淺談初中二次函數(shù)的教學(xué)

黃認(rèn)先

【摘要】 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它與一元二次方程、一元二次不等式、方程組以及幾何知識(shí)都有必然的聯(lián)系。同時(shí)，也為學(xué)生進(jìn)入高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ)。本文僅就二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容的總體認(rèn)識(shí)、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力談一些看法。

【關(guān)鍵詞】 掌握 認(rèn)識(shí) 歸納 滲透 發(fā)掘 化解

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）07-124-02

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二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它不僅是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，也體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。二次函數(shù)是中考的必考點(diǎn)，考題的難易跨度較大，基礎(chǔ)題、能力題、拓展題三種層次的題目都有可能出現(xiàn)。初中學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)、式、方程等研究常量的計(jì)算問(wèn)題，到學(xué)習(xí)函數(shù)研究變量的變化規(guī)律，是認(rèn)識(shí)上的一次重大飛躍。學(xué)習(xí)函數(shù)，可以幫助學(xué)生深化對(duì)代數(shù)式的認(rèn)識(shí)，溝通方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系，完成相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，二次函數(shù)一章的學(xué)習(xí)也是初中代數(shù)與高中代數(shù)之間在內(nèi)容與思想方法上的銜接與過(guò)渡。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，缺乏從整體上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與圖象以及性質(zhì)的統(tǒng)一性，因而解題上存在著盲目性，缺乏簡(jiǎn)潔性和靈活性，運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力明顯不足。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，本人認(rèn)為出現(xiàn)這些問(wèn)題的癥結(jié)。從教師這方面來(lái)說(shuō)主要有三個(gè)原因：一是教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”或多或少存在“兩張皮”現(xiàn)象，沒(méi)有有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)；二是教學(xué)中數(shù)與形的“兩張皮”現(xiàn)象，未能做到數(shù)形結(jié)合和歸納總結(jié)進(jìn)行教學(xué)；三是教學(xué)過(guò)程沒(méi)有充分體現(xiàn)出以學(xué)生發(fā)展為本，缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。本文僅就二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容的總體認(rèn)識(shí)、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力談一些看法。

一、掌握教學(xué)目標(biāo)與指導(dǎo)思想

二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是：通過(guò)學(xué)生積極參與，在探求、認(rèn)知的全過(guò)程中理解和掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)應(yīng)用，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力，掌握基本的數(shù)學(xué)方法，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展積極的情感態(tài)度和價(jià)值觀。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須貫徹新的課程理念，在教學(xué)課程的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容的取舍、課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織等方面，處處以學(xué)生發(fā)展為本。樹(shù)立課程是為學(xué)生提供學(xué)習(xí)經(jīng)歷并獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的觀念，確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。遵循學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展的規(guī)律，組織合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)知識(shí)的生成、發(fā)展和形成的過(guò)程；設(shè)計(jì)出科學(xué)的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，提供學(xué)生親身感受、體驗(yàn)和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神；通過(guò)學(xué)習(xí)情景的創(chuàng)設(shè)，實(shí)踐環(huán)節(jié)的開(kāi)發(fā)和學(xué)習(xí)渠道、手段的拓寬，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的傳承、技能的掌握；能力的發(fā)展、方法的運(yùn)用；情感態(tài)度和價(jià)值觀的形成。

二、從生活實(shí)例中認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)的概念的教學(xué)，教材中安排了“正方體的表面積與棱長(zhǎng)”、“比賽的場(chǎng)次數(shù)與球隊(duì)數(shù)”以及“產(chǎn)量與計(jì)劃增長(zhǎng)倍數(shù)”等三個(gè)實(shí)例引入二次函數(shù)的概念.這一節(jié)的課堂設(shè)計(jì)和教學(xué)組織應(yīng)做好三個(gè)環(huán)節(jié)，達(dá)到兩個(gè)目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考、合作討論與交流，自己找到三個(gè)實(shí)例的函數(shù)關(guān)系式——即建立數(shù)學(xué)模型：（1）y=6x2（2）y=0.5x2-0.5x（3）y=-100x2+100x+200；二是通過(guò)觀察、比較、抽象，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個(gè)函數(shù)解析式的共同點(diǎn)——函數(shù)都是用自變量的二次式表示的，從而理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的概念。三是引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)實(shí)例中，自變量的變化以及函數(shù)相對(duì)應(yīng)的變化情況，來(lái)理解函數(shù)定義域的意義并求出各函數(shù)的定義域。通過(guò)以上三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生理解了二次函數(shù)的概念，并能認(rèn)識(shí)到實(shí)際生活中二次函數(shù)的例子隨處可見(jiàn)，從而激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

