經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想
——以“乘法分配律”教學(xué)為例

林麗玲

（平潭城北小學(xué)，福建 平潭 350400）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。”筆者認(rèn)為，模型思想的感悟，必然是在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程中實現(xiàn)的。文章以“乘法分配律”教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，感悟模型思想。

一、觀察分析，感知模型

模型的建構(gòu)依賴于一定的現(xiàn)實情境，要想使學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，首先要創(chuàng)設(shè)出符合學(xué)生實際的生活情境，然后引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)問題，并在初步感知模型的基礎(chǔ)上，逐步向建構(gòu)模型過渡。

如筆者在教學(xué)時，針對下面一張統(tǒng)計表的信息內(nèi)容（表1），讓學(xué)生根據(jù)表中信息提出數(shù)學(xué)問題。教師把學(xué)生所提的問題板書在黑板上：①買轉(zhuǎn)筆刀一共用了多少錢？②買文具盒一共用了多少錢？③買魔方一共用了多少錢？然后學(xué)生選擇其中一個問題用不同的方法列出綜合算式并解答，然后匯報交流。

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從課堂上學(xué)生解答上述3個問題的模式看基本是相同的。如第一個問題，學(xué)生第一種算法列式為（7+3）×8=80，先算出兩次一共買了10個轉(zhuǎn)筆刀后，再算10個轉(zhuǎn)筆刀的總價；第二種算法，分別算出第一次與第二次買的轉(zhuǎn)筆刀的價錢后，再加起來就是10個轉(zhuǎn)筆刀的總價錢，列式為7×8+3×8=80。第二個問題和第三個問題的解答方法與解答第一個問題的思路是一致的，學(xué)生列出的算式分別是：（8+5）×5=65，8×5+5×5=65；（10+9）×4=76，10×4+9×4=76。

教師根據(jù)學(xué)生的交流適時板書算式，并引導(dǎo)學(xué)生對黑板上的這些算式進(jìn)行分類。學(xué)生把這些算式分成了兩類，然后觀察這兩類算式的區(qū)別與聯(lián)系，此時乘法分配律的特征已經(jīng)初步呈現(xiàn)。教師進(jìn)一步質(zhì)疑：“結(jié)果相等的兩個算式在數(shù)學(xué)上可否用等號將它們連接起來，形成一個等式呢？”通過質(zhì)疑繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的這些等式，導(dǎo)向從乘法的意義上探索左右相等的秘密,將新知識納入到原有的知識體系之中，初步感知乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型。這樣充滿觀察、分析的探究過程，才是數(shù)學(xué)建模教學(xué)背景下應(yīng)有的學(xué)習(xí)過程。

二、抽象概括，建立模型

學(xué)生對模型的建構(gòu)是需要一定的過程，如果僅僅憑借之前的三個等式來進(jìn)行乘法分配律的概括，那么學(xué)生的感性積淀就會顯得有些單薄，學(xué)生對該模型的理解還不夠深刻。因此，需要教師提供更多有效的學(xué)習(xí)活動為學(xué)生的感悟“造勢”。

教師指著黑板上的等式說：“同學(xué)們，像這樣的等式還有嗎？請你試著寫出一個來?！睂W(xué)生寫等式，匯報交流，并相互檢查：“左邊是幾個幾？右邊有幾個幾？等式成立嗎？”通過交流讓學(xué)生感受到這樣的等式永遠(yuǎn)也寫不完。教師問：“你能不能想辦法寫出一個等式來表示出所有的等式？”學(xué)生嘗試寫式子并交流多樣化的表示方法，教師先是肯定學(xué)生的成果。但學(xué)生所交流的方法都難以達(dá)到教師所提的要求：用一個等式來表示所有的等式。這時學(xué)生的思維陷入“盲區(qū)”，所謂的“盲區(qū)”即學(xué)生不能拋開現(xiàn)實的模型去構(gòu)建一個新的模型。于是，教師適時啟智：“老師給你們a、b、c三個字母（這里的a、b、c是三個實數(shù)），你們能用數(shù)學(xué)符號的連結(jié)，表示出一個等式來嗎？”這樣撥通學(xué)生思維障礙的通道，學(xué)生很快就用（a+b）×c=a×c+b×c來表示。教師總結(jié)：“這就是今天發(fā)現(xiàn)的一個運(yùn)算定律——乘法分配律，乘法分配律告訴我們：兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結(jié)果不變?！?/p>

