基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的解析幾何概念教學(xué)

吳啟霞

[摘 要]數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.概念是考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體，解析幾何是整個(gè)高中數(shù)學(xué)中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效途徑.基于此，以解析幾何概念教學(xué)為例，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統(tǒng)化等方面談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；解析幾何；概念教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）20-0019-02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng).”核心素養(yǎng)一經(jīng)提出，便引起廣大高中數(shù)學(xué)教師的高度關(guān)注，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中逐步形成的，筆者也嘗試著在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).章建躍教授說(shuō)過(guò)：“重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實(shí)的是抓數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)，選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的‘基本套路，在概念學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象.”也即搞好數(shù)學(xué)概念教學(xué)是實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的落腳點(diǎn)，形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)思想與方法以及形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系是數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)表現(xiàn).解析幾何是整個(gè)高中數(shù)學(xué)中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念的獲取過(guò)程是在數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系的過(guò)程，也是從事物的具體背景抽象出一般規(guī)律和結(jié)論，并轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程，即數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的過(guò)程.本文基于解析幾何概念教學(xué)，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統(tǒng)化等方面談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

一、重視概念的引入，豐富學(xué)生的感受與體會(huì)

數(shù)學(xué)新概念有的源于日常生活的事物或現(xiàn)象，有的是在原有概念的基礎(chǔ)上概括而成的，有的是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象共同屬性的抽象，有的則是為了適應(yīng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要而引入的.由于數(shù)學(xué)概念用比文字語(yǔ)言更簡(jiǎn)練和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式表達(dá)事物的本質(zhì)屬性，所以顯得“高深莫測(cè)”.概念教學(xué)需要具體分析概念產(chǎn)生的背景，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律去選擇合適的引入方式，以促進(jìn)學(xué)生獲得初步的感性認(rèn)識(shí).

高中數(shù)學(xué)解析幾何概念可采用直觀圖形、數(shù)學(xué)實(shí)例、應(yīng)用問(wèn)題等方式引入.教師在引入解析幾何概念時(shí)，使用的直觀材料，要盡量避免無(wú)關(guān)屬性的干擾，同時(shí)要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行細(xì)致觀察和分析，并歸納、概括出概念的本質(zhì)屬性，而不能過(guò)多地停留在感性認(rèn)識(shí)上；要充分利用學(xué)生的幾何直覺(jué)去闡明定義的合理性，特別注意給學(xué)生以準(zhǔn)確清晰的概念表征.如圓錐曲線的概念內(nèi)涵包括運(yùn)動(dòng)性、變化性和過(guò)程性，教師應(yīng)通過(guò)學(xué)生的活動(dòng)與操作，或適當(dāng)采用現(xiàn)代教育技術(shù)（如幾何畫板）展現(xiàn)圓錐曲線圖像的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析影響其圖像變化的因子，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓錐曲線概念的認(rèn)識(shí)與理解.一些數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想和豐富的文化價(jià)值，引入這些概念時(shí)要注意挑選合適的材料予以滲透，逐步豐富學(xué)生的感受與體會(huì).

例如，在引入橢圓概念時(shí)，可以讓學(xué)生列舉生活中的橢圓實(shí)例，通過(guò)“嫦娥”月球探測(cè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡的視頻演示引入，讓學(xué)生意識(shí)到橢圓在科技和生活中的廣泛應(yīng)用，使之逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值.在圓的教學(xué)中，可以通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)引入圓的概念，如讓學(xué)生動(dòng)手用圖釘把繩子的一端固定，另一端則綁一支鉛筆，然后緊拉繩子移動(dòng)筆尖畫圓形，最后歸納定義.概念的形成過(guò)程，實(shí)際就是對(duì)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和概括的過(guò)程，教師應(yīng)通過(guò)開(kāi)展觀察實(shí)物、構(gòu)建模型、畫圖形等活動(dòng)引入新概念，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上強(qiáng)化對(duì)概念的理解，進(jìn)而打通數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的通道.

二、重視概念的形成，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解

概念的形成就是要促進(jìn)學(xué)生準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵和外延，以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)學(xué)關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，內(nèi)涵和外延是構(gòu)成數(shù)學(xué)概念的兩個(gè)重要方面.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和，外延則是數(shù)學(xué)概念所反映的對(duì)象的范圍.兩者分別揭示了對(duì)概念質(zhì)與量的規(guī)定，充分揭示概念的內(nèi)涵和外延有助于加深學(xué)生對(duì)概念的理解.

