關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 提升學(xué)生思維能力
—— 以一節(jié)橢圓性質(zhì)探究課為例

☉江蘇省啟東中學(xué) 胡 勇

一、引言

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“四基”之一，也是近年來教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)，相關(guān)的研究論文很多.在眾多研究結(jié)果中，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)和理解還存在著一定程度的差異，但在以下兩個(gè)方面卻基本上保持一致.

一是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的價(jià)值認(rèn)同，即“數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程不僅能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的理解，同時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累也是形成學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ).”

二是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成機(jī)制，即“學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在做數(shù)學(xué)的過程中形成的，它的產(chǎn)生和形成實(shí)質(zhì)上是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程.”

下面以筆者近期在本校開設(shè)的一節(jié)市級(jí)公開課為例，談?wù)剬?duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的探索和思考.

二、基本情況分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

直線與橢圓的位置關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，主要表現(xiàn)在：對(duì)問題的本質(zhì)理解模糊，只知“埋頭運(yùn)算”，不知“抬頭識(shí)路”，缺乏解題策略的選擇意識(shí)，往往因?yàn)榉椒ú缓侠矶胪緮R淺，或因計(jì)算過于煩瑣而產(chǎn)生厭煩、畏懼心理.針對(duì)學(xué)生這一普遍存在的困惑，在復(fù)習(xí)橢圓及其性質(zhì)后設(shè)計(jì)本節(jié)探究內(nèi)容，讓學(xué)生在自主探究的過程中體會(huì)解決解幾問題的一般策略和方法.

2.教學(xué)目標(biāo)

（2）通過探究橢圓的性質(zhì)，理解直線與橢圓問題解決一般策略和方法；

（3）了解類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新過程中的作用，領(lǐng)略數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般過程和快樂.

3.教學(xué)重難點(diǎn)

類比圓的性質(zhì)得出橢圓的相關(guān)結(jié)論.

三、教學(xué)實(shí)錄

1.情境引入

師：著名天文學(xué)家開普勒曾說過：“我珍視類比勝過任何東西，它是我最可信的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中，它應(yīng)該說是最不能忽視的.”開普勒如此推崇類比，可見它在自然科學(xué)更多是在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位.今天，就讓我們一起來運(yùn)用這一有力武器，探究并發(fā)現(xiàn)橢圓中的一些結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：用偉大科學(xué)家的話激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.開場白直接點(diǎn)明類比思想，為接下來的發(fā)現(xiàn)之旅指明方向.

2.自主探究，意義建構(gòu)

探究問題1：如圖1，已知圓O：x2+y2=r（2r>0）上兩點(diǎn)M，N，且OM⊥ON.在此條件下你能得出哪些結(jié)論？類比到橢圓中，你能得出哪些猜想？

學(xué)生分組討論、交流，教師巡視.大約5分鐘后由小組指派代表發(fā)言.

圖1

圖2

生2（另一小組成員）：錯(cuò)了！兩直線垂直的條件也要改.

師：怎么改？為什么？

學(xué)生獨(dú)立探究，教師對(duì)學(xué)習(xí)困難的同學(xué)進(jìn)行點(diǎn)撥，大約10分鐘后學(xué)生展示成果.

生3：猜想成立，證明如下：

故猜想成立.

師：很好.除了上述猜想，同學(xué)們還有別的猜想嗎？

生4：類比圓中結(jié)論OM2+ON2=2r2有OA2+OB2=a2+b2.利用上述證明可得：

生5：類比圓中弦中點(diǎn)的軌跡還是圓，猜想橢圓中弦AB的中點(diǎn)P的軌跡仍是橢圓.

所以線段AB的中點(diǎn)P的軌跡是橢圓，

探究問題2：想一想圓中與兩直線垂直的有關(guān)結(jié)論，它們可以類比到橢圓中嗎？

學(xué)生分組探討、交流，教師參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥.大約10分鐘后由各組指派同學(xué)展示探究成果.

生6：類比“圓中直徑所對(duì)圓周角是直角”得到：如圖3，已知點(diǎn)A，B，P在橢圓上，若直線PA，PB的斜率存在，則A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

圖3

生7：類比“圓中平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”得到：如圖4，已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，則

圖4

證明如下：設(shè)M（x0，y0），則

圖5

點(diǎn)評(píng)：從探究的空間、時(shí)間、層次等方面為學(xué)生營造了一個(gè)較為寬松的探究情境，使得整個(gè)探究過程基本上自成體系、有序、環(huán)環(huán)相扣，各個(gè)探究過程之間密切相關(guān)，做到由淺入深、由易到難、由現(xiàn)象到本質(zhì).

師：請同學(xué)們總結(jié)一下，我們得到哪些結(jié)論.

②OA2+OB2=a2+b2；

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)知識(shí)是可以直接授受的，但數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)卻不能傳遞，只有學(xué)生親身經(jīng)歷自主探究，完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一般過程，才能夠切身體會(huì)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，提高運(yùn)算求解和思維能力，體驗(yàn)學(xué)科研究的一般方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3.反思總結(jié)，凸顯本質(zhì)

（1）本節(jié)課得到了橢圓的哪些性質(zhì)？

（2）本節(jié)課在證明橢圓有關(guān)性質(zhì)時(shí)運(yùn)用了哪些方法？

（3）本節(jié)課得到橢圓性質(zhì)的過程，遵循了怎樣的研究方法和一般過程？

點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生反思經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)，回顧基本知識(shí)、技能，感悟科學(xué)研究的一般方法和過程，使得學(xué)生所獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)由“懵懂模糊”逐漸“清晰明確”，重新建構(gòu)認(rèn)知體系.

四、數(shù)學(xué)活動(dòng)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)開展立足于教師的精心預(yù)設(shè)

成功的課堂教學(xué)離不開預(yù)設(shè)，只有精彩的預(yù)設(shè)，才能和諧生成.設(shè)計(jì)什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

首先，要對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析與聯(lián)結(jié).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的類似性使得儲(chǔ)存在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有很強(qiáng)的遷移性和認(rèn)同性，因此在分析數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理特征時(shí)，還應(yīng)將學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分析納入學(xué)情分析的范圍.

其次，結(jié)合學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容確定數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的具體、可行的目標(biāo).目標(biāo)解析采用條目式，以求簡潔、準(zhǔn)確表達(dá)“理解”、“掌握”的具體內(nèi)容.

最后，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié).活動(dòng)的進(jìn)程設(shè)計(jì)除了觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、探討和交流等操作層面外，更要注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的核心應(yīng)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)生成于學(xué)生的自主探究

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是動(dòng)作和心智交互作用的結(jié)果.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要注意角色定位的轉(zhuǎn)換，由傳統(tǒng)的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)向現(xiàn)代的學(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者.教師的角色應(yīng)定位在組織指導(dǎo)者、合作交流者，課堂是復(fù)雜的，運(yùn)動(dòng)變化的，由于多種不確定因素的存在和相互作用，“預(yù)設(shè)”不可能窮盡課堂所有可能的變化.當(dāng)學(xué)生遇到這樣那樣的挫折和失敗需要得到幫助時(shí)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)、引導(dǎo).

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提升于學(xué)生的反思悟透

弗萊登爾說過：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”.學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)后，所形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是懵懂模糊的，只有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中體現(xiàn)的研究方法和研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)和反思，才能進(jìn)行合理的知識(shí)建構(gòu)，才能提高自己的思維能力，才能使所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更加清晰明確.教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者、幫助者、引導(dǎo)者，一定要有反思的意識(shí)和習(xí)慣，要多在反思體驗(yàn)處構(gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展.