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    抽象函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的探討

    2018-10-30 09:08:10上海市城市建設(shè)工程學(xué)校上海市園林學(xué)校200232
    關(guān)鍵詞:題設(shè)奇函數(shù)奇偶性

    上海市城市建設(shè)工程學(xué)校(上海市園林學(xué)校) (200232)

    章幸辛 張火明

    函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí),抽象函數(shù)是函數(shù)知識(shí)中的一個(gè)難點(diǎn),在近幾年的高考上海卷、全國(guó)卷以及高中奧賽題中都高頻率的出現(xiàn).一般抽象函數(shù)題融函數(shù)單調(diào)性、周期性、奇偶性、定義域、值域、圖像以及不等式、方程等知識(shí)于一體.通過(guò)賦值整體思考,找出一個(gè)具體函數(shù)原型等方法去探究該函數(shù)的性質(zhì),并運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題.在近幾年高考中加大了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力與創(chuàng)新能力的考查.

    1.抽象函數(shù)的定義:那些沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式,只給出一些特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù).

    2.抽象函數(shù)的背景函數(shù):抽象函數(shù)往往都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象所得,解題時(shí),若能從研究抽象函數(shù)的背景入手,由題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù),常??梢哉业浇忸}思路.當(dāng)然,也有的時(shí)候并沒(méi)有我們比較熟悉的函數(shù)模型,而是新定義的一種函數(shù).抽象函數(shù)所對(duì)應(yīng)的背景函數(shù)模型通常有以下幾種:

    抽象函數(shù)性質(zhì)對(duì)應(yīng)的背景函數(shù)模型f(x+y)=f(x)+f(y)-b一次函數(shù)y=ax+bf(m-x)=f(m+x)二次函數(shù)f(xy)=f(x)f(y)冪函數(shù)f(x+y)=f(x)f(y)指數(shù)函數(shù)f(xy)=f(x)+f(y)對(duì)數(shù)函數(shù)

    3.一般抽象函數(shù)也可以與我們熟悉的函數(shù),如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等一樣,有自己的性質(zhì),如奇偶性、周期性、單調(diào)性等.有自己的特殊點(diǎn),有自己的對(duì)稱性,能畫出大致圖像.

    4.抽象函數(shù)的解題方法一般有哪些?解題思路一般不外乎①合理賦值,化抽象為具體;②作恒等變形,找出該函數(shù)規(guī)律性、特征性特點(diǎn);③分類討論,歸納出抽象函數(shù)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題.

    5.典型范例

    例1 已知函數(shù)f(x)在R上有定義,且滿足f(x)+xf(1-x)=x.(1)試求f(x)的解析式;(2)求f(x)的值域.

    例2 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對(duì)任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證f(x)為奇函數(shù);(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

    證明:(1)已知f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)①,令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令y=-x,代入①式得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,則f(x)是奇函數(shù).

    (1)求f(0)的值;

    (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    解:(1)令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)·f(0),得f(0)=1.

    (2)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(0)=f(x)·f(-x)=1,∴00,∴f(x2-x1)<1,∴1-f(x2-x1)>0,而f(x1)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù).

    評(píng)注:從例2、例3不難看出,對(duì)抽象函數(shù)的合理賦值,對(duì)確立抽象函數(shù)的特性起著關(guān)鍵的作用.

    解:(1)在f(a·b)=af(b)+bf(a)中,令a=b=0,得f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0.在f(a·b)=af(b)+bf(a)中,令a=b=1,f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),∴f(1)=0.

    (2)∵f(1)=f[(-1)2]=-f(-1)-f(-1)=0,∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).

    (3)由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a),f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a),……

    猜測(cè)f(an)=nan-1f(a).下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

    1°當(dāng)n=1時(shí)f(a1)=1·a0·f(a),原命題成立;

    2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原命題成立,即f(ak)=kak-1f(a),那么當(dāng)n=k+1時(shí),f(ak+1)=akf(a)+af(ak)=akf(a)+kakf(a)=(k+1)akf(a),原命題成立.

    評(píng)注:上例中,由抽象函數(shù)的關(guān)系式,找到f(an)的通項(xiàng)表達(dá)式,為求和奠定了基礎(chǔ).

    例5 設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(ⅰ)f(-1)=f(1)=0;(ⅱ)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

    (1)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

    (2)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1;

    (3)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得

    若存在,請(qǐng)舉一例;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    證明:(1)由題設(shè)條件可知,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

    (2)證法一:對(duì)任意的u,v∈[-1,1],當(dāng)|u-v|≤1時(shí),有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.

    當(dāng)|u-v|>1時(shí),u·v<0,不妨設(shè)u<0,則v>0且v-u>1,所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1.綜上可知,對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1.

    證法二:由(1)可得,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤1-x,當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),|f(x)|=|f(x)-f(-1)≤1+x=1-|x|.所以,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),|f(x)|≤1-|x|.因此,對(duì)任意的u,v∈[-1,1],當(dāng)|u-v|≤1時(shí),|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.當(dāng)|u-v|>1時(shí),有u·v<0,且1<|u-v|=|u|+|v|≤2.所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)|+|f(v)|≤1-|u|+1-|v|=2-(|u|+|v|)≤1.綜上,對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1.

    (3)答:滿足所述條件的函數(shù)不存在.

    分析:這是一道利用抽象函數(shù)特性構(gòu)建的數(shù)列與不等式的綜合性問(wèn)題.顯見第(1)小問(wèn)是基礎(chǔ),只要有了函數(shù)的解析式,后面各問(wèn)均迎刃而解.

    (2)①由遞推關(guān)系知f(an+1)·f(-2-an)=1,即f(an+1-2-an)=f(0),從而an+1-an=2(n∈N+),又a1=1,故an=2n-1.

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