就題變題

林顏

【摘 要】探析利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，對(duì)解決壓軸題具有積極的作用，利用變式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探索欲，由此促進(jìn)學(xué)生發(fā)揮其主體意識(shí)，能夠提升其分析、歸納、總結(jié)能力。本文通過(guò)就題變題，就地取材，探索高三一輪復(fù)習(xí)中變化教學(xué)的實(shí)踐路程，為高考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】就題變題；單調(diào)性；根的存在與分布

高考恢復(fù)全國(guó)卷以來(lái)，如何圍繞全國(guó)卷組織應(yīng)對(duì)策略，提升教學(xué)質(zhì)量，一直是近幾年探討的熱點(diǎn)。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題作為壓軸題，每年必考，題型難度較大，設(shè)問(wèn)靈活，大多數(shù)考生做到此題，時(shí)間緊，在短時(shí)間內(nèi)要想把該題做好，需要在平時(shí)形成更加系統(tǒng)的方法，提升更加靈活的思維，加強(qiáng)分析能力，方能夠應(yīng)對(duì)。觀察2016年到2018年三年文科高考，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題圍繞零點(diǎn)問(wèn)題和不等式問(wèn)題考查，無(wú)論怎么考，討論單調(diào)性永遠(yuǎn)是考查的重點(diǎn)，而且僅僅圍繞分類整合思想的考查。但是如何有序的分類，又成為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

變式訓(xùn)練作為教學(xué)中的一種常用手段，常常用于培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性和靈活性，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題的教學(xué)中，引進(jìn)變式教學(xué)，對(duì)于概念的辨析，明確本質(zhì)問(wèn)題，提煉一般方法具有極大的促進(jìn)作用。本文中，筆者總結(jié)近幾年文科高考經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)一輪復(fù)習(xí)中一道例題的教學(xué)，就題變題，適當(dāng)改變參數(shù)系數(shù)等，按層次遞進(jìn)，實(shí)踐和探析導(dǎo)數(shù)教學(xué)中單調(diào)性的討論方法，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

1.例題引入，呈現(xiàn)問(wèn)題

例題：已知函數(shù)f（x）=inx-ax（a∈R）。（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值。

本文僅分析第一小問(wèn)：

解：（1）f'（x）= -a= （x>0）

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）= -a>0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f'（x）= =0可得x= ，當(dāng)00；當(dāng)x> 時(shí)，f'（x）= <0

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ]，單調(diào)減區(qū)間為[ ，+∞）。

（2）略

對(duì)于上面第一小問(wèn)的解答，如何想到參數(shù)a分成a≤0和a>0討論呢？討論的原理在哪里呢？題型變化后又該怎么分類呢？對(duì)于上述疑問(wèn)，筆者在教學(xué)中將該例題進(jìn)行變式，通過(guò)改變參數(shù)等，從最基礎(chǔ)的問(wèn)題開(kāi)始引入，由易到難逐步突破。

2.引入基礎(chǔ)，明確本質(zhì)

變1：已知函數(shù)f（x）=inx-x，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

分析：本題變化中令參數(shù)a=1，這樣不涉及參數(shù)，明確討論單調(diào)性的原理：求導(dǎo)f'（x）= （x>0），通過(guò)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)判斷單調(diào)性，觀察可知，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)實(shí)際是由分子y=1-x決定的，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)y=1-x零點(diǎn)左右符號(hào)不同，從而以零點(diǎn)作為分段點(diǎn)，將定義域分成若干個(gè)單調(diào)區(qū)間。

解：f'（x）= -1= （x>0），令f'（x）>0得01。

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）。

通過(guò)變1，對(duì)比例題不難發(fā)現(xiàn)，例題中參數(shù)a分成a≤0和a>0的討論，令f'（x）=0，最終由求導(dǎo)過(guò)程中方程1-ax=0根的存在與分布問(wèn)題引發(fā)的，若a=0，方程無(wú)解，f'（x）>0，若a<0，方程的根x= 不在定義域內(nèi)，若a>0，方程的根x= 在定義域內(nèi)，從而可以讓學(xué)生明白討論的原理，明確更深層次的本次問(wèn)題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探索欲。

3.領(lǐng)悟歸納，延伸概括

變2：已知函數(shù)f（x）=inx-ax （a∈R），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

分析：求導(dǎo)后f'（x）= （x>0）可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)由1-ax 決定，由此可以發(fā)現(xiàn)，本題的討論可以從方程1-ax =0在（0，+∞）上的根的存在與分布展開(kāi)。

