個(gè)體學(xué)習(xí)與新體驗(yàn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)： 連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的情形

翁翕 尹訓(xùn)東 許敏波

0 引言

很多提供新產(chǎn)品和新服務(wù)的企業(yè)采取的定價(jià)策略是初始時(shí)以低價(jià)格或者變相的價(jià)格優(yōu)惠來(lái)吸引消費(fèi)者，這種低價(jià)格通常會(huì)在持續(xù)一段時(shí)間以后最終轉(zhuǎn)向一個(gè)高價(jià)格。比如最近廣受關(guān)注的滴滴打車價(jià)格問(wèn)題，滴滴公司在起步階段，為了吸引私家車、出租車和消費(fèi)者使用自己的打車軟件，通過(guò)對(duì)私家車和出租車的大量補(bǔ)貼來(lái)吸引消費(fèi)者，消費(fèi)者在低價(jià)格的吸引下嘗試使用該軟件，這種低價(jià)格會(huì)持續(xù)一段時(shí)間讓更多的消費(fèi)者獲得消費(fèi)體驗(yàn)?，F(xiàn)在滴滴公司逐步放棄了這種優(yōu)惠補(bǔ)貼，相當(dāng)于取消低價(jià)格轉(zhuǎn)而實(shí)行高價(jià)格*以北京為例，2015年6月滴滴順風(fēng)車上線時(shí)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為起步10元，每公里1元。2015年9月，北京地區(qū)順風(fēng)車起步10元，每公里1.3元。2016年8月底，起步費(fèi)調(diào)整為3公里之內(nèi)12元，之后每公里1.5元。。

本文建立了一個(gè)有連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的新體驗(yàn)產(chǎn)品的壟斷動(dòng)態(tài)定價(jià)模型來(lái)研究新產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)策略。我們的分析表明上述先低價(jià)后高價(jià)的定價(jià)策略符合最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)模型的預(yù)測(cè)，同時(shí)我們也證明了，相較于社會(huì)福利最優(yōu)的定價(jià)策略，這種壟斷者追求利潤(rùn)最大化的均衡定價(jià)所實(shí)行的低價(jià)格時(shí)間過(guò)短，過(guò)早地實(shí)行高價(jià)格會(huì)造成社會(huì)福利損失。除了滴滴公司的例子，還有很多提供新服務(wù)和新產(chǎn)品的廠商也采取了類似的價(jià)格策略，最初利用低價(jià)吸引消費(fèi)者，一段時(shí)間后再提高價(jià)格。比如團(tuán)購(gòu)剛興起時(shí)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的價(jià)格優(yōu)惠，小區(qū)內(nèi)新建的超市和理發(fā)店等等。雖然有些企業(yè)并不是嚴(yán)格意義上的壟斷企業(yè)，但他們都在一定程度上有擁有市場(chǎng)的力量。我們構(gòu)建的壟斷動(dòng)態(tài)定價(jià)的理論框架，有助于幫助理解這些企業(yè)的定價(jià)模式，并對(duì)政府選擇合適的產(chǎn)業(yè)政策以促進(jìn)社會(huì)福利提供理論依據(jù)。

本文關(guān)注的是新體驗(yàn)品，也即消費(fèi)者和壟斷廠商都不知道該產(chǎn)品能給消費(fèi)者帶來(lái)多大效用，每個(gè)消費(fèi)者需要通過(guò)體驗(yàn)后才能發(fā)現(xiàn)自己是否和新產(chǎn)品匹配。在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)，消費(fèi)者都可以選擇是體驗(yàn)新產(chǎn)品還是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品(或常規(guī)產(chǎn)品)。消費(fèi)者體驗(yàn)新產(chǎn)品后所獲取的收益(或效用)有不確定性，獲取了正收益的消費(fèi)者知道該新產(chǎn)品是值得再次消費(fèi)的，其選擇再次消費(fèi)的意愿將提高。而初始體驗(yàn)沒(méi)有獲取正收益的消費(fèi)者會(huì)更新自己對(duì)于新產(chǎn)品的信念，更可能認(rèn)為該新產(chǎn)品和自己不匹配，因此再次消費(fèi)的意愿將降低。我們假設(shè)該壟斷廠商不能觀測(cè)到每個(gè)消費(fèi)者的體驗(yàn)結(jié)果因而無(wú)法實(shí)行價(jià)格歧視，為了繼續(xù)吸引第一次體驗(yàn)未得到正收益的消費(fèi)者，廠商將進(jìn)一步壓低價(jià)格(因?yàn)轶w驗(yàn)失敗的消費(fèi)者的體驗(yàn)意愿降低)。此時(shí)第一次體驗(yàn)成功的消費(fèi)者將從該低價(jià)格中獲取較高的收益。這種動(dòng)態(tài)定價(jià)模式將持續(xù)一段時(shí)間，即壟斷者的定價(jià)將不斷降低。隨著越來(lái)越多的消費(fèi)者體驗(yàn)成功，對(duì)于廠商而言，不斷降低價(jià)格的好處越來(lái)越少，而其代價(jià)越來(lái)越高(越來(lái)越多體驗(yàn)成功的消費(fèi)者享受低的體驗(yàn)價(jià)格)，我們證明存在一個(gè)臨界點(diǎn)，使得壟斷者選擇放棄掉體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者，轉(zhuǎn)而對(duì)所有體驗(yàn)成功的消費(fèi)者收取一個(gè)高的壟斷價(jià)格。

