具有非線性食餌收獲的隨機捕食-食餌模型

藍桂杰，付盈潔，魏春金，張樹文

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

長期以來，捕食-食餌模型的動力學行為一直是生態(tài)學與生物數(shù)學的研究熱點之一。在過去的幾十年里，已經(jīng)提出了許多捕食-食餌模型，并獲得了許多豐富的研究成果[1-3]。文獻[1]提出了以下模型

(1)

其中:x(t)，y(t)分別表示食餌和捕食者在t時刻的種群密度；模型的所有參數(shù)都是正的；r1，r2分別表示食餌和捕食者的內稟增長率；a1表示食餌種群的密度制約系數(shù)；b1是捕食者對食餌的捕獲率；b2y/x表示具有Leslies形式的捕食者數(shù)量反應。文獻[1]得到了模型(1)存在唯一的全局漸進穩(wěn)定的正平衡態(tài)。文獻[3]指出，在食餌x嚴重稀缺的情況下，捕食者有其他替代的食物來源，但由于食餌x不足，捕食者的增長仍將受到限制。所以將模型(1)的b2y/x修改為b2y/(k2+x)，其中k2為捕食者y的環(huán)境容納量。

在經(jīng)濟和生物方面，食餌或捕食者或兩者的收獲又是另一個重要研究課題[4-16]。捕獲強度對種群的動力學行為起到了非常重要的作用。因此，收獲函數(shù)在描述捕食-食餌模型的動力學行為中起到了關鍵的作用。文獻[4]指出，非線性收獲比常數(shù)收獲和比例收獲更貼近實際。此外，在現(xiàn)實生態(tài)系統(tǒng)中，各種形式的環(huán)境干擾都是無時不在、無處不在的，生態(tài)系統(tǒng)中的各個種群都會受到不同形式和不同程度的環(huán)境干擾的影響。近年來，涌現(xiàn)出大量的文獻致力于研究隨機生物種群與隨機傳染病模型的動力學性質，并取得了豐富的研究成果[11-18]。本文假設只對食餌進行捕獲，而捕食者沒有經(jīng)濟價值，構建以下隨機捕食-食餌系統(tǒng):

(2)

1 預備知識

dX(t)=f(X(t)，t)dt+g(X(t)，t)dB(t)，t0≤t≤T。

(3)

定理2[19-20](It公式) 設X(t)(t≥0)是方程(3)的解。V∈C2，1(Rn×R+;R)，則V(X(t)，t)仍是It過程，具有隨機微分dV(X(t)，t)=(Vt(X(t)，t)+VX(X(t)，t)f(t)+0.5trace[gT(t)VXX(X(t)，t)g(t)])dt+VX(X(t)，t)g(t)dB(t),a.s.,稱此式為It公式。

考慮下列隨機微分方程

dX(t)=X(t)[r1-a1X(t)]dt+σX(t)dB(t)，

(4)

其中r1，a1，σ都是正常數(shù)，B(t)是標準的布朗運動。

為了驗證(A2)成立，只要證明存在非負的C2-函數(shù)及鄰域U，使得對于任意的X∈ElU，LV(X)是負的。

2 主要結果

證明令u(t)=lnx(t)，v(t)=lny(t)。由It可得

(5)

事實上,對于-a1x2-b2y2-a1x2y+(r1+r2)xy，若x≥(r1+r2)/a1，則上式小于等于零，即有上界。若x<(r1+r2)/a1，則-a1x2-b2y2-a1x2y+(r1+r2)xy≤-b2y2+((r1+r2)2/a1)y依然有上界。類似的可證存在常數(shù)N1∈R，使得

LV≤N1。

(6)

下面的證明與文獻[21] 的相似，省略。

定義W=etV，對W應用It公式可得，LW=et(V+LV)≤et(x2+y2+(k2+x)y2-2a1x3-2b2y3-與不等式(6)的證明類似，存在N2>0使得LW≤N2et，即dW=et(LVdt+(2σ1x2+σ1xy2)dB1(t)+(2σ2(k2+x)y2+σ2y2)dB2(t)+Vdt),上式兩端從0到t積分，并取均值可得E(W(t))≤W(0)+N2(et-1)，即E(x2+y2+(k2+x)y2)≤W(0)e-t+N2(1-e-t)<+∞。因此E2|X|≤E<+∞，最后應用Chebyshev不等式就能得到結論，所以省略。

結合定理5、定理6及Chebyshev不等式，可以得到結論。

證明ⅰ)對lnx應用It公式可得,σ1dB1(t)。

ⅱ)對lny應用It公式可得，d lnσ2dB2(t),兩邊同時從0到t積分并除以t再取極限，由強大數(shù)定律可得,t-1ln即y(t)=0，a.s.。類似地，對于任意的ε>0，存在T0和Ωε，當t>t0和ω∈Ωε，都有P(Ωε)≥1-ε和b1y≤ε。所以有x(r1-a1x-f/(1+wx)-ε)dt+σ1xdB1(t)≤dx≤x(r1-a1x-f/(1+wx))dt+σ1xdB1(t)。

定理9 設系統(tǒng)(2)滿足(r1-f)/b1>r2k2/b2，a1>fw,

b1M2/(2r2(a1-fw))]2，b2(y*)2}

(7)

證明首先考慮下面二元方程組

(8)

將上述方程組的第二個方程代入第一個方程可得ax2+bx+c=0，其中a=-(a1+b1r2/b2)w，b=-(a1+b1r2/b2+(r1-b1r2k2/b2)w)，c=r1-f-b1r2k2/b2。

顯然當(r1-f)/b1>r2k2/b2，方程(8)存在唯一的正解，不妨設為(x*，y*)。

定理10 設系統(tǒng)(2)滿足(r1-f)/b1>r2k2/b2，a1>fw，則系統(tǒng)(2)的確定系統(tǒng)存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的正平衡態(tài)。

3 數(shù)值模擬

為了驗證理論結果，采用Milstein高階方法[24]對隨機系統(tǒng)(2)進行數(shù)值模擬。取r1=1.2,r2=0.3，k2=1，b2=0.5，b1=0.1，w=0.6，a1=0.1和初值(7，4)，通過取不同的σ1，σ2，f來研究白噪聲和收獲對系統(tǒng)(2)的影響。

3)取σ1=1.8，σ2=0.2，f=0.1，顯然滿足定理8條件ⅰ)，即食餌滅絕，捕食者平均持續(xù)生存(見圖5)。從圖5可知食餌x滅絕，捕食者y平均持續(xù)生存。

4)取σ1=0.2，σ2=0.8，f=0.1，顯然滿足定理8條件ⅱ)，即捕食者滅絕，食餌平均持續(xù)生存(見圖6)。從圖6可知食餌x滅絕，捕食者y平均持續(xù)生存。

5)取σ1=1.8，σ2=0.8，f=0.1，顯然滿足定理8條件ⅲ)，即食餌和捕食者均滅絕(見圖7)。從圖7可知食餌x滅絕，捕食者y平均持續(xù)生存。

數(shù)值模擬結果顯示，白噪聲強度的大小和人類的捕撈活動都對物種的生存起著至關重要的作用，即過大的干擾會使物種滅絕，過度的捕獲食餌，食餌也將滅絕。