解：f'（x）= >0

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）= >0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f'（x）= =0可得x= 或x=- （舍），當(dāng)00；當(dāng)x> 時(shí)，f'（x）= <0

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ]，單調(diào)減區(qū)間為[ ，+∞）。

變3：已知函數(shù)f（x）=1nx-ax +（2-a）x（a∈R），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

分析：求導(dǎo)后f'（x）=- （x>0）可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)由2ax -（2-a）x-1=（2x+1）（ax-1）決定，由此可以發(fā)現(xiàn)，本題的討論可以從方程（2x+1）（ax-1）=0在（0，+∞）上的根的存在與分布展開(kāi)，即其中一根x=- 不在定義域內(nèi)，另一根x= 是否存在，若存在，是否在定義域內(nèi)，由此可以分成a≤0和a>0討論。

解：（1）f'（x）=- =- （x>0），

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）>0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f'（x）=0可得x= ，當(dāng)00；當(dāng)x> 時(shí)，f'（x）<0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ]，單調(diào)減區(qū)間為[ ，+∞）。

從上面兩個(gè)變式中，僅適當(dāng)改變了部分參數(shù)和形式，設(shè)計(jì)意圖是以變1為基礎(chǔ)，明確討論的原理，提出問(wèn)題，總結(jié)方法：?jiǎn)握{(diào)性的討論，可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)中影響符號(hào)的式子對(duì)應(yīng)的方程的根的分布問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為更基礎(chǔ)的問(wèn)題，即根的存在與分布問(wèn)題。我們可以把該方法歸結(jié)為：①方程f'（x）=0是否有根；②若f'（x）=0有根，求出根后是否在定義域內(nèi)；③若根在定義域內(nèi)且有兩個(gè)，比較兩根的大小。

4.提煉方法，對(duì)接高考

通過(guò)3次變式，總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容，聯(lián)系近幾年全國(guó)1卷文科導(dǎo)數(shù)壓軸題，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，不難發(fā)現(xiàn)，上述總結(jié)的方法可以幫助我們輕松解決壓軸題的討論問(wèn)題：

（2016年文科全國(guó)Ⅰ卷22第一問(wèn)）已知函數(shù)f（x）=（x-2）e +a（x-1） .討論f（x）的單調(diào)性。求導(dǎo)得f'（x）=（x-1）（e +2a）（x∈R），由此可知導(dǎo)數(shù)符號(hào)由類似一元二次型結(jié)構(gòu)（x-1）（e +2a）決定，令f'（x）=0，當(dāng)a≥0時(shí)，方程e +2a=0無(wú)解，當(dāng)a<0時(shí)，方程e +2a=0有一根x=1n（-2a），此時(shí)又需與另一根x=1比較大小，故最后可以分a≥0，-

（2017年文科全國(guó)卷Ⅰ22第一問(wèn)）已知函數(shù)f（x）=e （e -a）-a x討論f（x）的單調(diào)性.求導(dǎo)得f'（x）=（2e +a）（e -a），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次型問(wèn)題，令f'（x）=0，考慮e >0，2e +a=0與e -a=0解的情況恰好相反，故可以分a>0、a<0、a=0討論。

上述兩題中具體解答可參考這兩年全國(guó)卷解答，這里不再贅述。

5.反思教學(xué)，提升素養(yǎng)

在一輪復(fù)習(xí)中，換位思考，從學(xué)生的角度出發(fā)，通過(guò)一類問(wèn)題的質(zhì)疑，反復(fù)琢磨知識(shí)的形成，在課堂引導(dǎo)學(xué)生思考，可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維對(duì)解題的引領(lǐng)，做到舉一反三，不斷創(chuàng)新，共同進(jìn)步。

數(shù)學(xué)的魅力在于變化與突破，教師對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)不應(yīng)局限于課本，而是通過(guò)日常不斷的積累與思考，從學(xué)生的個(gè)人發(fā)展規(guī)律與知識(shí)水平入手，不斷調(diào)整和改變教學(xué)方式，就地取材，就題變題，隨時(shí)創(chuàng)造有利于教學(xué)的環(huán)境，使得教學(xué)源于課本又高于課本。對(duì)變式教學(xué)的辯證思考，有利于學(xué)生分析能力的形成，有利于促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在教學(xué)中值得學(xué)習(xí)和推廣。

【參考文獻(xiàn)】

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