基于MATLAB軟件的線性代數(shù)課程教學(xué)探索

韋慧　趙前進(jìn)　耿顯亞

摘要：隨著信息技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)的課程應(yīng)用地位逐漸上升，結(jié)合MATLAB軟件進(jìn)行課程教學(xué)，可以有效提高教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提升學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：MATLAB；線性代數(shù)；教學(xué)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）28-0186-02

線性代數(shù)是高等院校工、管、理科各專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)必修課程，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，將這門(mén)課程與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的要求也越來(lái)越高，但長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，線性代數(shù)課程的重要作業(yè)并沒(méi)有得到充分的體現(xiàn)，大部分高校開(kāi)設(shè)該課程的學(xué)時(shí)數(shù)為32學(xué)時(shí)或48學(xué)時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)手段容易脫離實(shí)際應(yīng)用，導(dǎo)致課程的教學(xué)效率低，教學(xué)效果差。線性代數(shù)課程的主要特點(diǎn)是教材中的定義較多，定理證明抽象，忽略了實(shí)用工具的運(yùn)用，學(xué)生不易理解。在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，涉及的數(shù)據(jù)多，教師在黑板上進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的計(jì)算和推導(dǎo)時(shí)，有一部分學(xué)生覺(jué)得枯燥無(wú)聊，容易走神，從而降低了教學(xué)效果。

MATLAB軟件是由美國(guó)MathWorks公司開(kāi)發(fā)的，將計(jì)算、可視化和編程功能集成在非常便于使用的環(huán)境中，是一個(gè)交互式的以矩陣計(jì)算為基礎(chǔ)的科學(xué)和工程計(jì)算軟件[2，3]。線性代數(shù)中大多數(shù)運(yùn)算都可以利用軟件進(jìn)行簡(jiǎn)單的編程實(shí)現(xiàn)，例如求行列式、矩陣的逆、線性方程組的解等。將MATLAB軟件引入課堂教學(xué)，處理關(guān)于矩陣的一系列問(wèn)題，可以吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本門(mén)課程的熱情，提高教學(xué)效果。此外，有助于學(xué)生在后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)和工作中靈活使用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題。

本文分析了線性代數(shù)傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程的不足，結(jié)合MATLAB強(qiáng)大的矩陣數(shù)值計(jì)算功能[4]闡述了在線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中引入MATLAB軟件的必要性。此外，本文通過(guò)幾個(gè)課堂教學(xué)實(shí)例，介紹了MATLAB在解決線性代數(shù)中矩陣的行列式、逆、特征值和特征向量以及在求解線性方程組中的應(yīng)用。

一、線性代數(shù)課程引入MATLAB軟件教學(xué)的必要性

傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生很難利用理論知識(shí)求解高階、復(fù)數(shù)矩陣等問(wèn)題，而多數(shù)工科類(lèi)和經(jīng)管類(lèi)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題往往涉及這些，造成學(xué)的用不了，用到的沒(méi)學(xué)會(huì)。由于信息技術(shù)的發(fā)展，大部分理工科學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中并不關(guān)心計(jì)算的過(guò)程是怎么樣的，而只是關(guān)心計(jì)算的結(jié)果，這樣數(shù)學(xué)軟件就顯示了無(wú)可取代的優(yōu)越性。傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)課程計(jì)算過(guò)程繁雜，使得學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)費(fèi)力，而往往計(jì)算過(guò)程又只是簡(jiǎn)單的加減法運(yùn)算，學(xué)習(xí)興趣自然不高，學(xué)習(xí)效果不佳。MATLAB軟件簡(jiǎn)單易學(xué)，具有數(shù)值運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、計(jì)算結(jié)果和編程可視化、數(shù)學(xué)和文字同時(shí)處理等功能[5]。求解矩陣相關(guān)問(wèn)題十分便捷，利用其數(shù)值計(jì)算功能可有效解決學(xué)生的計(jì)算難題，并且其圖形處理功能可以吸引學(xué)生，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。

