HPM模式下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)探析

摘 要：HPM是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育結(jié)合的簡(jiǎn)稱(chēng)。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用HPM模式教授數(shù)學(xué)的教師不多，因此相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)無(wú)法形成一個(gè)完整的體系，感覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥乏味。文章通過(guò)闡述HPM模式教學(xué)的作用，舉例說(shuō)明在課堂中如何融入數(shù)學(xué)史，以期幫助學(xué)生提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)。

關(guān)鍵詞：HPM模式；數(shù)學(xué)課堂；教學(xué)探析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-04-22

作者簡(jiǎn)介：楊舒懷（1979—），男，福建泉州人，福建省泉州市鯉城區(qū)人民政府教育督導(dǎo)室干部，一級(jí)教師，碩士研究生，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、HPM模式在教學(xué)中的作用

HPM模式的作用在于讓學(xué)生親身體驗(yàn)一次數(shù)學(xué)家的真實(shí)故事，激起學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)的熱情，改變數(shù)學(xué)在學(xué)生心中枯燥的看法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

1.HPM模式利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉

學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題時(shí)，其實(shí)就是一個(gè)包括空間想象、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納類(lèi)比、推理演繹、反思與建構(gòu)等的思維過(guò)程，我們可以幫助學(xué)生思考和判斷客觀事物背后隱含的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)史涉及數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維的起源與發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)史是前人經(jīng)過(guò)了艱辛的探究和總結(jié)得出的成果，具有高度抽象性和概括性。數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含的思維可以鍛煉提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.HPM模式利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的組成部分，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)該是一種文化的教育。數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的一種載體，HPM模式能幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，還原數(shù)學(xué)產(chǎn)生的過(guò)程，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化的生成。HPM模式能夠讓學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，讓他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中存在的美學(xué)。當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生興趣就會(huì)主動(dòng)了解數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生過(guò)程以及發(fā)展變化。

3.HPM模式利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

眾所周知，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有游戲和實(shí)驗(yàn)，枯燥無(wú)味，關(guān)鍵是由于學(xué)科的特點(diǎn)決定其理論知識(shí)高深莫測(cè)，讓學(xué)生望而生畏。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中積淀深厚久遠(yuǎn)，教師在講授數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、概念定義、理論證明時(shí)，如能向?qū)W生講述這些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的起源、歷史發(fā)展過(guò)程及相關(guān)的故事軼聞，就可改變數(shù)學(xué)的枯燥乏味，增加其趣味性，相信會(huì)有更多的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。

二、HPM模式教學(xué)實(shí)例

1.概率統(tǒng)計(jì)

（1）引入史料。歷史上為研究隨機(jī)現(xiàn)象中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，科學(xué)家們進(jìn)行了多次的試驗(yàn)，比如費(fèi)勒、皮爾遜等人的拋硬幣試驗(yàn)。在投擲一次硬幣時(shí)，結(jié)果存在不確定性，即正面或反面向上，如果投擲次數(shù)達(dá)到上萬(wàn)次，正面或反面向上兩者的概率幾乎相同，即均為50%。把這種個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定性，在經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，結(jié)果又具有規(guī)律性的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。概率統(tǒng)計(jì)就是描述隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)。

又如著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾分別對(duì)倫敦、彼得堡、柏林和全法國(guó)的男女?huà)氤錾?guī)律進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：10年間，男孩出生率與女孩的出生率幾乎各占50%，這與我國(guó)歷次的人口普查中的性別構(gòu)成數(shù)據(jù)非常接近。這樣我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后得到的統(tǒng)計(jì)規(guī)律又可運(yùn)用到估計(jì)無(wú)限總體中去。

史料延展：在大自然中，生物的繁殖、進(jìn)化同樣服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。捷克修道士孟德?tīng)栐?865年首先通過(guò)研究豌豆的遺傳規(guī)律發(fā)現(xiàn)了生物在繁殖過(guò)程中的隨機(jī)組合定律（即“分離規(guī)律”）和組合過(guò)程中概率均（即“自由組合規(guī)律”）等，這實(shí)質(zhì)上也是概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律在生物遺傳過(guò)程中的體現(xiàn)。

（2）設(shè)計(jì)目的。用拋硬幣試驗(yàn)和人口普查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)讓學(xué)生懂得概率統(tǒng)計(jì)是隨機(jī)中蘊(yùn)藏了規(guī)律的數(shù)學(xué)，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是源自現(xiàn)實(shí)生活，實(shí)際生活中會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。介紹孟德?tīng)栐谶z傳規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們意識(shí)到任何知識(shí)都不是孤立的，學(xué)科之間都是相通的，生物學(xué)中生命的繁衍和進(jìn)化等都是數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)這個(gè)知識(shí)的具體體現(xiàn)，所以說(shuō)數(shù)學(xué)對(duì)生活有重大影響。

