過圓錐曲線準(zhǔn)線上一點(diǎn)的切割線性質(zhì)

江西省贛州市第一中學(xué) (341000)

寧榮富

筆者在研究過圓錐曲線準(zhǔn)線上一點(diǎn)的切割線時(shí),發(fā)現(xiàn)它們具有一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì),現(xiàn)將結(jié)論展示如下.

圖1

連結(jié)PF交橢圓C于點(diǎn)D、E,過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線AA′、BB′,垂足為A′、B′.

由②、③、④得sin∠PFA=sin∠PFB,而∠PFA<∠PFB,故∠PFA=π-∠PFB,也即∠PFA=∠EFB,∴∠T1FA=∠T1FB,命題1成立.

類比上述方法可證明雙曲線的情形,即有下列命題成立.

圖2

命題3 已知P是拋物線C:y2=2px(p>0)準(zhǔn)線l上一點(diǎn),拋物線焦的點(diǎn)為F,過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線和一條割線,切點(diǎn)為T1、T2,交點(diǎn)分別為A、B.則有(1)PF⊥T1T2;(2)T1T2平分∠AFB.

圖3

由⑤、⑥、⑦及∠PFA<∠PFB,得∠PFA=π-∠PFB,∴∠PFA=∠EFB,即∠T1FA=∠T1FB,命題3成立.