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    基于流形分離技術(shù)的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法*

    2018-10-11 12:25:30胡顯智戴旭初
    測試技術(shù)學報 2018年5期
    關鍵詞:流形信號源參數(shù)估計

    胡顯智, 王 寧, 戴旭初

    (1. 中國科學技術(shù)大學 信息科學技術(shù)學院, 安徽 合肥 230027;2. 南京電子技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210039)

    0 引 言

    信號多維參數(shù)估計是陣列信號處理的重要任務之一. 相較于由增益特性完全相同的多個天線組成的標量陣列, 極化敏感陣列(polarization sensitive array)利用內(nèi)部陣元極化選擇特性的多元化獲取信號的極化信息, 被證明可有效提高參數(shù)估計的性能[1,2]. 針對DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計問題, 諸多有效算法被陸續(xù)提出: 文獻[3]提出了pencil-MUSIC算法, 可得到高精度的二維DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計, 但計算量較大; 文獻[4,5]將ESPRIT算法推廣到極化敏感陣列, 得到了低復雜度的參數(shù)估計算法, 但其只適用于特定結(jié)構(gòu)的陣列. 此外, 針對相干信號源的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計, 雖然也出現(xiàn)了一些算法, 如空域平滑方法[6]、 極化域平滑方法[7]等, 但這些方法只對部分具有特殊結(jié)構(gòu)的陣列有效; 實現(xiàn)一般結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下相干信號源的參數(shù)估計仍然是一個難題.

    流形分離技術(shù)(MST)是一種對陣列接收數(shù)據(jù)建模的新方法, 該技術(shù)源于波形域建模(wavefield modeling[8,9])思想, 即將陣列的接收數(shù)據(jù)中與信號相關的部分表示為陣列對入射信號波場的采樣. 基于這一思想, Belloni等人提出了流形分離的概念, 并利用MST將信號導向矢量分解為采樣矩陣和一個范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量的乘積, 進而將root-MUSIC算法推廣到任意結(jié)構(gòu)陣列[10]. 隨后, Costa等人進一步考慮了方位角和俯仰角聯(lián)合估計的情況, 利用MST得到了適用于任意結(jié)構(gòu)陣列的低復雜度二維DOA估計方法[11].

    本文進一步將流形分離技術(shù)拓展到極化敏感陣列中, 研究任意結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計方法. 同時兼顧信號源部分相關和完全相干的情況. 特別是本文算法在未知陣列結(jié)構(gòu)的確切參數(shù), 但是能夠獲得實測的陣列標定數(shù)據(jù)(array calibration measurements[10])時仍然有效, 具有重要的實際應用價值.

    1 信號和陣列模型

    X=Aθ,φ,γ,ηS+N,

    (1)

    式中:S∈CK×L和N∈CM×L分別為信號采樣矩陣和噪聲采樣矩陣. 陣列流形矩陣A=[aθ1,φ1,γ1,η1,…,aθK,φK,γK,ηk]∈CM×K的第k列為第k個來波對應的信號導向矢量, 其形式為[12]

    aθk,φk,γk,ηk=Uθk,φkβΞθk,φkhγk,ηk,

    (2)

    式中: 對角陣U為信號的空域相位矩陣;β被稱為極化敏感陣列的極化敏感矩陣, 每行代表相應陣元對信號波場的響應特性;Ξ(θk,φk)=[εh,εv]由水平方向矢量εh=[-sinθk,cosθk,0]T和垂直方向矢量εp=-[sinφkcosθk,sinφksinθk,cosφk]T構(gòu)成;h=[cosγk,sinγkejηk]T為電磁波的極化矢量, 包含來波的極化信息.

    綜合上述概念, 可進一步將信號導向矢量寫為(為方便表述, 略去了下標k)

    aθ,φ,γ,η=[ah(θ,φ),av(θ,φ)]h(γ,η),

    (3)

    式中:ah(θ,φ)=Uθ,φβεh和av(θ,φ)=Uθ,φβεv被稱為水平分量導向矢量和垂直分量導向矢量, 分別表示極化敏感陣列對來自(θ,φ)方向上的水平極化電磁波和垂直極化電磁波的響應.

    由于信號源個數(shù)的估計方法較多, 也較為成熟, 本文不對信號源個數(shù)的估計問題進行討論. 不失一般性, 假設信號源的個數(shù)K和信號子空間維度Ks(即信號協(xié)方差矩陣RS的秩)已知.