例如，圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，而深刻理解圓錐曲線概念的內(nèi)涵與外延又是學(xué)習(xí)的重點(diǎn).對(duì)于橢圓，教材這樣定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)[F1]、[F2]的距離之和（[MF1+MF2=2a]）等于常數(shù)（大于[F1F2=2c]）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.它的內(nèi)涵：一是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是常數(shù)；二是常數(shù)大于兩定點(diǎn)距離.它的外延是不論定點(diǎn)在何處，只常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離的所有橢圓.設(shè)問(wèn)：“當(dāng)常數(shù)小于或等于兩定點(diǎn)的距離時(shí)又是什么軌跡呢？”通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)[MF1+MF2]為常數(shù)時(shí)，軌跡不一定為橢圓.類比雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.其內(nèi)涵：一是強(qiáng)調(diào)到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值，保證了雙曲線的兩支；二是此常數(shù)必大于0且小于定點(diǎn)距離，外延是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)的所有雙曲線.這樣，學(xué)生對(duì)圓錐曲線的核心概念有了既有“質(zhì)”又有“量”的完整統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)和理解.另外，由于概念內(nèi)涵的多重性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，推演概念的其他本質(zhì)屬性，用不同的方式描述概念，表示概念，尋找概念新的等價(jià)定義，以豐富學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和深化學(xué)生對(duì)概念的理解，從而促進(jìn)學(xué)生理解圓錐曲線概念的本質(zhì).

三、充分利用例題和變式習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和深化概念

對(duì)高中生來(lái)說(shuō)，不可能一下子就建立起數(shù)學(xué)概念，這需要一個(gè)過(guò)程.待學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念后，教師應(yīng)及時(shí)安排相應(yīng)的練習(xí)予以鞏固.概念的鞏固練習(xí)應(yīng)循序漸進(jìn)地進(jìn)行，整體上可以分為知覺(jué)水平上的低層次運(yùn)用和思維水平上的高層次運(yùn)用兩個(gè)層次.對(duì)數(shù)學(xué)概念的肯定例證加以辨識(shí)屬于概念知覺(jué)層次上的運(yùn)用，對(duì)這一類練習(xí)的選擇一定要具有代表性和典型性，這些供鑒別的實(shí)例，既要包括正例，也要包括反例.對(duì)于一些容易混淆的概念群，教師在教學(xué)過(guò)程中要重點(diǎn)做區(qū)分對(duì)比，分門別類地指出它們的異同.為了凸顯概念的本質(zhì)屬性，概念的辨析應(yīng)采用變式教學(xué)方式，從不同角度和方式變換事物的非本質(zhì)屬性，以便揭示事物的本質(zhì)特征.

例如，在拋物線概念教學(xué)中，可將例題“若動(dòng)點(diǎn)[M（x，y）]與定點(diǎn)[F（2，0）]和定直線[l：x+2=0]的距離相等，則[M]點(diǎn)的軌跡是什么？”變式為“1.若動(dòng)點(diǎn)[M（x，y）]與定點(diǎn)[F（2，0）]比它到定直線[l：x+3=0] 的距離小1，則[M]點(diǎn)的軌跡是什么？2.若動(dòng)點(diǎn)[M（x，y）]與定點(diǎn)[F（2，3）]和定直線[l：x+y-3=0]的距離相等，則[M]點(diǎn)的軌跡是什么？”然后讓學(xué)生自主練習(xí).這屬于概念思維層次上的運(yùn)用.在這過(guò)程中，教師選用的例題要注意體現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，設(shè)置變式練習(xí)時(shí)要從多個(gè)層次考慮，讓學(xué)生能夠在解決問(wèn)題的過(guò)程中加深對(duì)概念的理解，厘清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.

四、通過(guò)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖式，使概念系統(tǒng)化

現(xiàn)代教育認(rèn)知理論認(rèn)為，人腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)在很大程度上決定著人的認(rèn)知能力，知識(shí)的結(jié)構(gòu)層次越高，人的認(rèn)知能力就越強(qiáng).學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，歸根到底是學(xué)生通過(guò)自己的數(shù)學(xué)思維逐步建立起來(lái)的.而數(shù)學(xué)基本概念往往是成群結(jié)對(duì)地出現(xiàn)，任何概念都要在某個(gè)概念系統(tǒng)中發(fā)揮作用，概念體系的形成，有利于學(xué)生弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，有助于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，也有助于學(xué)生把握概念的外延，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的記憶、保持和提取，同時(shí)澄清對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)，擴(kuò)展學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu).因此，數(shù)學(xué)教師在解析幾何概念教學(xué)中要發(fā)揮主導(dǎo)作用，適當(dāng)組織學(xué)生對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行歸納和總結(jié)，使之條理化和系統(tǒng)化，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).構(gòu)建概念體系一般可以從四個(gè)方面考慮：相鄰概念形成體系；相反概念形成體系；從屬概念形成體系；并列概念形成體系.為了整體展示概念間多方面的邏輯體系，可采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的方式.高中解析幾何的核心概念為曲線的方程和方程的曲線，具體是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及其方程，其基本方法是幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)結(jié)構(gòu)幾何化，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想.因此，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖式，幫助學(xué)生形成有序的概念結(jié)構(gòu)，提高知識(shí)結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

綜上可知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，而形成概念的過(guò)程是典型的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，教師在教學(xué)過(guò)程中完成知識(shí)傳授的同時(shí)更要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有意識(shí)地加強(qiáng)訓(xùn)練，不斷地堅(jiān)持下去，就能將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長(zhǎng)期浸潤(rùn)則有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維的形成.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2017.

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[3] 李昌官.核心素養(yǎng)視角下的解析幾何起始課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（28）：8-10.

[4] 熊惠民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例研究[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

（責(zé)任編輯 黃春香）