一道圓中動點問題的解法賞析

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 張新村

【?？颊骖}】如圖1，已知AC=2，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑，在AC同側作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點（不含端點A，B，C），且BM⊥BN，則的最大值為_____.

【思路點撥】本題主要考查圓上動點問題、向量垂直的充要條件、向量數(shù)量積的運算、最值問題等，解決問題的關鍵主要是對題設條件中BM⊥BN的處理，以及兩個半圓的作用的分析，最終所求的最大值無非兩種思路：一是轉化成函數(shù)，求最大值；二是利用基本不等式求最大值.

一、解析幾何法

題中既然提及“AC=2，B為AC的中點”，不妨考慮寫出兩個半圓的方程，設出動點M，N的坐標，最后轉化成函數(shù)最值問題.

解法1：以點B為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2所示.因為AC=2，B為AC的中點，所以A（-1，0），C（1，0），設動點M（x1，y1），N（x2，y2），易得以AB為直徑的圓的方程為以AC為直徑的圓的方程為x2+y2=1，所以整理得因為AB為直徑，所以∠AMB=90°，因為BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN.而即

所以（x1+1）2（1-x22）=x22（-x12-x1），整理有x1=x22-1.

即（x1，y1）·（x2，y2）=0，所以x1x2+y1y2=0.

在水資源利用方面，河道能夠在一定程度上調(diào)配水資源，實現(xiàn)對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)所需水資源的供給和滿足農(nóng)村居民生活用水需要。但隨著水資源枯竭和污染等問題日益嚴重，河道的水資源調(diào)配功能大幅度降低，河道淤積問題在很多農(nóng)村較為常見。這些趨勢不利于農(nóng)村發(fā)展和農(nóng)村居民收入水平的提高。因此，農(nóng)村河道整治工作十分必要。

點評：解析幾何法在方程的應用上比較多，在等式的化簡方面有些煩瑣和技巧性，此解法一定要掌握圓的方程，整個解題過程中，在關鍵點處的等量代換也十分重要.

二、向量轉化法

解法2：建立如圖3所示的平面直角坐標系，取AB的中點為H，連接MH，過點M作MK⊥AB.設∠MAB=θ，因為HA=HM，所以∠MHB=2θ.因為AB為直徑，所以∠AMB=90°，因為BM⊥BN，所以∠MBN=90°，且所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.

三、數(shù)量積定義法

所求問題為數(shù)量積的格式，可以嘗試將所求問題向量先轉化，然后運用數(shù)量積的定義來解決.

解法3：如圖4所示，設∠MAB=θ.因為AB為直徑，所以∠AMB=90°.因為BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.

點評：向量數(shù)量積的定義是解決數(shù)量積問題的最根本的方法，此解法緊緊圍繞著數(shù)量積的定義展開，當然，將以及∠MAB=θ的設定都非常關鍵.

四、輔助角法

前面兩種解法中，我們都引入了角θ，下面我們?nèi)匀唤柚谳o助角θ，結合數(shù)量積的坐標運算形式求解.

解法4：建立如圖5所示的平面直角坐標系，過點M作MH⊥AB，設∠MAB=θ.因為AB為直徑，所以∠AMB=90°.因為BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.由題易知，A（-1，0），C（1，0），AM=ABcosθ=cosθ，AH=AMcosθ=cos2θ，MH=AMsinθ=cosθsinθ，所以BH=AB-AH=1-cos2θ=sin2θ，所以M（-sin2θ，cosθsinθ），N（cosθ，sinθ）.

點評：類似于解法2與解法3，也是假設了輔助角θ，用以表示動點M，N的坐標，不同的是，此解法沒有涉及向量間的相互轉化，而是利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)，求出動點M，N的坐標，最后化歸為關于cosθ的二次函數(shù)最大值問題.

五、基本不等式法

基本不等式也是求最值時的常用工具之一，一起來賞析此處的妙用.

解法5：如圖6所示，我們可以再以BC為直徑作個半圓，線段BN與半圓相交于點M′，連接CM′.因為AB為直徑，所以∠AMB=90°.因為BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN.

本文主要對一道高三?？荚囶}的解法加以探究，從不同的角度、不同的層面對問題進行剖析，既有常規(guī)思路的解法，也有技巧性很強的奇思妙解，希望讀者可以回味其中，與您共勉.