如上所述，壟斷廠商的均衡動(dòng)態(tài)定價(jià)是從一個(gè)低價(jià)格開(kāi)始，并在此之后的一段時(shí)間內(nèi)不斷降低該價(jià)格，當(dāng)達(dá)到一個(gè)臨界點(diǎn)之后，突然提高價(jià)格，該高價(jià)格只有體驗(yàn)成功的消費(fèi)者才會(huì)支付，一直體驗(yàn)不成功的消費(fèi)者將被逐出市場(chǎng)。這就是壟斷廠商的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)模式。如果從社會(huì)福利最大化的角度考慮，則存在社會(huì)最優(yōu)效率的定價(jià)模式。兩者相比較，我們發(fā)現(xiàn)壟斷廠商會(huì)過(guò)早地停止低價(jià)格，從而轉(zhuǎn)向一個(gè)高價(jià)格而放棄掉體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者，這會(huì)造成社會(huì)福利的損失。因而從政府規(guī)制的角度看，為了達(dá)到社會(huì)最優(yōu)，應(yīng)該對(duì)壟斷廠商起初的低價(jià)格進(jìn)行補(bǔ)貼，以延長(zhǎng)低價(jià)格吸引消費(fèi)者的時(shí)間從而提高社會(huì)福利。當(dāng)壟斷者提高價(jià)格后，政府可以對(duì)壟斷高價(jià)進(jìn)行征稅，既可以糾正壟斷造成的無(wú)謂損失，同時(shí)又可以支付前期的補(bǔ)貼，精心設(shè)計(jì)的稅制和補(bǔ)貼在某種程度上可以達(dá)到總預(yù)算平衡。

本文理論上的貢獻(xiàn)在于彌補(bǔ)了文獻(xiàn)中對(duì)于消費(fèi)者數(shù)量是連續(xù)統(tǒng)時(shí)，壟斷者對(duì)新產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)均衡定價(jià)過(guò)程的研究。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)消費(fèi)者數(shù)量是連續(xù)統(tǒng)時(shí)，均衡的停止低價(jià)格的臨界值取決于消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品是否適合自己的先驗(yàn)概率。這與當(dāng)消費(fèi)者數(shù)量是有限個(gè)時(shí)的結(jié)論(比如Bergemann and V?lim?ki, 1996, 2000；Weng, 2015a)迥然不同，那里均衡的停止低價(jià)格的臨界值不取決于消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品是否和自己匹配的先驗(yàn)概率。我們?cè)诮獬隽司獾膭?dòng)態(tài)定價(jià)之后，還對(duì)停止低價(jià)格時(shí)信念的臨界值作了比較靜態(tài)分析，其中需要特別指出的是，消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品與自己匹配的先驗(yàn)概率越高，壟斷者收取的價(jià)格越高，但同時(shí)該先驗(yàn)概率越高，壟斷者實(shí)行低價(jià)格的信念臨界值越高，從而相較于社會(huì)最優(yōu)解來(lái)說(shuō)，所損失的效率就越大。因此，消費(fèi)者認(rèn)為新產(chǎn)品符合自己需求的概率越大，由于壟斷者過(guò)早地結(jié)束低價(jià)格所帶來(lái)的社會(huì)效率損失就越大。

本文除了在理論上解決了消費(fèi)者數(shù)量是連續(xù)統(tǒng)情況下壟斷者對(duì)新產(chǎn)品的均衡定價(jià)問(wèn)題，同時(shí)也能幫助我們更深入地理解當(dāng)今經(jīng)濟(jì)中越來(lái)越多的新產(chǎn)品的定價(jià)行為，并對(duì)由此造成的潛在社會(huì)損失作出分析，從而為政府規(guī)制壟斷廠商新產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)提出政策建議。隨著經(jīng)濟(jì)中創(chuàng)新和創(chuàng)業(yè)的不斷發(fā)展，會(huì)源源不斷地涌現(xiàn)出新的產(chǎn)品和服務(wù)形式(比如最近興起的共享單車)，這些新產(chǎn)品和新服務(wù)必定在最開(kāi)始的時(shí)候擁有相當(dāng)大的壟斷勢(shì)力，在人們享受初始很低的體驗(yàn)價(jià)格時(shí)，人們也要預(yù)計(jì)到在不遠(yuǎn)的將來(lái)壟斷者將會(huì)實(shí)行的壟斷高價(jià)。本文的分析有助于理解決定這種低體驗(yàn)價(jià)格的因素，并給出了低價(jià)格的動(dòng)態(tài)演化方程，以及低價(jià)格運(yùn)行的時(shí)間，并證明了這種動(dòng)態(tài)均衡定價(jià)所蘊(yùn)含的社會(huì)損失以及政府規(guī)制改善壟斷均衡定價(jià)的空間。

本文的結(jié)構(gòu)如下，第1部分梳理相關(guān)理論的文獻(xiàn)，第2部分是模型設(shè)定和求解，第3部分是對(duì)均衡的分析，包括對(duì)均衡臨界信念值的比較靜態(tài)分析，最后一部分是結(jié)論。

