《幾何畫板》在初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐研究

羅碩

【摘 要】信息技術(shù)在教學(xué)中的滲透，使得現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)充滿著時(shí)代氣息，它更新著我們教學(xué)手段，革新了我們的教學(xué)理念，極大地豐富了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和形式。在倡導(dǎo)素質(zhì)教育的教學(xué)改革中，運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)構(gòu)建實(shí)施素質(zhì)教育的新型數(shù)學(xué)活動(dòng)形式——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，正成為數(shù)學(xué)教育改革和實(shí)踐的一個(gè)新熱點(diǎn)。開(kāi)展在計(jì)算機(jī)環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究，不論在理論上還是在實(shí)踐上都具有深遠(yuǎn)意義。本文就如何利用《幾何畫板》軟件開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作了一些思考和探索。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；建構(gòu)

一、開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性

作為一線的數(shù)學(xué)教師，在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：有些題目原原本本地在課堂上講過(guò)，然而考試時(shí)還是有同學(xué)做不出來(lái)。究其原因，是學(xué)生并沒(méi)有完全吃透老師的解題思想，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)是：學(xué)習(xí)不應(yīng)看作是對(duì)于教師授予的知識(shí)的被動(dòng)接受，而是一個(gè)以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。因此，我們不難理解學(xué)生所學(xué)到的往往并不是老師所教的這一“殘酷”事實(shí)，老師講了什么往往不是最重要的，重要的是學(xué)生聽(tīng)進(jìn)去了什么。例如，數(shù)學(xué)課上常見(jiàn)這樣的現(xiàn)象：盡管老師在講臺(tái)上口若懸河，學(xué)生卻充耳不聞，老師再三強(qiáng)調(diào)解題要領(lǐng)，學(xué)生的作業(yè)依然可能是漏洞百出，老師一再?gòu)?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性，學(xué)生還是認(rèn)為數(shù)學(xué)是無(wú)聊的符號(hào)游戲等等。學(xué)生真正對(duì)知識(shí)的“消化”，是把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容正確納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使其成為整個(gè)結(jié)構(gòu)的有機(jī)組成部分。所以，學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的“授予與接受”的過(guò)程，而是學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。

教學(xué)大綱明確指出：數(shù)學(xué)知識(shí)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程，后者對(duì)發(fā)展能力更為重要。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是做數(shù)學(xué)，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)，即我們應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)最能展現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)過(guò)程的問(wèn)題解決方式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

二、支撐數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和理念——建構(gòu)主義

沒(méi)有實(shí)踐的理論是空洞的理論，沒(méi)有先進(jìn)的教育理論指導(dǎo)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是盲目的實(shí)驗(yàn)，建構(gòu)主義是繼行為主義、認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論之后的一種全新的學(xué)習(xí)理論。

建構(gòu)主義理論認(rèn)為：知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的。雖然學(xué)生要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)都是前人已經(jīng)建造好了的，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍是全新的、未知的，需要每個(gè)學(xué)生再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過(guò)程來(lái)形成，即學(xué)生用自己的活動(dòng)對(duì)人類已有的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)起自己的正確理解，應(yīng)該是一個(gè)學(xué)生親自參與的，積極主動(dòng)創(chuàng)造和建構(gòu)的一個(gè)過(guò)程，而不是知識(shí)的復(fù)制與粘貼。

現(xiàn)代建構(gòu)主義下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)該是學(xué)生在老師的指導(dǎo)下輔以計(jì)算機(jī)的幫助，自主參與，具有高度的自主性、探索性的一種數(shù)學(xué)活動(dòng)。美國(guó)大學(xué)有一名言：“我聽(tīng)見(jiàn)了，就忘記了；我看見(jiàn)了，就領(lǐng)會(huì)了；我做過(guò)了，就理解了?！?/p>

三、用幾何畫板開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1.《幾何畫板》功能簡(jiǎn)介

《幾何畫板》是由人民教育出版社1995年引入我國(guó)并漢化的一款非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，目前已升級(jí)到4X版，功能更加強(qiáng)大。它最大的優(yōu)勢(shì)在于幾何圖形的動(dòng)態(tài)化和“數(shù)”與“形”的同步化。具體地說(shuō)，一方面，它不僅可以方便快捷地在平臺(tái)上完成尺規(guī)作圓，圖形可以隨意活動(dòng)，還可以在變化過(guò)程中保持幾何性質(zhì)和圖形之間的關(guān)系不變；另一方面，構(gòu)造完成后，馬上可測(cè)量“圖形對(duì)象”的數(shù)值（如點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、直線的方程、圓的方程等），而且“圖形對(duì)象”的長(zhǎng)度或位置改變時(shí)，其測(cè)量結(jié)果也會(huì)動(dòng)態(tài)的顯示出來(lái)。

因此，幾何畫板可以幫助學(xué)生從動(dòng)態(tài)中觀察、探索和發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的數(shù)量變化關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，因而能夠充當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的有效工具。通過(guò)《幾何畫板》能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)畫效果，讓學(xué)生自己動(dòng)手去拖動(dòng)鼠標(biāo)改變圖形、曲線的狀態(tài)、參數(shù)的數(shù)值等，參觀“形”和“數(shù)”的變化，去猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證從而得出正確的結(jié)論，更進(jìn)一步可以為證明思路找到突破口。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)例研究

2.1函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)分析實(shí)驗(yàn)

