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    深孔軸線直線度誤差評定方法*

    2018-10-11 12:25:42包建東
    測試技術(shù)學報 2018年5期
    關(guān)鍵詞:直線度連線端點

    李 曉, 包建東

    (1. 南京理工大學 機械工程學院, 江蘇 南京 210094; 2. 南京理工大學 自動化學院, 江蘇 南京 210094)

    0 引 言

    根據(jù)形狀誤差的國家標準及國際標準, 直線度誤差定義為被測實際直線相對于理想直線的偏差, 該理想直線應符合最小條件[1]. 直線度的優(yōu)劣會影響產(chǎn)品的性能及壽命等指標, 因此直線度誤差的評判是一個重要的課題. 目前, 深孔軸線直線度誤差評定的方法主要有: 端點連線法、 最小二乘法、 最小區(qū)域法. 其中前兩種方法屬于近似評定, 一般不能滿足最小條件. 為此, 國內(nèi)外學者研究了許多基于最小包容區(qū)域原則的方法: 計算點數(shù)較少時采用計算幾何評定方法如凸多邊形法、 極值搜索法等, 優(yōu)化方法如遺傳算法、 粒子群算法等, 以盡可能真實地反映直線的直線度誤差. 不同的評定方法對直線度誤差結(jié)果影響較大, 進而影響對產(chǎn)品質(zhì)量的判斷, 故而有必要進行深孔直線度誤差評定方法的研究[2].

    1 評定方法

    本文通過介紹幾種常見直線度誤差評定方法的原理, 并以深孔光電檢測實驗采集的坐標數(shù)據(jù)為例, 分別用5種方法對其進行直線度評定, 并比較各方法優(yōu)劣和評定精度. 采用某實驗中采集的3組深孔坐標數(shù)據(jù), 每組10個測量點, 將原始坐標轉(zhuǎn)換為偏心距, 轉(zhuǎn)化后的軸向位置x及偏心距y數(shù)據(jù)如表 1 所示.

    表 1 偏心距數(shù)據(jù)

    1.1 端點連線法

    建立如圖 1 直角坐標系xoy,x軸表示軸向位移,y軸表示光電坐標偏心距.

    圖 1 端點連線法原理示意圖Fig.1 Endpoint connection principle diagram

    連接首末兩點, 直線L1方程為

    (1)

    式中:x0,y0為起點坐標值;xe,ye為終點坐標值.

    計算誤差曲線上各點(xi,yi)到直線L1的偏差(有正負)

    εi=yi-fi

    (2)

    作包容所有點的L1的平行線, 那么兩平行線在y軸上的距離

    p=εmax-εmin

    (3)

    即為直線度誤差值[3].

    1.2 最小二乘法

    根據(jù)表 1 數(shù)據(jù)計算最小二乘直線方程

    f=ax+b,

    (4)

    圖 2 最小二乘法原理示意圖Fig.2 Least square method principle diagram

    式中:n為測量點數(shù);

    (5)

    (6)

    計算誤差曲線上各點(xi,yi)到如圖 2 直線L2的偏差(有正負)

    εi=yi-fi.

    (7)

    求出εi中的最大值和最小值, 作包容所有點的L2的平行線, 那么兩平行線在y軸上的距離

    p=εmax-εmin

    (8)

    即為直線度誤差值[4].

    1.3 極值搜索法

    計算最小包容區(qū)域主要是尋找到滿足條件的“低-高-低”或“高-低-高”3點.

    圖 3 極值搜索法原理示意圖Fig.3 Extreme search principle diagram

    如圖 3, 以最小二乘擬合直線L為基線, 稱基線上側(cè)為高點區(qū), 下側(cè)為低點區(qū), 分別在兩側(cè)尋找滿足條件的平行包容線組, 計算其間距. 找出所有滿足條件的包容線間距ti(i=1,2,3……n)中的最小值tmin, 作為所求直線度誤差[5].

    如圖 5(c) 對于第一組測量數(shù)據(jù)最小包容區(qū)域計算中, 低點連線為下包容線且滿足間距為最小值時, 下包容線方程為

    0.11x-60y+37.97=0,

    (9)

    這對包容線L1h、L1l間的距離為t1=0.440 mm. 高點連線為上包容線且滿足間距為最小值時, 上包容線方程為

    0.001x-45y+52.28=0.

    (10)

    這對包容線L2h、L2l間的距離為t2=0.521 mm. 則最小區(qū)域法直線度誤差即為tmin=0.440 mm.