1 文獻(xiàn)綜述

新體驗(yàn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題是產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要前沿研究領(lǐng)域之一。該種商品與普通產(chǎn)品的不同之處在于買家需要通過(guò)自己的不斷體驗(yàn)才能確知產(chǎn)品的價(jià)值，而體驗(yàn)的結(jié)果又是不確定的，導(dǎo)致賣家需要隨著買家的體驗(yàn)結(jié)果動(dòng)態(tài)調(diào)整價(jià)格。文獻(xiàn)中對(duì)新體驗(yàn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題研究起始于Bergemann and V?lim?ki對(duì)寡頭市場(chǎng)中體驗(yàn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)的一系列研究(Bergemann and V?lim?ki, 1996, 2000)。這類模型一般假設(shè)雖然消費(fèi)者不確切知道新體驗(yàn)品帶來(lái)的效用，但期望效用滿足共同價(jià)值(common value)假設(shè)，也即所有消費(fèi)者的期望效用是相同的。消費(fèi)者在共同價(jià)值假設(shè)下可以進(jìn)行社會(huì)學(xué)習(xí)(social learning)，也就是從其他人的體驗(yàn)中獲取新體驗(yàn)品的信息。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)速度快的企業(yè)相比于學(xué)習(xí)速度慢的企業(yè)能獲得額外的競(jìng)爭(zhēng)性優(yōu)勢(shì)，因此最后的均衡沒(méi)有實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)效率，而且相比于社會(huì)最優(yōu)，均衡時(shí)消費(fèi)者會(huì)更多地體驗(yàn)學(xué)習(xí)速度快的產(chǎn)品(Eeckhout and Weng, 2015)。

本文與上述模型假設(shè)最大的不同之處在于摒棄共同價(jià)值假設(shè)，每個(gè)消費(fèi)者從商品中獲得的價(jià)值都是不同的，因而消費(fèi)者只能通過(guò)個(gè)體學(xué)習(xí)來(lái)獲取新體驗(yàn)品的信息。在相關(guān)文獻(xiàn)中，Bergemann and V?lim?ki (2006)以及Weng (2015a)都研究了個(gè)體學(xué)習(xí)下最優(yōu)的壟斷者動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題。Bergemann and V?lim?ki (2006)研究的也是一個(gè)連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者問(wèn)題，但消費(fèi)者的學(xué)習(xí)過(guò)程被大大簡(jiǎn)化：消費(fèi)者體驗(yàn)之后要么完全認(rèn)知到體驗(yàn)品的價(jià)值，要么還是一無(wú)所知。最后作者發(fā)現(xiàn)在不同參數(shù)條件下，可能會(huì)出現(xiàn)niche market，即最后均衡價(jià)格會(huì)轉(zhuǎn)向一個(gè)高價(jià)格；或者會(huì)出現(xiàn)mass market，即最后均衡價(jià)格會(huì)一直下降。本文采用了文獻(xiàn)中常用的指數(shù)學(xué)習(xí)模型(exponential bandit)，并發(fā)現(xiàn)最后的動(dòng)態(tài)定價(jià)均衡總是Bergemann and V?lim?ki (2006)中的niche market。但我們更關(guān)注分析在這樣的市場(chǎng)中，均衡價(jià)格何時(shí)會(huì)轉(zhuǎn)向一個(gè)高價(jià)格，以及對(duì)社會(huì)福利的影響。

Weng (2015a)考慮的則是在指數(shù)學(xué)習(xí)模型下有限多個(gè)消費(fèi)者時(shí)的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題。傳統(tǒng)理論認(rèn)為社會(huì)學(xué)習(xí)時(shí)的動(dòng)態(tài)決策是無(wú)效的，而個(gè)體學(xué)習(xí)時(shí)的動(dòng)態(tài)決策是有效的。因?yàn)樵谏鐣?huì)學(xué)習(xí)的情形下，消費(fèi)者有搭便車的動(dòng)機(jī)，他們總是希望別人付出成本去體驗(yàn)新產(chǎn)品，而自己可以坐享其成。Weng (2015a)的理論貢獻(xiàn)在于發(fā)現(xiàn)，如果加入賣家的動(dòng)態(tài)策略定價(jià)的話，上面的結(jié)果正好反轉(zhuǎn)。在社會(huì)學(xué)習(xí)的情形下，賣家的定價(jià)可以攫取所有的經(jīng)濟(jì)租，從而使得消費(fèi)者沒(méi)有動(dòng)機(jī)搭便車。在個(gè)體學(xué)習(xí)的情形下，消費(fèi)者之間存在一種新的搭便車行為：買家可以通過(guò)短期背離獲取更有利的信念，因而獲得正的經(jīng)濟(jì)租。因此，個(gè)體學(xué)習(xí)時(shí)的動(dòng)態(tài)定價(jià)反而變?yōu)闊o(wú)效的。本文把Weng (2015a)一文的分析擴(kuò)展到連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的情形，對(duì)均衡價(jià)格的推導(dǎo)沿用了Weng (2015a)一文中“一次性背離”的思想，這里發(fā)現(xiàn)均衡結(jié)果依然是無(wú)效的，但兩文中的模型存在如下三點(diǎn)顯著差異：首先，Weng (2015a)的分析主要是基于兩個(gè)消費(fèi)者的情形，隨著消費(fèi)者人數(shù)上升均衡的刻畫(huà)會(huì)變得非常復(fù)雜，而本文利用連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的設(shè)定很好地解決了有限消費(fèi)者模型難以推廣到更多消費(fèi)者情形的問(wèn)題。其次，本文利用連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者情形下的精確大數(shù)定律(Sun, 2006)，只需假設(shè)廠商能觀測(cè)到過(guò)去各個(gè)時(shí)間點(diǎn)購(gòu)買了體驗(yàn)產(chǎn)品的消費(fèi)者總測(cè)度。與文獻(xiàn)中(比如Bergemann and V?lim?ki, 1996, 2000；Weng, 2015a)通常假設(shè)所有的歷史信息都是公開(kāi)可觀測(cè)的相比，本文的假設(shè)條件更弱，也更加自然。最后，也是最重要的，Weng (2015a)一文中的均衡臨界信念取決于已有多少消費(fèi)者獲得了好的體驗(yàn)，但與初始信念無(wú)關(guān)；而本文中的均衡臨界信念與已有多少消費(fèi)者獲得了好的體驗(yàn)無(wú)關(guān)，但與初始信念有關(guān)。因此，本文關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題是初始信念是如何影響均衡臨界信念的，而這個(gè)問(wèn)題無(wú)法在Weng (2015a)一文中探討。

