極限求解的“等代法”探討

梁靜靜

摘 要：極限問題主要是對(duì)自變量在某個(gè)變化趨勢(shì)下，極限函數(shù)趨于某個(gè)特定值的探討，對(duì)其求解作為導(dǎo)數(shù)的引入環(huán)節(jié)，具有十分重要的意義，然而極限的求解過程對(duì)于初學(xué)者而言并不容易歸納掌握。如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)極限的興趣，以此為出發(fā)點(diǎn)，針對(duì)極限求解過程，總結(jié)出求解極限題型的“等代思想”，并通過相關(guān)例題驗(yàn)證其可行性與便捷性。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 極限求解 等代法 洛必達(dá)法則

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）05（c）-0169-02

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)階段理工科專業(yè)所必學(xué)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，對(duì)后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)起到了很強(qiáng)的鋪墊作用，然而數(shù)學(xué)課堂卻被一部分學(xué)生定義為“枯燥無味的課堂”，甚至對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了一定的排斥乃至懼怕心理，最后導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)的課程學(xué)習(xí)效果并不理想，在專業(yè)課學(xué)習(xí)過程中用到相關(guān)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)時(shí)，就出現(xiàn)了“不知其所以然”的現(xiàn)象。如何才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂不產(chǎn)生排斥心理，而是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)充滿著積極性，研究者做了大量研究，如胡月[1]就如何控制并調(diào)解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)荷進(jìn)行了研究，認(rèn)為對(duì)一些題目的講解應(yīng)該直接面向問題的本質(zhì)及中心，從而在解題時(shí)做到引入最少的信息而換取高效的解題效率.同時(shí)指出，要想從根本上改變學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)課堂的認(rèn)知態(tài)度，應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中選取合適地學(xué)習(xí)目標(biāo)，因材施教，以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，最終減少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知負(fù)荷，進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；那仁格樂[2]對(duì)高校數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)性論述，認(rèn)為現(xiàn)階段數(shù)學(xué)課程教學(xué)的現(xiàn)狀主要體現(xiàn)為教學(xué)模式缺乏靈活性、教學(xué)方法缺乏多變性、教學(xué)內(nèi)容趨于復(fù)雜化以及學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性等，在此基礎(chǔ)上認(rèn)為高校教師改善數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)該從自身因素著手，開展自主學(xué)習(xí)、實(shí)踐探索以及合作探究的學(xué)習(xí)模式，并提出建立良好的師生關(guān)系和循序漸進(jìn)的講授方能使學(xué)生“親師信道”，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；何永剛[3]以核心素養(yǎng)為視域，研究了數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)所面臨的問題，并提出了相應(yīng)的解決方案.首先認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂主要存在的問題在于師生之間的緊張關(guān)系以及教師對(duì)教材以及參考書目的依賴心理，在此基礎(chǔ)上提出了基于核心素養(yǎng)的“教學(xué)相長(zhǎng)”、“教材二次開發(fā)”等數(shù)學(xué)課程教學(xué)策略，以突出教學(xué)過程中的“優(yōu)化思想”，從而在真正意義上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂“知識(shí)本位”到“核心素養(yǎng)”轉(zhuǎn)變的教學(xué)模式，進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)講求循序漸進(jìn)的過程，若前面的基礎(chǔ)沒有打好，則會(huì)對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。極限問題是高等數(shù)學(xué)課程的重要部分，其作為導(dǎo)數(shù)知識(shí)的引入環(huán)節(jié)，對(duì)極限的求解直接影響到導(dǎo)數(shù)的理解過程.對(duì)于學(xué)生而言，極限作為新知識(shí)點(diǎn)引入，一些學(xué)生可能就想當(dāng)然地以為極限問題很難，從而產(chǎn)生“懼怕”心理，導(dǎo)致厭學(xué)情緒的產(chǎn)生，因此在講解極限章節(jié)時(shí)，應(yīng)該以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣為出發(fā)點(diǎn)，首先簡(jiǎn)化理論介紹，總結(jié)解題技巧，讓學(xué)生從心理上克服學(xué)習(xí)極限的障礙，從而打好后續(xù)導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).如何才能有效的組織開展極限求解的課堂學(xué)習(xí)，本文在總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和進(jìn)行解題探究的基礎(chǔ)上，引入了極限求解過程的“等代思想”，并通過舉例求解進(jìn)行驗(yàn)證其可行性與便捷性，為學(xué)生打好極限基礎(chǔ)以及教師有效開展極限教學(xué)提供了一定的參考價(jià)值。

