淺談初中代數(shù)式最值的求解技巧

曾立萱

摘 要：在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對帶有“最”字的問題。求某個(gè)量或者幾個(gè)量和、差、積、商的最大值或最小值，是數(shù)學(xué)中的常見類型。解決最值問題的方法靈活多樣，常有窮舉法、利用函數(shù)性質(zhì)、配方法、根的判別式法與韋達(dá)定理法、運(yùn)用基本不等式法、換元法等。

關(guān)鍵詞：最值 窮舉 函數(shù)模型 根的判別式

在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對帶有“最”字的問題，如花費(fèi)最低，面積最小，產(chǎn)值最高，獲利最大等。近年來各地中考題中最值問題更是頻頻出現(xiàn)，問題背景新穎，常出現(xiàn)的最值問題有應(yīng)用題、幾何動(dòng)態(tài)、函數(shù)最值等。在初中數(shù)學(xué)競賽中整式、分式、二次根式、函數(shù)、多元方程等形式也常求某個(gè)變量或特殊結(jié)構(gòu)代數(shù)式的值。最值問題構(gòu)題精妙，牽涉的知識(shí)點(diǎn)多，解題方法靈活多變。下面就本人在初中階段的教學(xué)談?wù)勢^常見的最值問題的求解方法，以便大家舉一反三。

一、直接代入計(jì)算，窮舉獲取法。

例1：已知點(diǎn)A（1，a），B（-2，b），C（0，c）都在函數(shù)的圖像上，求的最大值。

分析：將三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式，易知，所以的最大值是3

二、建立函數(shù)模型求最值：利用函數(shù)圖像的增減性。

初中階段的重點(diǎn)函數(shù)是一次函數(shù)與二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決應(yīng)用性問題的最值，要注意先引入變量，列出函數(shù)關(guān)系式，尤其要注意求出自變量的取值范圍及區(qū)間范圍對最值的影響。在例1中可知一次函數(shù)中0，所以由一次函數(shù)圖像的性質(zhì)知隨著的增大而減小，又因?yàn)?，所以，所以的最大值是，再求出?018年福建中考數(shù)學(xué)第23題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的區(qū)間最值。

五、用放縮法求代數(shù)式的最值

這種方法在在高中數(shù)學(xué)中用得較多，這里就不再舉例說明。

從以上分析論述可知：最值問題的解決并不是絕對孤立不變，有時(shí)可以一題多解；有時(shí)需要多種方法一起使用才能靈活解決問題。解題時(shí)，要仔細(xì)觀測代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以便選擇合理的解題方法，做到快速解題。同時(shí)要說明最值在什么情況下可以達(dá)到，以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣。