正方體的截面問題

陳斌

摘要：近幾年高考全國(guó)數(shù)學(xué)試卷涉及正方體的截面問題的試題，本文就正方體的截面形狀及性質(zhì)進(jìn)行了歸納整理，并對(duì)幾道高考試題提出了解法。

關(guān)鍵詞：高考;理數(shù);正方體;截面

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2018）12-0237-01

正方體的截面就是用一個(gè)平面去截正方體，正方體的表面與這個(gè)平面的交線圍成的平面圖形。

1.正方體的截面形狀

正方體的截面可以是三角形，四邊形，五邊形或六邊形，具體說(shuō)：

（1）截面三角形一定是銳角三角形;其中可以是等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形;但不能是直角三角形、鈍角三角形;

（2）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四邊形中至少有一組對(duì)邊平行;截面不能是直角梯形;

（3）截面可以是五邊形;截面五邊形必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等;截面五邊形不可能是正五邊形（因?yàn)楸赜袃山M對(duì)邊平行）;

（4）截面可以是六邊形;截面六邊形必有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等;截面六邊形可以是等角（均為1200）的六邊形，特別地，可以是正六邊形。

2.正方體的截角面的性質(zhì)

所謂正方體的截角面就是沿正方體的某三個(gè)頂點(diǎn)截去它的一個(gè)角后的三角形截面。如右圖中的△A'BD。

（1）每個(gè)正方體都有八個(gè)截角面;

（2）正方體的截角面垂直于它的一條體對(duì)角線，垂足是這條體對(duì)角線的一個(gè)三等分點(diǎn)。

（3）正方體的截角面與它的12條棱所成的角相等，也與它的六個(gè)面所成角相等。

由于截去的是正三棱錐，結(jié)合線面平行或面面平行的有關(guān)性質(zhì)容易證明上述結(jié)論。

3.有關(guān)試題解法淺析

（1）把正方體截去一個(gè)角，求證：截面三角形是銳角三角形。

分析：如圖，應(yīng)該從截去的部分入手，關(guān)注被截去棱的部分長(zhǎng)AE、AF，AG對(duì)△EFG形狀的影響。

解答：如圖，設(shè)AE=a，AF=b，AG=c，則所以所以∠EFG所以為銳角;同理∠FGE，∠GEF都為銳角;故ΔEFG為銳角三角形。

（2）【2018年高考全國(guó)卷I理數(shù)12】已知正方體的棱長(zhǎng)為，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）分析：截角面與十二條棱所成的角都相等，并且與它平行的截面都與正方體的十二條棱所成的角都相等，又因?yàn)榻孛婷娣e要最大，所以考慮正六邊形截面。

解答：由截角面的性質(zhì)和平行平面的性質(zhì)，考慮正六邊形截面，它的邊長(zhǎng)為面對(duì)角線的一半，故得S截面=，選A。

（3）【2018年高考全國(guó)卷I理數(shù)11】平面α過正方體AB-CD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A，α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，a∩平面ABB₁A₁=n，則m，n所成角的正弦值為（）

分析：補(bǔ)體，直接找直線m和直線n，然后求夾角;或找分別與直線m和n直線平行的直線所成的角。

解答：法一：補(bǔ)體，m為AE，n為AF，△AEF為等邊三角形，所以，m，n所成角為∠EAF=π/3，其正弦值為。法二：作截面A₁BD，由面面平行的性質(zhì)m，n所成角的角等于∠A₁BD，可解。法三;m//B₁D₁，n//CD₁，m，n所成角的角即為∠CD₁B₁，可答。