數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號的表達(dá)式和圖表。在上面教學(xué)片段中，當(dāng)學(xué)生對乘法分配律的表象有一點(diǎn)感知時，教師放手讓學(xué)生仿寫等式，既豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識，同時也為后續(xù)的抽象概括增加邏輯上的力度。在此基礎(chǔ)上，教師順勢而為，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用自己實驗的方式表征發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學(xué)生用字母、圖形、漢字等符號將乘法分配律表示出來。這個逐步抽象的過程，既是讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)建模的過程，也是數(shù)學(xué)符號化思想具體應(yīng)用的過程，它所滲透的數(shù)學(xué)思想是遞進(jìn)性，也富有創(chuàng)新性，如果教師的教學(xué)流程設(shè)計只是讓學(xué)生模仿，學(xué)生的思維就無法跳躍。于是在這個過程中，當(dāng)學(xué)生對乘法分配律有了更進(jìn)一步的理解，再通過建模，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力就得到了提升。

三、拓展聯(lián)系，應(yīng)用模型

從具體的問題抽象、概括出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識的終結(jié)。在建立數(shù)學(xué)模型之后，教師要及時組織學(xué)生應(yīng)用已確立的模型解決具體的問題，通過溝通聯(lián)系、拓展延伸，進(jìn)一步鞏固、內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知，深刻理解乘法分配律，為今后正確、靈活地運(yùn)用乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型打下扎實的基礎(chǔ)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識做好鋪墊，達(dá)到真正發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

教師在鞏固已學(xué)知識，拓展思維的設(shè)計上，也遵循層層遞進(jìn)的原則，依次出示了以下練習(xí)：

1.在（）里填上合適的數(shù)。

①(10+7)×6=（ ）×6+（ ）×6

②8×996+8×（ ）=8× ( + )

③（）×（）+（）×（）=（ + ）×（ ）

2.你能在圖2中找到乘法分配律嗎？

圖2

3.下面的算式哪些運(yùn)用了乘法分配律？

①11×72+11×28=11×（72+28）

②(10+4)×25=14×25

③48×8×7=48×（8×7）

④5×a+a=（5+1）×a

4.解決問題：學(xué)校操場是一個長方形，原來長78米，寬30米，擴(kuò)建后，寬不變，長增加了18米，增加的面積比原來的面積少多少平方米？

這里的4個練習(xí)代表了四個不同的思維層次：練習(xí)1，通過不完全填空的形式，從正、反兩個方面加強(qiáng)對乘法分配律結(jié)構(gòu)的記憶與掌握。練習(xí)2，通過在“口算12×3”和“筆算12×3”中尋找乘法分配律的過程，喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗，把新知的學(xué)習(xí)與舊知建立聯(lián)系，鞏固了乘法分配律的算理和算法，有效進(jìn)行知識的同化和順應(yīng)。練習(xí)3，借助4個算式檢驗學(xué)生對于乘法分配律的認(rèn)知圖式是否達(dá)到了一個平衡的狀態(tài)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘法分配律的含義及其與乘法結(jié)合律的結(jié)構(gòu)區(qū)別，將乘法分配律納入到整個運(yùn)算定律的體系。練習(xí)4，先動筆計算再觀察比較，發(fā)現(xiàn)乘法分配律同樣適用于兩個數(shù)的差，即（a-b）×c=a×c-b×c（a、b、c不等于0），拓寬了學(xué)生對乘法分配律的理解，把學(xué)生的思維引向更廣闊的空間。

數(shù)學(xué)模型建立過程的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動的過程。在教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確地診斷出學(xué)生建模過程的難點(diǎn)與困惑，通過設(shè)計合理有效的數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生研究數(shù)學(xué)建模的興趣，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個過程，提高數(shù)學(xué)建模的能力，感悟模型思想。