以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”

摘 要：“數(shù)形結(jié)合”能夠幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。文章從以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”兩個(gè)方面進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：以“形”助“數(shù)”；以“數(shù)”解“形”；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2018-06-28

作者簡介：賀建良（1965—），女，湖南省寧鄉(xiāng)市玉潭鎮(zhèn)中心學(xué)校教師，高級教師。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的?！皵?shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”兩個(gè)方面，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)方法。

一、以“形”助“數(shù)”

“形”的廣義性以及小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀形象思維的主導(dǎo)地位決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)需要“形”的支撐。數(shù)學(xué)概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。我在教行程問題時(shí)，就經(jīng)常運(yùn)用圖形的辦法清晰地展現(xiàn)問題。

例如，一輛汽車從甲地開往乙地，先是經(jīng)過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時(shí)40千米，在平地的速度是每小時(shí)50千米，而下坡的速度則是每小時(shí)60千米，汽車從甲地到乙地，上坡花了6小時(shí)，平地花了2小時(shí)，下坡花了4小時(shí)。請問汽車從乙地到甲地需要多長時(shí)間？

在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發(fā)生改變，當(dāng)汽車從乙地到甲地行駛時(shí)，原先的上坡路變成了下坡路，原先的下坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個(gè)路程汽車行駛的速度都是始終不變的，在平地所花的時(shí)間也是不變的。那么在解決問題的時(shí)候，就可以直觀地畫出上坡、平地、下坡線段圖展現(xiàn)出來。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時(shí)間，即（60×4）÷40=6（小時(shí)），然后算出下坡所花費(fèi)的時(shí)間，即（40×6）÷60=4（小時(shí)），而平地所花費(fèi)的時(shí)間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費(fèi)的時(shí)間是6（上坡）+2（平地）+4（下坡）=12（小時(shí)）。在這道題中，運(yùn)用圖像將數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算都直觀地展現(xiàn)出來，學(xué)生比較易于理解，這樣的教學(xué)可以在很大程度上提高教學(xué)效率。

數(shù)學(xué)性質(zhì)是關(guān)于規(guī)律性的知識，應(yīng)該讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，而“形”的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)可作如下設(shè)計(jì)：讓學(xué)生用12根小棒擺出兩位數(shù)或三位數(shù)，判斷是否是3的倍數(shù)；用11根或者8根呢？操作中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，組成的兩位數(shù)或三位數(shù)是否是3的倍數(shù)只與小棒的根數(shù)有關(guān)，而與擺的方式無關(guān)，根數(shù)就是各數(shù)位上數(shù)的和。

數(shù)學(xué)規(guī)則的形成需要“形”作材料。數(shù)學(xué)規(guī)則在小學(xué)主要是有關(guān)演算過程的具體實(shí)施方法。規(guī)則學(xué)習(xí)是學(xué)生技能形成的先導(dǎo)。讓學(xué)生明確規(guī)則的合理性，理解其推導(dǎo)過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)過程性目標(biāo)。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學(xué)生有信心和能力歸納出法則。

解題思路的獲得常用“形”來幫助。借助圖形解題的最大優(yōu)勢是將抽象問題形象化。因?yàn)閷?shù)量信息反映在圖形上，能直觀表現(xiàn)數(shù)量間的關(guān)系，從而獲得解題思路。尤其在解較復(fù)雜的文字題、解決實(shí)際問題（如“最佳方案”“截?cái)唷钡龋r(shí)，恰當(dāng)選用列表、線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

二、以“數(shù)”解“形”

“形”具有形象直觀的優(yōu)勢，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達(dá)的劣勢。只有以簡潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握“形”。

對圖形的認(rèn)識要用數(shù)學(xué)語言的描述加以深化。如“線段”的教學(xué)，由于在生活中有原型，畫出來的是帶端點(diǎn)的線，而輔之以數(shù)學(xué)語言“直”“端點(diǎn)”“不能延長”等，就能較好地建立相應(yīng)的表象。

幾何圖形的周長、面積、體積計(jì)算公式的歸納都是兒童對形體直觀知覺的深化。如對長方形面積大小觀念的建立從定性到定量，從直觀比較到數(shù)方格，從擺小正方形（面積單位）到發(fā)現(xiàn)面積與長寬的關(guān)系，最終獲得面積計(jì)算公式，使學(xué)生從在更深層面上認(rèn)識長方形。

對幾何圖形性質(zhì)的判斷有時(shí)需要通過計(jì)算才能獲得正確結(jié)論。如：“畫出周長是14厘米的長方形”“畫出面積是12平方厘米的長方形”，由于憑空作圖困難，而通過具體計(jì)算，先計(jì)算出長方形的長和寬各是多少厘米，結(jié)論就不辯自明了。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉 偉.小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想方 法在教材中的滲透[J].新課程學(xué)習(xí) （基礎(chǔ)教育），2010（8）：93-94.

[2]張雅芬.以“形”助“數(shù)”促發(fā)展——例 談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中 的應(yīng)用[J].課程教育研究，2015（32）： 189-190.