    1.4 分割逼近法

    基于分割逼近法提取理想直線的思路是: 擬合最小二乘直線如式(4), 并以此為起始直線進行搜索, 在一定的角度范圍內(nèi)以最小二乘直線斜率的變化量δa為間隔進行分割, 尋找滿足最小區(qū)域的理想基準直線. 如圖 4 所示實線為最小二乘線, 虛線為

    f′=(a±m(xù)·δa)x+b,

    (11)

    圖 4 分割逼近法原理示意圖Fig.4 Segmentation approach principle diagram

    也即初始直線繞Q點逆時針和順時針分別旋轉(zhuǎn)角度, 計算對應于所設(shè)角度范圍內(nèi)所有分割線的直線度誤差值pi, 其中最小值min(pi)就是符合最小包容區(qū)域的直線度誤差值, 對應于min(pi)的直線就是符合最小包容區(qū)域的理想直線[6].

    本例中逆時針和順時針所設(shè)角度范圍θ分別為1.5°, 分割次數(shù)m分別為240, 那么對應的角度增量或減量為0.37′,斜率變化量δa=1×10-4. 根據(jù)上述分割逼近原理, 得到如圖5(d)所示結(jié)果, 由于分割線較密集, 圖中僅展示5條分割線, 其中點劃線即為所得理想直線, 斜率為0.001 822, 實線表示初始直線.

    1.5 遺傳算法

    遺傳算法以生物進化為理論基礎(chǔ), 總體來說是一個不斷迭代更新的過程. 首先提取出問題的解對其進行編碼構(gòu)成“染色體”, 作為種群中的個體. 根據(jù)目標函數(shù)得到適應度函數(shù), 由此算出個體的適應度值, 通過選擇、 交叉、 變異一系列操作使種群完成新一代的進化, 這樣一代一代不斷更新最終求得最優(yōu)解[7-8]. 算法步驟為:

    1) 編碼構(gòu)成初始種群A0(t).

    2) 計算個體適應度

    h(k)=gmax-g(k),

    (12)

    式中:g(k)為目標函數(shù)

    3) 選擇操作, 根據(jù)適應度大小得到n個新個體A1(t).

    4) 交叉操作, 形成A2(t).

    5) 變異操作, 形成新一代A3(t+1).

    6) 檢查進化代數(shù).

    7) 保存適應度最大的個體, 求出對應的目標函數(shù)值即為直線度誤差.

    評定過程中所需參數(shù)設(shè)置為: 種群規(guī)模n=50; 交叉概率pc=0.6; 變異概率pm=0.02; 最大進化代數(shù)t=1 000. 算法運行優(yōu)化迭代過程如圖5(e)所示.

    根據(jù)表 1 偏心距數(shù)據(jù), 采用計算機輔助工具對數(shù)據(jù)進行仿真, 第一次測量數(shù)據(jù)的曲線圖分別如圖5(a)~圖 5(e) 所示.

    圖 5 評定直線度曲線Fig.5 Assess the straightness curve

    2 結(jié)果比較

    對各方法3組結(jié)果求平均值, 最終結(jié)果如表 2 所示.

    仿真結(jié)果表明, 端點連線法和最小二乘法評定結(jié)果最大; 極值搜索、 分割逼近和遺傳算法此3種方法評定出來的誤差較前兩種方法精度均有提高, 遺傳算法評定的直線度誤差比端點連線法提高約4.4%, 比最小二乘法提高約3.4%, 其精確度高, 理論上可以無限逼近真實值. 由此可以看出: 通過最小包容區(qū)域原則評定直線度的誤差是最小的. 此外, 本文采用的數(shù)據(jù)點數(shù)一定程度上限制了評定精度, 實際應用中可通過適當增加采樣點, 或每輪采樣交錯選取采樣點來進一步提高直線度誤差評定精度.

    表 2 各算法計算結(jié)果

    表 3 結(jié)果比較

    4 結(jié) 論

    通過研究深孔軸線直線度誤差評定方法和進行計算機仿真實驗可知: 幾種方法均可對深孔直線度誤差進行評估, 其中, 最小區(qū)域法直線度誤差值小精度高, 計算過程較復雜, 但借助計算機程序容易實現(xiàn), 而端點連線法和最小二乘法精度較低但計算簡單. 實際應用中可根據(jù)產(chǎn)品對象和精度要求選擇合適的評定方法, 或采用多種方法的計算結(jié)果進行綜合評估.

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