在建模思路上，本文采用的是文獻(xiàn)中常用的指數(shù)學(xué)習(xí)模型。該模型自從被Keller等 (2005)提出之后，被廣泛應(yīng)用于刻畫(huà)動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新過(guò)程(Bergemann and Hege, 2005; Bonatti and H?rner, 2011; Manso, 2011; H?rner and Samuelson, 2013; Weng, 2015b; Guo, 2016; Halac et al., 2016, 2017; 龔六堂等，2016)。但上述提到的模型都只考慮了有限數(shù)量的參與人，而本文把指數(shù)學(xué)習(xí)模型擴(kuò)展到連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的情形，啟發(fā)未來(lái)的研究同樣可以考慮類似的擴(kuò)展。

2 模型設(shè)定

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間模型，t∈[0,+∞)，貼現(xiàn)率為r>0。壟斷廠商在市場(chǎng)上出售一個(gè)全新的風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，消費(fèi)者的數(shù)量是個(gè)連續(xù)統(tǒng)，記為i∈[0,1]。假設(shè)壟斷廠商和所有的消費(fèi)者都是風(fēng)險(xiǎn)中性。該風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本標(biāo)準(zhǔn)化為零。[注]零成本假設(shè)是為了簡(jiǎn)化分析采取的標(biāo)準(zhǔn)化處理。假設(shè)生產(chǎn)成本c>0與假設(shè)生產(chǎn)成本為零而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的流量回報(bào)為s′=s+c是等價(jià)的。在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，每個(gè)消費(fèi)者可以選擇從壟斷廠商那里購(gòu)買一個(gè)單位的風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品或者從外部購(gòu)買一個(gè)單位的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品。

如果消費(fèi)者購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，她將得到一個(gè)確定的流量回報(bào)s>0。[注]同時(shí)，也可以假設(shè)流量回報(bào)是隨機(jī)變量，服從一個(gè)已知的分布，期望為s>0。而風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品帶來(lái)的回報(bào)是一個(gè)隨機(jī)的一次性的總額收益(lump-sum payoff)ξ>0。該回報(bào)ξ取決于風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品和特定消費(fèi)者i∈[0,1]之間的匹配質(zhì)量: 匹配(κi=1)或者不匹配(κi=0)。任意兩組消費(fèi)者和風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品之間的匹配質(zhì)量是相互獨(dú)立的。每個(gè)消費(fèi)者i匹配質(zhì)量的先驗(yàn)概率ρ0=Pr(κi=1)都相同。根據(jù)Sun (2006)的精確大數(shù)定律，ρ0可以近似地表示為匹配的消費(fèi)者占全體消費(fèi)者的比例。[注]Duffie and Sun (2012)提供了一個(gè)關(guān)于連續(xù)統(tǒng)參與者的模型的嚴(yán)格分析。

消費(fèi)者通過(guò)個(gè)體學(xué)習(xí)的方式，即用自己的親身體驗(yàn)來(lái)判斷該新產(chǎn)品是否適合自己，也即是否滿足κi=1。本文采用文獻(xiàn)中常用的指數(shù)學(xué)習(xí)模型(exponential bandit)：如果消費(fèi)者最初購(gòu)買了風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，隨機(jī)的一次性總額收益ξ在消費(fèi)者之間服從獨(dú)立的泊松分布。該分布對(duì)于消費(fèi)者i的到達(dá)率為λκi，其中參數(shù)λ>0。如果產(chǎn)品與消費(fèi)者匹配，消費(fèi)者有可能獲得一次性收益；否則無(wú)法獲得一次性收益。當(dāng)消費(fèi)者從風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品獲取一次性收益后，對(duì)自己與產(chǎn)品匹配的事后信念立即更新為1。令g=λξ，并且假設(shè)g>s，即如果消費(fèi)者獲得了一次性收益，那么風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品將占優(yōu)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品。所有的參與者(壟斷廠商和消費(fèi)者)在初始時(shí)都無(wú)法觀察到產(chǎn)品的特征和匹配質(zhì)量，但參數(shù)λ、ξ和ρ0是已知的。假設(shè)每個(gè)消費(fèi)者的歷史行為和結(jié)果都只有自己知道，而不能被其他參與者觀測(cè)到。這樣，廠商在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上就只能觀測(cè)到購(gòu)買了風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的消費(fèi)者總測(cè)度。與文獻(xiàn)中(比如Bergemann and V?lim?ki, 1996, 2000；Weng, 2015a)通常假設(shè)所有的歷史信息都是公開(kāi)可觀測(cè)的相比，本文的假設(shè)條件更弱，也更加自然。

在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)t上，壟斷廠商首先基于以往的歷史宣布一個(gè)現(xiàn)價(jià)，然后每個(gè)消費(fèi)者根據(jù)以往的歷史和該宣布的價(jià)格來(lái)決定購(gòu)買何種產(chǎn)品。假設(shè)壟斷廠商既不能實(shí)行價(jià)格歧視，也不能承諾一個(gè)定價(jià)規(guī)則。

2.1 信念更新

如果消費(fèi)者從風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品中獲取了一次性總額收益，那么她立即就會(huì)知道她與風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品是匹配的。沒(méi)有獲取到一次性收益表明很可能是完全不匹配的。用ρi t來(lái)表示消費(fèi)者i關(guān)于匹配質(zhì)量的事后信念。給定先驗(yàn)概率ρ0，可以根據(jù)貝葉斯法則得到后驗(yàn)概率ρi t。Keller等(2005)與Weng(2015a)證明，如果沒(méi)有獲得一次性收益，ρi t將遵循如下微分方程:

