橢圓性質(zhì)的再探討

徐未君

【摘要】本文通過對(duì)橢圓的定義、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)三角形、旁切圓的進(jìn)一步研究，得出了橢圓的四個(gè)性質(zhì)，并給出了證明.

【關(guān)鍵詞】橢圓；焦點(diǎn)三角形；準(zhǔn)線

我們知道橢圓的定義為P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>2c}，通過對(duì)橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)三角形、旁切圓的進(jìn)一步研究，可得出如下性質(zhì)：

性質(zhì)1F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，則∠PF1F2所含的△PF1F2的旁切圓必切于橢圓的右頂點(diǎn)A2，∠PF2F1所含的△PF1F2的旁切圓必切于橢圓的左頂點(diǎn)A1.

圖1

證明如圖1所示，設(shè)橢圓為x2a2+y2b2=1（a>b>0），A2′，B為旁切圓I與邊F1F2，F(xiàn)1P的延長(zhǎng)線相切的點(diǎn)，由旁心圓的性質(zhì)和橢圓的定義，得|F1B|+|F1A2′|=|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2（a+c），|F1B|=|F1A2′|=a+c.故點(diǎn)A2′與點(diǎn)A2重合，旁切圓相切于橢圓的右頂點(diǎn)，同理可證旁切圓相切于橢圓的左頂點(diǎn)的情況.

性質(zhì)2設(shè)A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，l為對(duì)應(yīng)F2的準(zhǔn)線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點(diǎn)，設(shè)A1P，A2P分別與l相交于M，N.則MF2⊥NF2.

圖2

證明如圖2所示，在橢圓中，A1（-a，0），A2（A，0），F(xiàn)2（c，0），準(zhǔn)線為l：x=a2c，設(shè)點(diǎn)

P（acosθ，bsinθ），則直線方程分別為yA1P=bsinθ（x+a）a（cosθ+1），yA2P=bsinθ（x-a）a（cosθ-1）.所以，Ma2c，（a+c）bsinθc（cosθ+1），Na2c，（a-c）bsinθc（cosθ-1），此時(shí)兩直線的斜率kMF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1），

kNF2=（a-c）bsinθb（cosθ-1），所以kMF2·kNF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1）·（a-c）bsinθb（cosθ-1）=-1，即MF2⊥NF2.

性質(zhì)3設(shè)A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，l為對(duì)應(yīng)F2的準(zhǔn)線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點(diǎn)，設(shè)A1P，A2P分別與l相交于M，N，則以MN為直徑的圓與PF2相切于F2.

證明如圖2所示，以MN為直徑作圓，圓心為E得出點(diǎn)Ea2c，b（c-acosθ）csinθ，設(shè)點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），F(xiàn)2（c，0），此時(shí)兩直線的斜率kEF2=c-acosθbsinθ，kPF2=bsinθacosθ-c，所以kEF2·kPF2=c-acosθbsinθ·bsinθacosθ-c=-1，即EF2⊥PF2，以MN為直徑的圓與PF2相切于F2.

性質(zhì)4設(shè)A1，A2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，l為對(duì)應(yīng)F2的準(zhǔn)線，P是橢圓上（除A1，A2外）任一點(diǎn)，設(shè)A1P，A2P分別與l相交于M，N.則F2M平分∠PF2A2.

證明如圖2所示，由性質(zhì)2的結(jié)果，得知在Rt△MF2N中，∠MNF2+∠NMF2=90°，因?yàn)镸N⊥x軸，所以∠MF2A2+∠NMF2=90°，由性質(zhì)3的結(jié)果，根據(jù)圓的弦切角的性質(zhì)，得出∠MF2P=∠MNF2，所以∠MF2P=∠MF2A2，即F2M平分∠PF2A2.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙愛祥.橢圓性質(zhì)及應(yīng)用[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（4）：73-74.

[2]高娟.橢圓的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（10）：3-5.

[3]張乃貴.橢圓一個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2016（17）：25-26.