yīng)是開(kāi)放式的。所謂研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生基于自身興趣，在教師指導(dǎo)下，從自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象和生活中選擇和確定研究專題，并在研究過(guò)程中主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

研究性學(xué)習(xí)主要為了改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)一種主動(dòng)探究和改革創(chuàng)新的精神，主要為了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教師講解學(xué)生接受的固定教學(xué)模式。研究性學(xué)習(xí)體現(xiàn)出一種學(xué)習(xí)的變革，這包括：（1）學(xué)習(xí)目的的變革：從為了掌握知識(shí)向?yàn)榱私鉀Q實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變；（2）學(xué)習(xí)內(nèi)容的變革；從固定的純理論知識(shí)向綜合性、應(yīng)用性知識(shí)轉(zhuǎn)變；（3）學(xué)習(xí)過(guò)程的變革：從被動(dòng)接受知識(shí)向主動(dòng)獲取知識(shí)轉(zhuǎn)變；（4）學(xué)習(xí)方式的變革：從機(jī)械程序性掌握知識(shí)向靈活多變性理解知識(shí)轉(zhuǎn)變。具體來(lái)說(shuō)，在競(jìng)賽培訓(xùn)時(shí)教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況設(shè)計(jì)出不同問(wèn)題后，可由學(xué)生自由選擇題目，自由分組交流，查閱相關(guān)資料，熟悉問(wèn)題的背景知識(shí)，建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，搜索相關(guān)的數(shù)據(jù)，探索求解問(wèn)題的各種方法。在此過(guò)程中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生從全方面不同角度看待問(wèn)題、理解問(wèn)題，學(xué)生也可向教師咨詢，教師向?qū)W生提供引導(dǎo)性的建議，對(duì)較難的知識(shí)點(diǎn)作出詳細(xì)講解。最后教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程及成果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并給出改進(jìn)性建議。

這個(gè)研究性的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也能培養(yǎng)和提高學(xué)生搜索資料，應(yīng)用軟件，寫作科研論文等方面的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新精神。可以認(rèn)為這樣的教學(xué)過(guò)程就是一次小型的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，凡是競(jìng)賽中含有的環(huán)節(jié)都讓學(xué)生反復(fù)體驗(yàn)，競(jìng)賽所需要的各種能力和素養(yǎng)都能讓學(xué)生得到充分的鍛煉。

4 算法課程實(shí)踐性教學(xué)的探索

算法課程的實(shí)踐教學(xué)主要目的在于提高學(xué)生利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的能力。這要求學(xué)生至少掌握一門以上的計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言，如C、C++、Java等，必須熟悉常用的數(shù)學(xué)軟件如Matlab、SPSS、Mathematica等。因此對(duì)于接觸計(jì)算機(jī)編程時(shí)間較短的學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生首先要接受程序設(shè)計(jì)方面的基礎(chǔ)培訓(xùn)。在競(jìng)賽中學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題建立好數(shù)學(xué)模型后，必須設(shè)計(jì)出求解問(wèn)題的算法步驟。一方面必須要借助于計(jì)算機(jī)工具編寫程序?qū)崿F(xiàn)算法才能計(jì)算出模型的數(shù)值解，另一方面需要根據(jù)計(jì)算結(jié)果來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。于是，競(jìng)賽時(shí)學(xué)生能否利用熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編寫程序?qū)崿F(xiàn)算法，得出模型的結(jié)果就顯得尤為重要。這不僅考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力，更考驗(yàn)學(xué)生的編程功底。而扎實(shí)的編程功底需要長(zhǎng)時(shí)間的積累，要求學(xué)生熟練掌握各種基本算法、平時(shí)多做編程練習(xí)，掌握程序設(shè)計(jì)技巧。