    2 流形分離技術(shù)

    在陣列信號處理中, 若信號導向矢量具有范德蒙德結(jié)構(gòu), 會帶來諸多的便利, 如root-MUSIC, ESPRIT等高效的快速算法在參數(shù)估計問題中的應用; 但這一般要求陣列具有特定的結(jié)構(gòu)(如ULA等). 流形分離技術(shù)可將任意結(jié)構(gòu)陣列的信號導向矢量分解為采樣矩陣和一個范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量的乘積, 其中: 采樣矩陣僅與陣列結(jié)構(gòu)有關, 與信號參數(shù)無關; 范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量僅包含信號DOA參數(shù), 與陣列無關. 這使得在任意結(jié)構(gòu)的陣列下實現(xiàn)參數(shù)估計的快速算法成為可能.

    具體到極化敏感陣列, 式(3)中的水平/垂直分量導向矢量ah(θ,φ)和av(θ,φ)同時包含信號DOA參數(shù)和陣列結(jié)構(gòu)參數(shù); 流形分離技術(shù)實質(zhì)上是尋找一組正交基對信號導向矢量進行正交展開, 從而將導向矢量中與陣列相關的部分和與信號相關的部分相互分離, 即

    ah(θ,φ)=Ghd(θ,φ),av(θ,φ)=Gvd(θ,φ),

    (4)

    式中: 矩陣Gh∈CM×MaMe和Gv∈CM×MaMe即為前面所說的采樣矩陣, 這里分別稱之為水平分量采樣矩陣和垂直分量采樣矩陣, 其完全由陣列結(jié)構(gòu)決定; 正交基采用二維傅里葉基矢量d(θ,φ)∈CMaMe×1, 即有

    d(θ,φ)=d(θ)?d(φ),

    (5)

    式中: ?為克羅內(nèi)積. 正整數(shù)Ma和Me是所截取的模式數(shù): 事實上式(4)中信號導向矢量的正交展開具有無窮多諧波分量(即式(5)中ma→∞,me→∞), 但可證明當ma和me足夠大時, 后續(xù)諧波分量基本可以忽略不計[13], 從而可截取有限的模式數(shù)對信號導向矢量進行建模且保持足夠的精度, 便于工程應用(實際應用時, 可根據(jù)陣列的有效孔徑選取合適的Ma和Me).

    結(jié)合式(3)和式(4), 得到基于MST的任意結(jié)構(gòu)極化敏感陣列的信號導向矢量模型為

    aθ,φ,γ,η=[Ghd(θ,φ),Gvd(θ,φ)]h(γ,η)=G(I2?d(θ,φ))h(γ,η),

    (6)

    式中: 采樣矩陣G=[Gh,Gv]∈CM×2MaMe;I2為2×2的單位陣;h(γ,η)為前文提到的信號極化矢量.

    現(xiàn)在的問題是采樣矩陣Gh和Gv如何求解. 文獻[10]利用一種被稱為有效孔徑分布函數(shù)(Effective Aperture Distribution Function)的方法來確定采樣矩陣. 具體而言, 分別在θ∈[-π,π]和φ∈[-π,π]內(nèi)均勻選取Qa(Qa>Ma)和Qe(Qe>Me)個標定點, 得到對應的陣列標定數(shù)據(jù)

    CM×QaMe,

    (7)

    3 DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計

    利用2小節(jié)討論的MST, 可將式(1)中極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)采樣矩陣X重新表示為

    X=G(I2?D(θ,φ))V(γ,η)S+N,

    (8)

    式中: 矩陣D(θ,φ)=[d(θ1,φ1),…,d(θK,φK)]∈CMaMe×K包含來波信號的DOA參數(shù); 矩陣V(γ,η)=[Vh(γ),Vv(γ,η]T包含信號的極化參數(shù), 有

    Vh(γ)=diag{cos(γ1),…,cos(γK)}∈RK×K,

    Vv(γ,η)=diag{sin(γ1)ejη1,…,sin(γK)ejηK}∈CK×K.

    (9)

    基于式(8)所示的陣列接收數(shù)據(jù)模型, 下面討論兩種適用于任意結(jié)構(gòu)極化敏感陣列的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法.