(1)

在接下來(lái)的分析中，我們把獲得一次性收益的消費(fèi)者叫做“體驗(yàn)成功”消費(fèi)者，沒(méi)有獲得回報(bào)的消費(fèi)者稱為“體驗(yàn)失敗”消費(fèi)者。

2.2 策略和均衡

令Ni t表示消費(fèi)者i在時(shí)間t之前獲得的一次性總額收益的總次數(shù)。令Pt表示壟斷廠商在時(shí)間t收取的價(jià)格，mt表示在時(shí)間t選擇購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)品的消費(fèi)者數(shù)量測(cè)度。如果消費(fèi)者i在時(shí)間t購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，記為ai t=1；如果消費(fèi)者i在時(shí)間t購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，記為ai t=0。在我們的模型中，每個(gè)消費(fèi)者i觀測(cè)到的歷史記為:

hi t?(aiτ,Niτ,Pτ)0≤τ

壟斷廠商觀測(cè)到的歷史為:hs t?(mτ,Pτ)0≤τ

在時(shí)間t，壟斷者的定價(jià)策略是從歷史hs t到價(jià)格Pt的一個(gè)映射，而每個(gè)消費(fèi)者的購(gòu)買決策是從她的歷史hi t和價(jià)格Pt到ai t的一個(gè)映射。和Weng(2015a)一樣，我們假設(shè)在沒(méi)有一次性收益時(shí)的購(gòu)買決策ai t與定價(jià)決策Pt都是關(guān)于時(shí)間的右連續(xù)函數(shù)，Weng(2015a)對(duì)該假設(shè)有詳細(xì)說(shuō)明。在本文中，我們集中討論對(duì)稱均衡的情況，即在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)，擁有相同后驗(yàn)概率的消費(fèi)者會(huì)做出相同的購(gòu)買決策。考慮在任何合理的均衡中，壟斷者起初向所有消費(fèi)者(包括體驗(yàn)成功和體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者)出售產(chǎn)品，而最終只能向體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售。對(duì)于這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程，我們考慮馬爾科夫完美均衡(markov perfect equilibrium)，即均衡定價(jià)策略只由最近的狀態(tài)變量決定。這里的狀態(tài)變量是后驗(yàn)概率ρ,研究的重點(diǎn)是刻畫(huà)均衡定價(jià)策略P(ρ)的涵義和特征。

3 均衡分析

(2)

在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)t，壟斷者需要選擇是同時(shí)向體驗(yàn)成功和體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者都出售產(chǎn)品還是只向體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售。如果壟斷者總是只向體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售，他可以收取價(jià)格g-s來(lái)攫取體驗(yàn)成功消費(fèi)者的所有消費(fèi)者剩余，此時(shí)接受這個(gè)價(jià)格的體驗(yàn)成功消費(fèi)者的測(cè)度為γt。因此，壟斷者的收益(標(biāo)準(zhǔn)化后的期望貼現(xiàn)利潤(rùn)之和)是:

(3)

(4)

rJ(ρ)=rP(ρ)-λρ(1-ρ)J′(ρ)

(5)

同樣地，體驗(yàn)成功消費(fèi)者的收益(標(biāo)準(zhǔn)化的期望貼現(xiàn)效用總和)滿足:

(6)

從而可以推導(dǎo)出如下方程：

rV(ρ)=r(g-P(ρ))-λρ(1-ρ)V′(ρ)

(7)

最后，體驗(yàn)失敗消費(fèi)者的收益可以表示為:

rU(ρ)=r(gρ-P(ρ))+λρ(V(ρ)-U(ρ))-λρ(1-ρ)U′(ρ)

(8)

與式(7)相比較，式(8)增加一項(xiàng)λρ(V(ρ)-U(ρ))，該項(xiàng)表示匹配時(shí)一次性收益以速率λ出現(xiàn)，此時(shí)后續(xù)收益跳到V(ρ)。要求解上述微分方程，需要P(ρ)的顯性表達(dá)式，我們將在下部分進(jìn)行求解。

3.1 均衡價(jià)格

壟斷廠商實(shí)質(zhì)上面臨的是一個(gè)雙臂賭博機(jī)(two-armed bandit)問(wèn)題: 是選擇對(duì)所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品還是只對(duì)體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售。當(dāng)信念比較高時(shí)壟斷者會(huì)向所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品，直至達(dá)到某個(gè)時(shí)間轉(zhuǎn)而只對(duì)體驗(yàn)成功者出售。當(dāng)壟斷者向所有消費(fèi)者都出售產(chǎn)品時(shí)，下面的引理給出了均衡價(jià)格P(ρ)。

引理1如果壟斷者向所有消費(fèi)者都出售產(chǎn)品，均衡價(jià)格P(ρ)將會(huì)是gρ-s。

證明： 見(jiàn)附錄。

在一個(gè)單期的靜態(tài)模型中，價(jià)格P(ρ)等于gρ-s的結(jié)果非常符合直覺(jué)：該價(jià)格意味著體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者即期在購(gòu)買和不購(gòu)買之間無(wú)差異。但在動(dòng)態(tài)模型中，消費(fèi)者購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品實(shí)際上是在購(gòu)買一個(gè)期權(quán)：未來(lái)在獲取了一次性收益時(shí)會(huì)繼續(xù)購(gòu)買，而如果遲遲未獲取的話，會(huì)停止購(gòu)買。因此當(dāng)P(ρ)等于gρ-s時(shí)，由式(8)可知：盡管體驗(yàn)失敗者在即期無(wú)差異，均衡收益U(ρ)卻會(huì)嚴(yán)格大于s，因?yàn)橛锌赡塬@得一個(gè)一次性收益從而獲取一個(gè)高值的V(ρ)。也就是說(shuō)，即便壟斷者將價(jià)格P(ρ)定在略高于gρ-s的水平，體驗(yàn)失敗者從購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品中獲取的收益依然要大于s，但為什么壟斷者不再索取更高的價(jià)格呢？