實(shí)踐教學(xué)中考慮到學(xué)生編程能力的差異，可將編程實(shí)驗(yàn)分為三個(gè)不同層次。首先，基礎(chǔ)階段包括觀摩現(xiàn)成的經(jīng)典算法程序，在教師的講解和指導(dǎo)下進(jìn)行模仿和修改以達(dá)到理解和熟悉經(jīng)典算法的目的。其次，提高階段包括學(xué)生修改算法求解同類型的簡(jiǎn)單問(wèn)題，或者自己編程解決難度不大的具體實(shí)例。最后，應(yīng)用階段為學(xué)生分組合作解決各種綜合性的具體實(shí)例。例如在學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法時(shí)，在教師指導(dǎo)下學(xué)生應(yīng)能編寫程序求解較簡(jiǎn)單的斐波拉契數(shù)列問(wèn)題，由于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解0-1背包問(wèn)題存在較大難度，教師可提供現(xiàn)成的算法程序讓學(xué)生觀摩和修改。最后作為應(yīng)用可提出合唱隊(duì)形問(wèn)題和組合數(shù)問(wèn)題，由學(xué)生分組合作共同解決。

要讓學(xué)生熟練掌握各類基本算法應(yīng)是一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的過(guò)程，為此應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性。算法的實(shí)踐教學(xué)不應(yīng)局限于培訓(xùn)的課堂內(nèi)，而應(yīng)充分利用好學(xué)生的課余時(shí)間，為此，可以讓學(xué)生成立專門的算法興趣小組，注重決學(xué)生感興趣的各類問(wèn)題，或者進(jìn)行多樣化的程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽，由學(xué)生自主完成，也可由專任教師隨時(shí)提供咨詢，進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)指導(dǎo)。當(dāng)然，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)過(guò)程離不開(kāi)一個(gè)好的上機(jī)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，我們提倡學(xué)校實(shí)驗(yàn)室課余時(shí)間免費(fèi)向?qū)W生開(kāi)放，像筆者所在學(xué)校已有部分實(shí)驗(yàn)室從早上8點(diǎn)到晚上10點(diǎn)都向?qū)W生免費(fèi)開(kāi)放。這受到了學(xué)生的熱烈歡迎，也取得了良好的學(xué)習(xí)效果。

最后，算法課程的實(shí)踐環(huán)節(jié)離不開(kāi)一本優(yōu)秀的學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)輔導(dǎo)教程。輔導(dǎo)教程應(yīng)該選題恰當(dāng)，內(nèi)容全面，層次分明，有利于不同水平的學(xué)生進(jìn)行編程練習(xí)。

5 結(jié)語(yǔ)

新時(shí)期高等教育的目標(biāo)是培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的創(chuàng)新型高素質(zhì)人才，我們培養(yǎng)的大學(xué)生應(yīng)具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。這種素質(zhì)和能力的培養(yǎng)需要通過(guò)教師不斷優(yōu)化教學(xué)過(guò)程以及學(xué)生不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法來(lái)完成。作為數(shù)學(xué)教師要以一種研究者的心態(tài)去處理教學(xué)內(nèi)容，將隱藏在繁雜內(nèi)容中的基本數(shù)學(xué)思想發(fā)掘出來(lái)，并引導(dǎo)學(xué)生也能慢慢去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；在學(xué)生中要提倡研究性學(xué)習(xí)方式，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力。

而數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的開(kāi)展恰好有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，有助于促進(jìn)學(xué)生的算法設(shè)計(jì)與分析能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽離不開(kāi)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)和自主性學(xué)習(xí)，離不開(kāi)教師對(duì)數(shù)學(xué)課程和計(jì)算機(jī)課程教學(xué)體系的改革與創(chuàng)新，同樣也離不開(kāi)學(xué)校對(duì)教師和學(xué)生的管理方式的改革與創(chuàng)新。為了成功應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模，我們應(yīng)該了解學(xué)科發(fā)展的動(dòng)態(tài)和前沿理論，應(yīng)成為一個(gè)高素質(zhì)的研究者，并將科學(xué)研究引入大學(xué)生的教學(xué)過(guò)程，進(jìn)一步來(lái)看，數(shù)學(xué)建模也有利于提升整個(gè)高校課程教學(xué)的質(zhì)量與效果。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程應(yīng)成為高校課程教學(xué)改革的先鋒，值得我們不斷去探索和改進(jìn)。

*通訊作者：陶慶云

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