關于Lagrange插值公式教學的體會

陳 浩 王小麗

（1.重慶師范大學 數(shù)學科學學院 重慶 401331；2.重慶師范大學 地理與旅游學院 重慶 401331）

在數(shù)值分析的教學中，Lagrange插值類問題是一個難點. 數(shù)值分析教材廣泛認為，Lagrange插值公式形式優(yōu)美但其數(shù)值實現(xiàn)有一定的不足. 筆者認為，通過引入Lagrange插值公式的一種質(zhì)心表示形式，可以克服其數(shù)值實現(xiàn)的困難. 同時，這不僅給學生們提供了解決插值問題的一類新思路，提高了學習效率，也提高了學生的認識，是值得嘗試的.

設(xj,yj),j=0 ,…n為n+1個橫坐標互不相同的插值節(jié)點. 令Pn為所有不超過n，次的多項式的集合. 則經(jīng)典的插值問題為：求一多項式p∈Pn使其通過所有的插值節(jié)點，即：p(xj) =yj,j= 0 ,…n.該問題的解是存在唯一的且其解的Lagrange形式為[1]：

Lagrange插值公式的優(yōu)點在于其形式優(yōu)美且利于理論分析，其不足之處主要在其數(shù)值實現(xiàn)方面[2]，如：

1.計算p(x)需要Ο(n2)次加法和乘法運算；

2.增加一個新節(jié)點（xn+1,yn+1)需要重新計算；

3.數(shù)值不穩(wěn)定性.

在數(shù)值實現(xiàn)方面，數(shù)值分析教材一般建議利用Newton插值公式與秦九韶算法結合[1]來實現(xiàn)，其計算p(x)僅需要Ο(n)次加法和乘法運算且增加新節(jié)點（xn+1,yn+1)不需要重復計算.

為得到Lagrange插值公式的等價形式，我們先將Lagrange插值基函數(shù)改寫.令l(x)=(x-x0)(x-x1) (x-x),并定義質(zhì)心權系數(shù)

則有ωj=1/l'(xj)，因此Lagrange插值基函數(shù)lj可寫為

從而，Lagrange插值多項式可改寫為

式（2）即為Lagrange插值公式的等價變形之一，為使其更加對稱優(yōu)美，我們進一步將其改寫. 由Lagrange插值余項定理[1]可知對常函數(shù)1插值所得插值多項式即為其本身，即

求出l(x)代入Lagrange插值多項式（2）式可得質(zhì)心公式

此質(zhì)心公式為Lagrange插值公式的等價形式，但其具有特殊且優(yōu)美的對稱性. 其計算p(x)需要Ο(n2)次加法和乘法運算且為了增加一個新節(jié)點（xn+1,yn+1)而更新權系數(shù)ωj僅需要Ο(n)次運算，同時其具備優(yōu)良的穩(wěn)定性[2].

Lagrange質(zhì)心公式（3）相比Newton插值公式的好處之一是其避免了差商表的計算. 此外，Lagrange質(zhì)心公式不依賴插值節(jié)點的排列順序，而Newton插值公式中差商表的計算非常依賴插值節(jié)點的排序，尤其當n很大時很多排序會導致數(shù)值不穩(wěn)定性.