(9)

有趣的是，為了防止消費(fèi)者的背離，壟斷者索取的均衡價(jià)格恰恰使得體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者即期在購(gòu)買和不購(gòu)買之間無(wú)差異。為了理解該結(jié)果的直覺(jué)，我們可以考慮一個(gè)離散時(shí)間模型。如果壟斷者在t期向所有消費(fèi)者都出售產(chǎn)品，“一次性偏離原理”意味著其均衡價(jià)格應(yīng)當(dāng)使得體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者在下述兩個(gè)選擇之間無(wú)差異：①t期購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品以及從t+1期起維持均衡策略；②t期不購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品以及從t+1期起維持均衡策略。上述兩個(gè)選擇從t+1期起給消費(fèi)者帶來(lái)的期望收益是完全一樣的。首先，在連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者模型中，單個(gè)消費(fèi)者購(gòu)買或不購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品完全不影響未來(lái)價(jià)格；其次，t期不購(gòu)買的消費(fèi)者比t期體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者更樂(lè)觀，因此如果t期體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者在均衡時(shí)愿意繼續(xù)購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，t期不購(gòu)買的消費(fèi)者的均衡策略也一定是繼續(xù)購(gòu)買；最后，因?yàn)樵谪惾~斯法則之下信念更新滿足鞅(martingale)性質(zhì)，消費(fèi)者在t期是否購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品也不影響未來(lái)購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的期望消費(fèi)收益。因此t期的均衡價(jià)格只需使得體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者即期在購(gòu)買和不購(gòu)買之間無(wú)差異。

3.2 均衡下何時(shí)停止向體驗(yàn)失敗消費(fèi)者出售

壟斷者求解其雙臂賭博機(jī)問(wèn)題的關(guān)鍵是比較只對(duì)體驗(yàn)成功者出售所獲得收益和向所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品所獲得收益。如式(3)所表明的，壟斷者只對(duì)體驗(yàn)成功者出售將獲得收益S(ρ)=γ(ρ)(g-s)。式(5)和引理1意味著壟斷者向所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品獲取收益J(ρ)滿足:rJ(ρ)=r(gρ-s)-λρ(1-ρ)J′(ρ)。

最優(yōu)停止文獻(xiàn)(例如Dixit,1994；Peskir and Shiryaev,2006)中的經(jīng)典結(jié)論表明，如果壟斷者在后驗(yàn)信念x下最優(yōu)的選擇是停止向體驗(yàn)失敗者出售產(chǎn)品，那么停止的臨界值x應(yīng)該滿足值函數(shù)的匹配和平滑條件:

J(x)=S(x),J′(x)=S′(x)

因此，我們得到如下定理:

定理1對(duì)任意ρ0滿足ρ0[rg+λ(g-s)]>rs，存在一個(gè)對(duì)稱的均衡，當(dāng)ρ>x*時(shí)壟斷者制定價(jià)格gρ-s。當(dāng)ρ趨向于x*時(shí)價(jià)格為g-s。均衡的臨界值x*<ρ0是下述方程的唯一解:

rgx2-[2rg+λ(1-ρ0)(g-s)]x+rs+rρ0(g-s)=0

(10)

證明： 見(jiàn)附錄。

這里條件ρ0[rg+λ(g-s)]>rs有一個(gè)直觀的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。設(shè)想一個(gè)消費(fèi)者在極短的時(shí)間內(nèi)以零價(jià)格購(gòu)買了風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，那么期望流量收益是ρ0[rg+λ(g-s)]，其中λρ0(g-s)表示將來(lái)有可能獲取一次性收益的期望收益。如果消費(fèi)者選擇無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，那么流量收益就是rs。條件ρ0[rg+λ(g-s)]>rs說(shuō)明選擇風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品會(huì)帶來(lái)租金，因此壟斷者可以從出售風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品中獲取正期望利潤(rùn)。

圖1 價(jià)格路徑示意圖

基于定理1我們可以畫(huà)出典型的價(jià)格路徑(見(jiàn)圖1)，壟斷者起初會(huì)保持遞減的價(jià)格來(lái)促使體驗(yàn)失敗消費(fèi)者嘗試購(gòu)買，但最終會(huì)轉(zhuǎn)向一個(gè)很高的價(jià)格只向體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售產(chǎn)品。這里需要注意，在產(chǎn)品嘗試階段均衡價(jià)格可能是負(fù)的:壟斷者短期內(nèi)可能損失一些錢來(lái)吸引體驗(yàn)失敗者進(jìn)行再次體驗(yàn)。

3.3 與效率臨界值的比較

定理2對(duì)任意的ρ0滿足ρ0[rg+λ(g-s)]>rs時(shí)，一定有x*>xe。

證明： 見(jiàn)附錄。

上述定理表明壟斷者這種先低價(jià)再高價(jià)的動(dòng)態(tài)定價(jià)均衡并不是社會(huì)最優(yōu)的。通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)壟斷廠商過(guò)早地停止低價(jià)格，從而轉(zhuǎn)向一個(gè)高價(jià)格而放棄掉體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者，這會(huì)造成社會(huì)福利的無(wú)謂損失。造成這個(gè)結(jié)果的原因也跟Weng(2015a)中均衡無(wú)效率的原因是類似的：體驗(yàn)成功的消費(fèi)者愿意為風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品支付更高的價(jià)格，而廠商又無(wú)法進(jìn)行價(jià)格歧視，這種誘惑導(dǎo)致廠商愿意更早放棄掉體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者。與本文不同的是，Weng (2015a)要求廠商能完全觀測(cè)到消費(fèi)者的過(guò)往體驗(yàn)歷史以判斷是否需要轉(zhuǎn)向高價(jià)格。而本文模型中，即便廠商無(wú)法觀測(cè)到消費(fèi)者過(guò)往體驗(yàn)歷史，在連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者的情形下仍然可以應(yīng)用大數(shù)定理推算出體驗(yàn)成功的消費(fèi)者測(cè)度。