1 “等代法”介紹

極限問題主要分為數(shù)列極限以及函數(shù)極限兩個(gè)方面，本文主要針對(duì)函數(shù)極限進(jìn)行討論。對(duì)于大部分教材[4-5]在引入函數(shù)極限時(shí)，都是首先根據(jù)進(jìn)行極限的定義，然后針對(duì)、、或等各種形式極限展開討論，等各種形式極限展開討論，方向都偏向于理論方面的介紹，導(dǎo)致部分學(xué)生在課下進(jìn)行預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)時(shí)，就會(huì)認(rèn)為極限問題是枯燥無味的章節(jié)，進(jìn)而提不起學(xué)習(xí)興趣.因此在進(jìn)行函數(shù)極限學(xué)習(xí)時(shí)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為出發(fā)點(diǎn)，就應(yīng)該簡(jiǎn)化定義、各種形式極限等方面的介紹，而將授課重點(diǎn)確定為極限求解問題，總結(jié)解題技巧。

眾所周知，極限求解問題主要是針對(duì)在自變量的某個(gè)變化趨勢(shì)下，極限函數(shù)趨于某個(gè)特定值（或∞）的討論。以為例說明如下：表示當(dāng)趨于時(shí)，討論趨于何值.綜觀極限的求解方法，如分式有理化、分解因式法、洛必達(dá)法則以及等價(jià)無窮小替代等都是建立在對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)變化的基礎(chǔ)上，同時(shí)在極限的求解過程中，每個(gè)過程都需要驗(yàn)證該步驟是否具有實(shí)際意義.在此基礎(chǔ)上，本文引入“等代法”簡(jiǎn)化求解極限的思路.顧名思義，“等代法”即為對(duì)極限進(jìn)行等價(jià)變化到最后代入趨值有意義的步驟，再將自變量的趨值代入極限函數(shù)即可得出所求極限的結(jié)果。

2 “等代法”應(yīng)用

例1：求極限

分析：將趨值1代入極限函數(shù)中，發(fā)現(xiàn)此時(shí)分式函數(shù)直接就有意義，運(yùn)用“等代思想”，可以直接將帶入極限函數(shù)，即可得出極限的結(jié)果。

3 結(jié)語

極限求解是高等數(shù)學(xué)課程的重要章節(jié)，如何才能幫助初學(xué)者快速理解掌握極限的求解思想，本文在總結(jié)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以極限章節(jié)為切入點(diǎn)，針對(duì)函數(shù)極限求解的常用方法，引入“等代法”求解極限問題的思想，并通過舉例說明其可行性與便捷性。實(shí)踐證明，在極限章節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，以“等代法”進(jìn)行系統(tǒng)概括極限的求解思路，能夠有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)極限的興趣，更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)微積分等章節(jié)的知識(shí)，很大程度上改善了數(shù)學(xué)課堂“苦悶”的教學(xué)氛圍。

參考文獻(xiàn)

[1] 胡月.教師控制學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的教學(xué)行為調(diào)節(jié)探討——以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為例[J].教育理論與實(shí)踐， 2018（5）：51-53.

[2] 那仁格樂.高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理論與方法探究——評(píng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[J].教育評(píng)論，2018（1）：167.

[3] 何勇剛，張立昌.核心素養(yǎng)視閾下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)困境與紓解[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2017（S2）：226-228.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[5] 趙立軍.高等數(shù)學(xué)[M].2版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， 2017.