數(shù)形結(jié)合法在解題中的有效使用

高慧明

數(shù)形結(jié)合法在每年的高考數(shù)學(xué)試題中都有所體現(xiàn)，它常用來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等.對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效.從近幾年的高考題來看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.今后的高考中，仍然會(huì)沿用以往的命題思路，借助各種函數(shù)的圖像和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結(jié)合的思想和方法，在考題形式上，不但有小題，還會(huì)有解答題，在考查的數(shù)量上，會(huì)有多個(gè)小題考查數(shù)形結(jié)合的方法.復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合的思想和方法解題的意識(shí)，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來精確確定圖形間的位置關(guān)系.

【數(shù)形結(jié)合法概述】

1. 數(shù)形結(jié)合：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

2. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則.在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng).

（2）雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò).

（3）簡(jiǎn)單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖像時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線.

3. 數(shù)形結(jié)合在高考試題中主要有以下六個(gè)?？键c(diǎn)：

（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；

（2）函數(shù)及其圖像；

（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；

（5）對(duì)于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

（6）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖像求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用.

4. 數(shù)形結(jié)合的思想和方法是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；

（2）用圖像法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖求解；

（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證.

一、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像求參數(shù)的取值范圍

總的來說“數(shù)形結(jié)合法”是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法，它可以將抽象數(shù)學(xué)問題具體化、準(zhǔn)確化、形象化.用好數(shù)形結(jié)合可以使我們更深入準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)問題.

1. 在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖像、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的.

2. 有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對(duì)圖形進(jìn)行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的.

3. 利用數(shù)形結(jié)合解題，有時(shí)只需把圖像大致形狀畫出即可，不需要畫出精確圖像.

4. 數(shù)形結(jié)合法是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)更方便，可以提高解題速度.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)