3.4 比較靜態(tài)分析

基于方程(10)，我們可以推出幾個(gè)比較靜態(tài)的分析結(jié)果。下面的定理描述了均衡臨界值x*與模型中有關(guān)參數(shù)的關(guān)系。

定理3均衡臨界值x*受先驗(yàn)概率ρ0、到達(dá)速率λ、風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的期望價(jià)值g、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)值s以及貼現(xiàn)率r的影響。具體而言，x*是ρ0、s、r的增函數(shù)，是λ、g的減函數(shù)。

證明： 見(jiàn)附錄。

對(duì)于λ,g,s和r的比較靜態(tài)結(jié)果的分析應(yīng)該比較容易理解，因?yàn)樗鼈兊姆?hào)與xe對(duì)λ、g、s和r的比較靜態(tài)結(jié)果相同，并且其經(jīng)濟(jì)學(xué)直覺(jué)也類似。當(dāng)λ變高或者r變低時(shí)，購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)品變得相對(duì)便宜，因此壟斷者會(huì)更多地鼓勵(lì)消費(fèi)者體驗(yàn)。當(dāng)g變高或者s變低時(shí)，體驗(yàn)購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)品的收益提高或者成本降低，從而壟斷者也更加鼓勵(lì)體驗(yàn)。

圖2 均衡臨界信念x*與初始信念ρ0關(guān)系示意圖

接下來(lái)，我們研究體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間的長(zhǎng)度如何受ρ0的影響。注意到壟斷者從先驗(yàn)概率ρ0開(kāi)始進(jìn)行體驗(yàn)性銷售一直到后驗(yàn)概率達(dá)到x*。因此，體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間的長(zhǎng)度滿足:

從而得到:

(11)

定理3表明x*是ρ0的增函數(shù)，從而t*可能是ρ0的非單調(diào)函數(shù)。不過(guò)，下邊的定理證明t*是ρ0的增函數(shù)，見(jiàn)圖3所示。

圖3 均衡臨體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度t*與初始信念ρ0關(guān)系示意圖

定理4均衡的體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度t*是ρ0的增函數(shù)。

證明： 見(jiàn)附錄。

雖然上述定理證明均衡的體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度是初始信念的增函數(shù)，但是該結(jié)果并不意味著初始信念上升會(huì)使均衡變得更加有效。因?yàn)槌跏夹拍钌仙瑫r(shí)也意味著社會(huì)最優(yōu)的體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度也應(yīng)該上升。特別地，我們可以用κ表示均衡的體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度與社會(huì)最優(yōu)的體驗(yàn)性購(gòu)買時(shí)間長(zhǎng)度之間的距離：κ=te-t*，te可以類似于(11)式得到：

4 結(jié)論

本文理論上的貢獻(xiàn)在于彌補(bǔ)了文獻(xiàn)中關(guān)于壟斷者對(duì)新體驗(yàn)產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)研究的不足。我們考慮了當(dāng)消費(fèi)者數(shù)量是連續(xù)統(tǒng)時(shí)，壟斷廠商的定價(jià)如何隨著消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品信念的變化而變化。當(dāng)體驗(yàn)失敗的消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品是否匹配的后驗(yàn)概率越來(lái)越低時(shí)，壟斷者為了向這些體驗(yàn)失敗者出售產(chǎn)品，必須不斷降低價(jià)格來(lái)誘導(dǎo)這些人消費(fèi)。隨著低體驗(yàn)價(jià)格時(shí)間的延長(zhǎng)，壟斷者實(shí)行低價(jià)格的代價(jià)越來(lái)越大，直到消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品匹配的后驗(yàn)概率達(dá)到臨界值后，壟斷者轉(zhuǎn)向壟斷性的高價(jià)格，此時(shí)體驗(yàn)失敗者完全被壟斷者排除在市場(chǎng)之外，只對(duì)體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售產(chǎn)品。本文的結(jié)論與消費(fèi)者數(shù)量有限時(shí)的結(jié)論有所不同，在本文中消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品匹配的初始信念越高，壟斷者停止低價(jià)格的信念臨界值越高。而當(dāng)消費(fèi)者數(shù)量為有限時(shí)，壟斷者停止低價(jià)格的臨界值與消費(fèi)者的初始信念無(wú)關(guān)。

我們對(duì)信念的臨界值作了比較靜態(tài)分析。值得注意的是，消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品匹配程度的先驗(yàn)概率越高，壟斷者獲取的利潤(rùn)越大。但同時(shí)，該先驗(yàn)概率越高，壟斷者就會(huì)在越高的后驗(yàn)概率臨界值處停止低價(jià)格，這會(huì)帶來(lái)更大的社會(huì)損失。