二、MATLAB求解線性代數(shù)課程中的典型問(wèn)題

下面就幾個(gè)方面的典型例題來(lái)展示MATLAB軟件在解決線性代數(shù)課程相關(guān)問(wèn)題中的便利性。

例1：求矩陣A的行列式：A=

這是一個(gè)4階行列式，如果通過(guò)初等變換化為上三角形矩陣或者下三角形矩陣等特殊矩陣求解，顯然計(jì)算量比較大，過(guò)程也比較煩瑣，計(jì)算過(guò)程比較容易出錯(cuò)。而利用MATLAB軟件只需在Command Window輸入如下內(nèi)容：

>>A=[1 2 3 4；8 9 0 3 ；5 7 -1 6 ；0 -3 4 -7]；

>>det（A）

運(yùn)行結(jié)果即為：

ans =

60.0000

例2：求上述矩陣的逆。

只需在Command Window輸入如下內(nèi)容：

>>inv（A）

即可得到矩陣的逆為：

ans =

-1.3000 -2.6500 4.7000 2.1500

1.2667 2.8000 -4.7333 -2.1333

0.3667 0.3500 -0.6333 -0.1833

-0.3333 -1.0000 1.6667 0.6667

例3：求上述矩陣的特征值和特征向量。

只需輸入：

>>[V D]=eig（A）

返回計(jì)算值：

V=

-0.2894 -0.1893 -0.7337 0.6530

-0.7921 -0.0589 0.5997 -0.7056

-0.5373 -0.4736 0.3022 -0.0195

0.0120 0.8581 -0.1037 0.2744

D =

11.8775 0 0 0

0 -9.0020 0 0

0 0 -1.3054 0

0 0 0 0.4299

其中V、D分別表示矩陣的特征向量矩陣以及相應(yīng)的特征值矩陣，矩陣D每一個(gè)主對(duì)角元素為A的一個(gè)特征值，矩陣V的相應(yīng)列的向量表示對(duì)應(yīng)于該特征值的特征向量。

例4：求解線性方程組： =

只需輸入：

>>b=[4 8 7 10]；

>>x=inv（A）*b

即可求得方程組的解為：

x =

28.0000

-27.0000

-2.0000

9.0000

即方程組的解為 = 。

通過(guò)上面4個(gè)實(shí)例，我們可以看出，MATLAB在求解線性代數(shù)典型問(wèn)題中具備的優(yōu)勢(shì)，可以大大減少煩瑣的計(jì)算過(guò)程，既能夠提高學(xué)生的動(dòng)手能力，又能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果。此外，還可以利用MATLAB軟件求解矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的跡以及正交矩陣等問(wèn)題。

三、小結(jié)

在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，可以根據(jù)課程教學(xué)的相關(guān)專(zhuān)業(yè)，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景提出簡(jiǎn)單的問(wèn)題，讓學(xué)生充分利用線性代數(shù)知識(shí)結(jié)合MATLAB軟件求解。例如，經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)可設(shè)計(jì)相關(guān)經(jīng)濟(jì)利益利潤(rùn)優(yōu)化問(wèn)題，機(jī)械工程類(lèi)專(zhuān)業(yè)可設(shè)計(jì)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題等讓學(xué)生自己動(dòng)手解決問(wèn)題，可作為課程引入，也可作為學(xué)生課后練習(xí)。充分利用MATLAB軟件，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，調(diào)和線性代數(shù)課程的枯燥泛味，從根本上解決學(xué)生學(xué)而不知用的困惑。

軟件的應(yīng)用主要是為了豐富課堂教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)以致用。過(guò)多的強(qiáng)調(diào)軟件的應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，所以如何把握軟件應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論的結(jié)合是值得深入探討的問(wèn)題。這里需要注意的問(wèn)題是不能一味強(qiáng)調(diào)利用軟件，但是隨著時(shí)代的發(fā)展需求，也不能一味排斥軟件的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜玉霞，梁武，段鵬舉.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，（11）.

[2]周建興，豈興明，矯津毅，等.MATLAB從入門(mén)到精通[M].北京：人民郵電出版社，2008.

[3]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].第2版.北京：高等教育出版社，2003.

[4]徐小湛.數(shù)學(xué)軟件在國(guó)外工科數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，1999，2（4）：7-11.

[5][美]夏普若（Chapra，S.C.）.工程與科學(xué)數(shù)值方法的MatLab實(shí)現(xiàn)[M].第2版.唐玲艷，田尊，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2009.