（3）教學(xué)效果。在教學(xué)中介紹孟德?tīng)栕杂山M合定律，學(xué)生很興奮地說(shuō)出第一代與第二代所出現(xiàn)的遺傳結(jié)果及概率，并感慨生物課程中的遺傳幾率本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)概率。教學(xué)效果表明學(xué)生學(xué)的不是刻板的數(shù)學(xué)，而是生活中的數(shù)學(xué)， 理論與實(shí)踐的結(jié)合能夠使學(xué)生更深入地理解概率。

2.對(duì)數(shù)概念引入

（1）引入史料并提出問(wèn)題。背景資料：2017年GDP為a萬(wàn)元，如年均增長(zhǎng)10%，那經(jīng)過(guò)幾年GDP翻番？學(xué)生很快列出關(guān)系式，但如何求解此關(guān)系式？為解答以上問(wèn)題，可以通過(guò)簡(jiǎn)述對(duì)數(shù)定義，學(xué)生很快明白上述關(guān)系式的正確解法。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)表和對(duì)數(shù)概念是在納皮爾發(fā)明的對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上，在后世慢慢完善過(guò)程中才形成的，后來(lái)又發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算。所以是先有對(duì)數(shù)再有指數(shù)，這與教科書(shū)上的順序相反。那么，納皮爾究竟是怎么發(fā)明對(duì)數(shù)運(yùn)算的？請(qǐng)看下面這個(gè)例子：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 …

1 2 4 8 16 32 64 128

256 512 1024 2048 …

問(wèn)題1：上下兩行數(shù)字之間存在什么關(guān)系嗎？

問(wèn)題2：若不計(jì)算，只通過(guò)這兩行的數(shù)字信息如何得出下行中任意兩數(shù)的乘積？

學(xué)生討論，多數(shù)學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，下行數(shù)字是以上行的數(shù)字序列為2的指數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪值。

第二個(gè)問(wèn)題難度比較大，仍有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如為求8×256的值，可先查找8和256在上行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字，分別是3和8；然后兩數(shù)相加得11，再?gòu)脑谏闲兄胁檎?1在下行中的對(duì)應(yīng)值2048，就是8×256的數(shù)值，即8×256=2048。反復(fù)進(jìn)行若干次不同數(shù)值的計(jì)算，便可推出一般性結(jié)論：要得到下行中任意兩數(shù)的乘積，可經(jīng)過(guò)查找并求上行中兩數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值之和，然后再查找兩數(shù)之和在下行中所對(duì)的值來(lái)實(shí)現(xiàn)。煩瑣的運(yùn)算頓時(shí)變得簡(jiǎn)單，學(xué)生開(kāi)始思考其中的原因。學(xué)生動(dòng)筆推導(dǎo)對(duì)數(shù)的計(jì)算思路，并猜想和證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

史料延展：為了解決天文界、航海界中遇到的計(jì)算巨大數(shù)據(jù)的難題，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，并于1614年在他的名著《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中向世人公布了他的這項(xiàng)發(fā)明；后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯發(fā)現(xiàn)納皮爾的對(duì)數(shù)概念的不足，用畢生精力來(lái)改進(jìn)并出版了第一本常用對(duì)數(shù)專(zhuān)著《對(duì)數(shù)算術(shù)》。

（2）設(shè)計(jì)目的。在課堂上增加對(duì)數(shù)的發(fā)展史內(nèi)容，使學(xué)生意識(shí)到人類(lèi)社會(huì)發(fā)展需求促進(jìn)對(duì)數(shù)的發(fā)明，理解數(shù)學(xué)源于生活又用于生活的內(nèi)在本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值。指出對(duì)數(shù)和指數(shù)出現(xiàn)的先后順序，可以讓學(xué)生跳出對(duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算的局限，讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，感受數(shù)學(xué)家在探求真理中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神。教師引入并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)納皮爾兩組數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系，推導(dǎo)和說(shuō)明計(jì)算對(duì)數(shù)的性質(zhì)，避免了死記硬背數(shù)學(xué)公式。

（3）教學(xué)效果。教師在對(duì)數(shù)概念教學(xué)中引入對(duì)數(shù)發(fā)明和發(fā)展歷史，在推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)中運(yùn)用納皮爾對(duì)兩組數(shù)據(jù)的處理方法。學(xué)生在課堂上表現(xiàn)出濃厚的興趣，并積極探討兩組數(shù)據(jù)之間存在的關(guān)系，并以此猜想對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。在隨后的課堂練習(xí)中，學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)有著深刻的記憶且能靈活地運(yùn)用。

三、結(jié)語(yǔ)

HPM模式教學(xué)使高中數(shù)學(xué)課堂變得生動(dòng)有趣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

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