本文不僅在理論上有新的貢獻(xiàn)，而且對(duì)于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)政策的分析也能提供重要指導(dǎo)。在當(dāng)前經(jīng)濟(jì)進(jìn)一步市場(chǎng)化，政府大力鼓勵(lì)創(chuàng)新和創(chuàng)業(yè)的背景下，新產(chǎn)品和新服務(wù)不斷涌現(xiàn)，本文的研究對(duì)新產(chǎn)品的壟斷動(dòng)態(tài)定價(jià)給出了理論分析和相應(yīng)的政策建議。我們的研究表明，政府對(duì)壟斷廠商的規(guī)制不僅限于對(duì)傳統(tǒng)意義上壟斷性的高價(jià)格的限制，對(duì)其新產(chǎn)品實(shí)行低價(jià)格吸引客戶的時(shí)間也可以進(jìn)行規(guī)制來(lái)提高社會(huì)效率，對(duì)壟斷廠商實(shí)行的體驗(yàn)性低價(jià)格應(yīng)該進(jìn)行鼓勵(lì)或者補(bǔ)貼以延長(zhǎng)該價(jià)格的時(shí)間，讓更多的消費(fèi)者有機(jī)會(huì)體驗(yàn)新產(chǎn)品以提高消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的認(rèn)同來(lái)提高社會(huì)效率。隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的深入發(fā)展，越來(lái)越多的公司基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行創(chuàng)新和創(chuàng)業(yè)。滴滴打車、共享單車等創(chuàng)新服務(wù)模式深刻地改變了原有的商業(yè)版圖，初創(chuàng)公司在起步時(shí)大量引入投資以支持低廉的用戶體驗(yàn)價(jià)格，在很短的時(shí)間內(nèi)大量地吸引消費(fèi)者進(jìn)行嘗試，迅速占領(lǐng)市場(chǎng)；低價(jià)格一段時(shí)間后，提高價(jià)格來(lái)獲取更高的利潤(rùn)回報(bào)初期投資者。這對(duì)廠商而言無(wú)可厚非，但過(guò)早地結(jié)束低價(jià)格會(huì)帶來(lái)社會(huì)損失。政府在這種新產(chǎn)品的低價(jià)格期間可以進(jìn)行補(bǔ)貼來(lái)延長(zhǎng)體驗(yàn)期，等廠商轉(zhuǎn)向高價(jià)格后，可以反過(guò)來(lái)對(duì)企業(yè)征稅。這種產(chǎn)業(yè)政策的機(jī)制設(shè)計(jì)可以從社會(huì)福利最大化的角度給予企業(yè)正確的激勵(lì)來(lái)向社會(huì)最優(yōu)的配置結(jié)果靠攏。

附錄

引理1的證明：

證明: 壟斷者面臨的問(wèn)題是選擇對(duì)所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品還是只對(duì)體驗(yàn)成功的消費(fèi)者出售。假定壟斷者選擇以Pt的價(jià)格向所有消費(fèi)者出售產(chǎn)品直至?xí)r刻T，并且假定一個(gè)信念為ρ的體驗(yàn)失敗消費(fèi)者一直購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品直至?xí)r刻T，那么該消費(fèi)者得到的期望收益為：

U(ρ)=

為了向所有的消費(fèi)者出售產(chǎn)品，壟斷者所制定的價(jià)格P(ρ)必須阻止“一次性偏離”。通過(guò)偏離均衡策略而選擇h時(shí)長(zhǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，一個(gè)信念為ρ的體驗(yàn)失敗消費(fèi)者可以獲取收益：

上式成立的一個(gè)重要前提是偏離者比非偏離者更加樂(lè)觀。所以給定非偏離者愿意一直購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品直至?xí)r刻T，偏離者也愿意采取相同的行動(dòng)。在連續(xù)統(tǒng)消費(fèi)者模型中，單個(gè)消費(fèi)者購(gòu)買或不購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品完全不影響未來(lái)價(jià)格。也即上述兩式中Pt和T完全相同。同時(shí)在貝葉斯法則之下，信念更新滿足鞅性質(zhì)：因此壟斷者的定價(jià)必須滿足也即當(dāng)壟斷者向所有的消費(fèi)者出售產(chǎn)品時(shí)，該不等式對(duì)于任何ρ和充分小的h都成立，因而可得：

在均衡時(shí)，壟斷者希望選擇盡可能高的價(jià)格以最大化其利潤(rùn)。因此均衡價(jià)格滿足P(ρ)=ρg-s。

證畢。

定理1的證明：

證明: 把邊界條件代入值函數(shù)得到:

rγ(x)(g-s)=r(gx-s)-λx(1-x)γ′(x)(g-s)

令f(x)=rgx2-[2rg+λ(1-ρ0)(g-s)]x+rs+rρ0(g-s)

f(0)=rs+rρ0(g-s)>0

因此，當(dāng)且僅當(dāng)f(ρ0)<0時(shí)，f(x)=0有一個(gè)根x<ρ0，這等價(jià)于

ρ0[rg+λ(g-s)]>rs

證畢。

定理2的證明：

證明: 關(guān)鍵是證明f(xe)>0，其中

f(x)=rgx2-[2rg+λ(1-ρ0)(g-s)]x+rs+rρ0(g-s)

簡(jiǎn)化后可以得到f(xe)>0等價(jià)于-rgxe(1-xe)+λρ0(g-s)xe+rρ0(g-s)>0。

成立。

顯然，rρ0(g-s)-rxe(g-s)>0

由假設(shè)ρ0[rg+λ(g-s)]>rs我們可以得到xe<ρ0，并且

因此，我們一定有f(xe)>0，從而x*>xe。 證畢。

定理3的證明：

證明: 令f=rgx2-[2rg+λ(1-ρ0)(g-s)]x+rs+rρ0(g-s)

對(duì)此進(jìn)行全微分可以得到:

證畢。

定理4的證明：

因此上述方程變?yōu)?