    3.1 基于MST的極化FFT-MUSIC算法

    在零均值圓空-時-極化白噪聲的假設下, 陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

    (10)

    式中:Es為信號子空間, 由RX的Ks個主特征矢量組成;En為噪聲子空間, 由剩余M-Ks個次特征矢量組成, 與Es相互正交. 當滿足Ks=K時(即信號源非相干), 可通過搜索式(11)的極小值點獲得來波信號參數(shù)

    f(θ,φ,γ,η)=hH(γ,η)M(θ,φ)h(γ,η),

    (11)

    式中: 矩陣M(θ,φ)∈C2×2的形式為

    (12)

    直接對式(11)進行搜索, 需要對信號的角度和極化參數(shù)進行4-D聯(lián)合搜索, 計算量很大. 為減小計算量, 利用相關矩陣理論, 可將其分兩步進行:

    (13)

    式中:Gmin{·}表示矩陣的最小特征值;Gmin{·}表示矩陣最小特征值對應的特征矢量. 由此, 整個4-D搜索過程被分解成一個2-D角度參數(shù)搜索過程和一個求解矩陣最小特征值及特征矢量的問題.

    以上即為傳統(tǒng)的極化MUSIC算法[12]的基本思路, 其中第二步的矩陣M(θ,φ)的最小特征值求解具有簡單的閉式表達, 計算量主要集中在第一步中對角度參數(shù)的二維搜索中, 其搜索間隔必須取得足夠小以滿足精度要求, 而相應需要搜索的點就會很多, 由此帶來計算量的負擔.

    利用式(8)所示的陣列輸出數(shù)據(jù)模型, 可得到基于MST的參數(shù)估計快速方法: 極化FFT- MUSIC算法. 具體而言, 結(jié)合式(6)和式(12), 可將矩陣M(θ,φ)重新表示為

    (14)

    進一步有

    (15)

    式中:d(θ)C(2Ma-1)和d(φ)∈C(2Me-1)為一維傅里葉基矢量(見式(5)); 系數(shù)矩陣Chh,Chv,Cvh和Cvv的形式為

    (16)

    式中:a?h,b?v; 而∑diag{Π,k}表示矩陣Π第k條(塊)對角線上(塊)對角元之和, 矩陣左下角元計為k=1.

    觀察式(15), 2×2矩陣M(θ,φ)的每一項實質(zhì)都是一個標準的2-D DFT形式, 從而可利用2-D FFT算法快速計算得到

    (17)

    3.2 基于MST的極化MVP-SSF算法

    對于信號源完全相干的情況, 即Ks

    考慮式(8)~式(10)的陣列模型, 但允許Ks≤K, 此時可利用信號子空間擬合技術(shù)得到來波信號的參數(shù)估計[14]

    (18)

    目標問題是一個非線性最小二乘問題, 文獻[14]采用一種被稱為MVP(Modified Variable Projection)的算法對其進行求解. MVP算法實質(zhì)是對高斯-牛頓法的一種改進, 其通過迭代完成求解

    ξi=ξi-1-μH-1V′,

    (19)

    式中:ξi是第i次迭代的結(jié)果; 梯度向量V=f(ξ)∈C4K×1, 矩陣H∈C4K×4K是Hessian矩陣2f(ξ)的近似;μ為搜索步長, 保證算法的收斂性. 關于V′和H的具體表達式, 文獻[14]中做了詳盡的推導, 將其略作擴展即可得到極化敏感陣列下的形式. 然而, 上述求解需要知道陣列流形的顯式表達, 在實際中有時可能無法獲得陣列結(jié)構(gòu)的確切參數(shù)而只能得到實測的陣列標定數(shù)據(jù), 此時無法直接使用MVP算法. 此外, 即便可獲得陣列的所有參數(shù), 當陣列結(jié)構(gòu)較為復雜時, 計算陣列流形的導數(shù)也較為繁瑣.

    利用式(8)所示基于MST的極化敏感陣列模型, 可以得到V′和H的簡單閉式表達, 且其在僅知道實測的陣列標定數(shù)據(jù)時仍然有效, 這就是極化MVP-SSF算法的基本思想. 具體而言, 利用式(8)的數(shù)據(jù)模型, 結(jié)合文獻[14]的討論, 得到V′和H閉式表達為

    (20)

    式中: 矩陣Z=[IK,IK,IK,IK]∈RK×4K, ·表示Hardmard積;JA(ξ)∈CM×4K為陣列流形矩陣A(ξ)對ξ的求導, 利用MST有閉式表達

    (21)

    (22)

    設模式數(shù)Ma=Me=M. 極化MVP-SSF算法單次迭代的計算復雜度約為O(M2MK), 主要體現(xiàn)在JA(ξ)的計算上(GΨ可提前計算好, 不需要參與迭代).