三、類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本章的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的主要問(wèn)題是不能把二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象統(tǒng)一起來(lái)，只會(huì)機(jī)械地、孤立地認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，沒(méi)有從整體上完整地把握其性質(zhì)；對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中的系數(shù)a、b、c在決定二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的形狀與位置等方面的意義和作用，缺乏深刻、完整的認(rèn)識(shí)，即數(shù)與形“兩張皮”。本人在教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：例如，在討論二次函數(shù)y=x2時(shí)，可以類比一次函數(shù)研究二次函數(shù)。又如，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2是分a>0和a<0兩種情況討論，先討論a>0的情況就可以類比a<0的情況進(jìn)行討論。再如，討論二次函數(shù)y=2x2-6x+21的圖象和性質(zhì)，再讓學(xué)生運(yùn)用類比的方法研究二次函數(shù)y=-2x2-4x+1的圖象和性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)貫穿二次函數(shù)討論。對(duì)于簡(jiǎn)單二次函數(shù)y=x2的研究就是從畫(huà)函數(shù)的圖象開(kāi)始，然后從圖象了解它的性質(zhì)。其后對(duì)二次函數(shù)的研究，也展現(xiàn)了從解析式到圖象，從圖象到性質(zhì)的過(guò)程，從特殊例子歸納一般結(jié)論。例如，讓學(xué)生觀察二次函數(shù)y=2x2、y=3x2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，歸納函數(shù)y=ax2（a>0）的圖象特點(diǎn)；探究函數(shù)y=-2x2、y=-3x2的圖象與函數(shù)y=-x2的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，歸納函數(shù)y=-ax2（a<0）的圖象特點(diǎn)；又如拋物線y=2（x+1）2+3與拋物線y=2x2的關(guān)系，從而歸納出把拋物線y=ax2向上（下）、向左（右）平移得到拋物線y=a（x-h）2+k的結(jié)論。

由y=ax2→y=ax2+k→y=a（x-h）2→y=a（x-h）2+k→y=ax2+bx+c的處理方法，從特殊到一般，由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在課堂教學(xué)中，要始終貫穿類比、數(shù)形結(jié)合和歸納掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，就如同解析式、列表是函數(shù)的表達(dá)形式一樣。

四、在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

近年來(lái)的中考試題中，二次函數(shù)的考查力度也逐漸加大，其數(shù)量與分值明顯增加，設(shè)計(jì)內(nèi)容廣泛，具有一定的難度和深度，其題型也是多種多樣，同時(shí)，此類以二次函數(shù)為背景的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，題型多，并藉此考查學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

（一）滲透思想方法，著眼規(guī)律教學(xué)

二次函數(shù)一章比較多地運(yùn)用了待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，選擇恰當(dāng)?shù)睦}，滲透“方法”的教學(xué)，幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法審題，尋求解題規(guī)律，有利于數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)和提高。

例1，直線AB過(guò)x軸上的點(diǎn)A（2，0），且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）。

（1）求直線與拋物線所表示的函數(shù)解析式

（2）如果拋物線上有一點(diǎn)D，使得S△OAD=S△OBC，求D點(diǎn)的坐標(biāo)。

解（1）由直線過(guò)點(diǎn)A（2，0）、B（1，1），得直線方程為y=-x+2.又由拋物線y=ax2過(guò)點(diǎn)B，得a=1，即拋物線為y=x2.

（2）由點(diǎn)C是直線與拋物線交點(diǎn)，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4）.以設(shè)代求，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x2）.則

S△OAD=x2，S△OBC=S△OAC-S△OAB=3.易得D點(diǎn)的坐標(biāo)

（二）發(fā)掘內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

例2已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B（1）求m的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）當(dāng)■

分析：（1）根據(jù)題意得出△=（1-2m）2-4m（1-3m）=（1-4m）2>0，得出1-4m≠0，解不等式即可；

（2）y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m無(wú)關(guān)，解得x=3或x=-1（舍去，y=0，在坐標(biāo)軸上），故定點(diǎn)為（3，4）；

（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|■-4|，由已知條件得出■≤■<4，得出0<|■-4|≤■，因此|AB|最大時(shí)，|■-4|=■，解方程得出m=8，或m=■（舍去），即可得出結(jié)果。

用二次函數(shù)連貫一元二次方程和不等式的知識(shí)，可幫助學(xué)生深化對(duì)方程及不等式的理解，使分散的知識(shí)系統(tǒng)化，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。另一方面，運(yùn)用函數(shù)思想處理方程和不等式問(wèn)題，以及運(yùn)用方程和不等式知識(shí)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的函數(shù)局部問(wèn)題作靜態(tài)處理的思想方法，為后續(xù)解析幾何學(xué)習(xí)又能起到打基礎(chǔ)的作用。

（三）綜合運(yùn)用知識(shí)，化解壓軸題

由于綜合題涉及的知識(shí)點(diǎn)多、數(shù)學(xué)方法多、數(shù)學(xué)思想多。這就要求學(xué)生準(zhǔn)確迅速地對(duì)綜合題提供的信息進(jìn)行梳理、提煉，運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)綜合題進(jìn)行分解、組合。

例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線BP與y軸相交于點(diǎn)C

（1）求拋物線y=-x2+

ax+b的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值。

分析：（1）將點(diǎn)A、B代入拋物線y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)為0可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式，易得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由P點(diǎn)的坐標(biāo)可得C點(diǎn)坐標(biāo)，A、B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC長(zhǎng)，利用sin∠OCB=■可得結(jié)果。

二次函數(shù)綜合題的分解與組合是一個(gè)難題，分解綜合題實(shí)質(zhì)上就是不斷把原問(wèn)題化解為若干個(gè)小問(wèn)題。實(shí)質(zhì)上也是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。教學(xué)中教師要注重對(duì)學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

總而言之，二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，這是中考的必考重要考點(diǎn)。還是初中代數(shù)與高中代數(shù)之間在內(nèi)容與思想方法上的銜接與過(guò)渡，教師在教學(xué)過(guò)程中著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[2]吳坤雄.2011年中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)策略（13）——“函數(shù)的考法分析”[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2011（03）.

[3]楊紅葆.二次函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì)的評(píng)課案例[J].新課程學(xué)習(xí)（中），2011（07）.