（1）函數(shù)y=kx+b的介紹。

由于此函數(shù)的是初中函數(shù)中第一個(gè)介紹的函數(shù)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，所以學(xué)好一次函數(shù)將為以后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面用幾何畫板繪出該函數(shù)的圖象。

通過(guò)圖象分析總結(jié)一次函數(shù)的性質(zhì)：

自變量的取值范圍：一切實(shí)數(shù)；

一次函數(shù)的圖象是一條直線；

當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。

2.2探索任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀的實(shí)驗(yàn)

平面內(nèi)任意畫一個(gè)四邊形，并作出各邊中點(diǎn)，作出中點(diǎn)四邊形，并探索其形狀，我們?cè)O(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)步驟：

（1）在畫圖工具欄上選四邊形工具，任意畫一個(gè)四邊形；

（2）用作圖工具中的中點(diǎn)工具作出各邊的中點(diǎn)；

（3）用線段工具連結(jié)各邊中點(diǎn)；

（4）探索中點(diǎn)四邊形的形狀。

四、構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一般模式

1.設(shè)置情境

好的問(wèn)題是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的前提，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的前提，問(wèn)題怎樣創(chuàng)設(shè)出來(lái)呢？一是教師根據(jù)教學(xué)需要提出，如在講指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，就由教師提出問(wèn)題，再由學(xué)生實(shí)驗(yàn)?；蚴怯蓪W(xué)生自己提出問(wèn)題，如講全等三角形的判定，有的同學(xué)提出：斜邊與直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，其本質(zhì)是兩邊一角相等，兩直角三角形全等。那么，除了直角三角形之外，還有那些三角形有這個(gè)特性？這個(gè)問(wèn)題是學(xué)生自己提出來(lái)的，教師順勢(shì)讓學(xué)生用圓規(guī)直尺作圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

2.實(shí)驗(yàn)探索

根據(jù)提出的問(wèn)題，教師提出實(shí)驗(yàn)課題，由學(xué)生利用計(jì)算機(jī)課件，計(jì)算器，規(guī)尺畫圖，數(shù)據(jù)演示或自制學(xué)具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索。在實(shí)驗(yàn)探索中主要采取獨(dú)立思考與小組合作方式結(jié)合進(jìn)行。

如在研究相似三角形判定時(shí)，利用幾何畫版實(shí)驗(yàn)，對(duì)三角形全等的判定則用規(guī)尺作圖實(shí)驗(yàn)，對(duì)兩個(gè)等腰三角形拼成一個(gè)等腰三角形則采取自制等腰三角形紙板進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)。

3.發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提出猜想

學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索，可以猜想和發(fā)現(xiàn)許多結(jié)論。例如，將求證二次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題改為開(kāi)放性問(wèn)題后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了4—5個(gè)結(jié)論。關(guān)于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，課本中給出了三個(gè)結(jié)論，而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了7個(gè)結(jié)論。在教學(xué)中教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想，大膽發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

4.篩選結(jié)果，理論證明

學(xué)生提出的大量猜想，大多數(shù)是正確的，也有不正確的，就由學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行論證或舉出反例淘汰錯(cuò)誤結(jié)論。例如，在相似三角形判定中，有的學(xué)生提出：三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似；學(xué)生在爭(zhēng)論中利用三角形內(nèi)角和定理，得出只要兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即可到結(jié)論；也有的學(xué)生由兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，類比出兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，則三角形相似，學(xué)生利用幾何畫版舉出了不相似的反例。

對(duì)于正確的結(jié)論還必須要求學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的證明，大膽猜想與嚴(yán)格求證必須結(jié)合起來(lái)，使數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維的深刻性得以體現(xiàn)。

5.反思、體驗(yàn)、提高

對(duì)于一節(jié)實(shí)驗(yàn)課的最終結(jié)果不應(yīng)該僅僅是解決問(wèn)題，而重要的是發(fā)展問(wèn)題，同時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)有規(guī)律性的結(jié)論與解法，還要引導(dǎo)學(xué)生反思，把所探索的問(wèn)題引向深入。例如，通過(guò)研究一元二次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可由學(xué)生總結(jié)出任意曲線系過(guò)定點(diǎn)的規(guī)律性解法。在關(guān)于焦點(diǎn)弦中點(diǎn)性質(zhì)實(shí)驗(yàn)中，就由學(xué)生總結(jié)出有關(guān)性質(zhì)。在等腰三角形拼接實(shí)驗(yàn)中，又把等腰三角形引申為正方形等。

五、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上的實(shí)驗(yàn)實(shí)例可以清楚地看到，由于采取了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種新型的教學(xué)方式，所以教師在備課時(shí)考慮的主要不是講什么、怎樣講，而是如何創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學(xué)內(nèi)容的情境，如何指導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)， 如何組織學(xué)生有效地進(jìn)行協(xié)作學(xué)習(xí)和交流。這樣，教師就成為教學(xué)活動(dòng)的組織者，學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程的指導(dǎo)者，學(xué)生是主體，知識(shí)的積極建構(gòu)者，主動(dòng)進(jìn)行探索式、發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，也就是既發(fā)揮教師主導(dǎo)作用又充分體現(xiàn)學(xué)生主體地位的“主導(dǎo)——主體結(jié)構(gòu)”。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陶維林編著.幾何畫板實(shí)用范例教程[M].清華大學(xué)出版社，2003.4

[2]唐瑞芬主編.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[J].華東師范大學(xué)出版社，2001.1