    作為一個迭代算法, 極化MVP-SSF算法需要對信號參數(shù)進行初步估計作為迭代的初始值. 信號非相干(即Ks=K)時, 極化FFT-MUSIC算法是一個理想的選擇, 其估計快速且結(jié)果可靠. 對于信號完全相干(即Ks

    4 實驗及結(jié)果分析

    圖 1 8陣元極化敏感陣均勻圓陣Fig.1 Eight-element polarimetric uniform circular array

    實驗1

    考慮如圖 1 所示的極化敏感陣列, 它由8個指向不盡相同且均勻分布在圓上的短偶極子天線組成(各陣元皆指向圓心, 其輸出電信號正比于與之平行的電場分量), 半徑為λ. 兩個等功率的非相關信號分別自(θ1=20°,φ1=40°)和(θ2=30°,φ2=50°)的方向入射至陣列; 極化參數(shù)分別為(γ1=60°,η1=30°)和(γ2=20°,η2=70°). 快拍數(shù)L=200, 噪聲為加性高斯白噪聲. 獨立實驗500次, 分別采用傳統(tǒng)的極化MUSIC算法和本文的極化FFT-MUSIC算法(Ma=Me=21)進行信號參數(shù)估計. 在信噪比SNR=10 dB下, 兩算法其中一次典型實現(xiàn)的運行時間及參數(shù)估計結(jié)果的比較如表 1 所示(搜索間隔為0.25°).

    表 1 極化FFT-MUSIC算法與傳統(tǒng)MUSIC方法運行時間的比較

    圖 2 則反映了在不同信噪比下, 兩個算法的參數(shù)估計根均方誤差的變化情況.

    圖 2 參數(shù)估計隨信噪比變化的根均方誤差Fig.2 RMSE as a function of the SNR

    由圖 2 可知, 在整個信噪比變化范圍內(nèi)(0~30 dB), 極化FFT-MUSIC算法的統(tǒng)計性能與傳統(tǒng)的極化MUSIC算法相比, 幾無差別. 這說明即便信噪比達到30 dB, 由于截取有限個(Ma=Me=21)模式所造成的誤差與噪聲相比仍然足夠小, 可以忽略不計. 而根據(jù)表1可知, 在同一臺機器下, 極化FFT-MUSIC算法進行參數(shù)估計所需要的時間遠遠小于傳統(tǒng)MUSIC算法. 綜上所述, 極化FFT-MUSIC算法在不損失原極化MUSIC算法估計精度的同時, 有效降低了計算復雜度, 具有更強的實時性.

    圖 3 參數(shù)估計隨信號源相關系數(shù)變化的根均方誤差Fig.3 RMSE as a function of correlation coefficient between the two sources

    實驗2

    考慮半徑為2λ的極化敏感均勻圓陣, 陣元數(shù)為20個, 每個陣元仍指向圓心. 信號的DOA和極化參數(shù)同實驗1. 快拍數(shù)L=200, 信噪比SNR=10 dB. 獨立實驗1 000次, 圖 3 反映了在不同的信號源相關系數(shù)下, 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法的參數(shù)估計根均方誤差的變化情況. 實驗中, 兩個算法所截取的模式數(shù)皆取Ma=Me=41.

    由圖 3 可知, 在信號源相關度較低時, 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法的精度基本相當; 而當相關系數(shù)大于0.6后, 極化MVP-SSF算法的參數(shù)估計性能要明顯優(yōu)于極化FFT-MUSIC算法. 特別是當信號源完全相干時(相干系數(shù)為1), 極化FFT-MUSIC算法已然失效, 而極化MVP-SSF算法仍然具有良好的性能. 由此可見, 極化MVP-SSF算法可以很好地解決強相關源乃至相干信號源的參數(shù)估計問題.

    5 結(jié) 論

    本文將流形分離技術(shù)(MST)拓展到極化敏感陣列信號處理中, 研究了兩種DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計方法: 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法, 它們皆適用于任意結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列. 實驗結(jié)果表明: 極化FFT-MUSIC算法具有與傳統(tǒng)極化MUSIC算法基本相同的性能, 而計算復雜度有效降低; 極化MVP-SSF算法則可以實現(xiàn)一般結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下強相關源乃至相干信號源的參數(shù)估計.

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