與學(xué)生對(duì)話自然解法的生成

摘要：對(duì)教材的練習(xí)題的改編題，給出了多種不同的解法，體現(xiàn)與學(xué)生的對(duì)話交流與感悟。讓數(shù)學(xué)的一提多解得以體現(xiàn)，從解法體現(xiàn)自然生成。在教學(xué)中體現(xiàn)堅(jiān)持循序漸進(jìn)、循環(huán)上升的原則。感受到在平時(shí)的教學(xué)中堅(jiān)持啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解解題分析，讓學(xué)生深刻地領(lǐng)悟和認(rèn)識(shí)這些基本概念的豐富內(nèi)涵及相互聯(lián)系，并形成一定的知識(shí)鏈。使得學(xué)生解題時(shí)，能自然生成。

關(guān)鍵詞：一題多解；自然生成；循序漸進(jìn)；轉(zhuǎn)換；異曲同工

一、 題目

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與B，C不重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF。

此題是在初三年級(jí)復(fù)習(xí)時(shí)所編擬的一道試題，它的原題是人教版八年級(jí)下冊(cè)復(fù)習(xí)題18中的14題，只是把“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為了“點(diǎn)E是BC邊上的任意一點(diǎn)”而形成的，要求學(xué)生根據(jù)所復(fù)習(xí)過的知識(shí)給出此題的解答。

二、 解法與對(duì)話

以上是同學(xué)們給出的三種解法，下面先請(qǐng)完成解法1的同學(xué)談?wù)劷夥?是怎樣想到的。學(xué)生1：“以前曾經(jīng)做過一道類似的試題，有一點(diǎn)不同的是‘點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，其實(shí)不論點(diǎn)E在BC上的何處，∵AB=BC，只要截取BG=BE，總有AG=CE，有了一組邊相等，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)和題目的已知條件就可以得到：∠AGE=∠FCE=135°，∠EAB=∠FEC而獲解?！?/p>

學(xué)生1能根據(jù)回顧并借用已有的方法而獲得解答，那么解法2又是怎樣產(chǎn)生的？學(xué)生2：“我的想法也是通過由兩個(gè)三角形全等來證明AE=EF，而兩個(gè)三角形全等必須至少有一組邊相等，而CE恰好是同時(shí)與AE，EF都關(guān)聯(lián)的線段，再加上正方形的對(duì)角線平分對(duì)角，就想到了添加輔助線AC，又由條件可知∠FCE=135°，其補(bǔ)角也是45°，在這樣思維啟發(fā)下，想到了過E作EH⊥BC，造就了△AEH與△FEC既有相等的邊，又有了相等的角，也就形成了解法2?！睂W(xué)生3：“我的想法與學(xué)生2的想法基本一致，連接AC后，構(gòu)造的△AEC的∠ACE=45°，又由于CF是正方形外角的平分線，分成的每一個(gè)角也恰好是45°，所以在保障EC作為三角形的邊的前提下，過E作EM⊥BC與FC的延長線相交，這樣也就有了解法3”。

以上三種解法，基本思路相同都是添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)三角形全等而獲解，解法1是一步到位，解法2、解法3雖然不是一步到位，但都是充分利用了正方形的性質(zhì)，在第一次添加輔助線AC的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和挖掘題設(shè)條件，作出了第二條輔助線，這樣的聯(lián)想產(chǎn)生流暢自然。

解法4、解法5類似，均應(yīng)用了等腰三角形的判定。而這樣的解法是怎樣想到的，下面請(qǐng)一位同學(xué)談一談你的解法。學(xué)生4：“要證明兩條線段相等，如果這兩條線段是同一個(gè)三角形的邊就可以通過等角對(duì)等邊的關(guān)系來進(jìn)行判斷。而AE與EF在直線BC的同側(cè)，∠EAB與∠FEC相等的關(guān)系不好利用，由于正方形是軸對(duì)稱圖形，能否利用對(duì)稱性將AE、EF轉(zhuǎn)化為直線BC異側(cè)的兩條線段，且又能利用∠EAB=∠FEC的關(guān)系，也就找到了解決問題的突破口。在這樣的思考聯(lián)想下，就形成了解法4”。剛才學(xué)生4對(duì)問題的分析說得很好，當(dāng)面對(duì)的問題直接獲解有困難時(shí)，可否尋找一個(gè)“中間量”進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”。解法4、解法5，就是將直線BC同側(cè)的AE、EF轉(zhuǎn)換成了直線BC異側(cè)的ME與EF或AE與EN，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換目標(biāo)的。就是通過對(duì)稱變換，也就是作出了點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)M，或點(diǎn)F關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N。這樣的對(duì)稱點(diǎn)也恰好就是通過正方形的對(duì)角線，或外角的平分線來實(shí)現(xiàn)的，這兩種解法的同學(xué)，能充分認(rèn)識(shí)正方形的性質(zhì)，獲取問題的解法當(dāng)然也就自然生成了。

解答到這，還有學(xué)生提出：“因?yàn)椤螦EF=90°，如果AE=EF，那么△AEF就是等腰直角三角形，因此要證明AE=EF，只需要∠AFE=45°即可。由正方形的性質(zhì)可知∠ACB=45°，而要確定角的度數(shù)，只需要三角形相似就行了。這樣就還有相似的解答方式一”。又有學(xué)生搶著說：“我的想法與解法1一樣，也是想證明AE，EF分別所在的兩個(gè)三角形全等，由條件可知∠EAB=∠FEC，且AE是Rt△ABE的斜邊，所以就作了FK⊥BC，而構(gòu)造出Rt△EKF與Rt△ABE沒有相等的邊可直接應(yīng)用，但Rt△EKF與Rt△ABE相似，由相似三角形性質(zhì)可以建立邊與邊的數(shù)量關(guān)系，又因?yàn)锽E+CE=AB，CF是正方形外角的平分線，也有CK=FK，從而也就生成相似解法方式二”。受篇幅限制，在此就不想寫出來了。希望愛好的讀者試一試。

相似的解法與前面5種解法不同，沒有受限于三角形全等，而是利用三角形相似來完成證明的，著力點(diǎn)之一在求∠AFE=45°，在通過認(rèn)真審視四邊形AECF的引領(lǐng)下，把三角形相似的判定與性質(zhì)結(jié)合起來反復(fù)應(yīng)用。這樣的綜合應(yīng)用多見于全等形，這就是一種思維遷移，值得學(xué)習(xí)與借鑒。方式二利用三角形相似的判定和性質(zhì)是對(duì)數(shù)和形相結(jié)合的一種展示。更主要的是突出了方程思想的應(yīng)用理念，這種應(yīng)用代數(shù)方法去完成幾何問題的解法效果不錯(cuò)，也很新穎。當(dāng)然建立平面直角坐標(biāo)系也能進(jìn)行求解，也是一種代數(shù)方法。只是受所學(xué)知識(shí)的限制，在求直線EF的解析式時(shí)還利用了三角形相似的判定和性質(zhì)，因此略去了具體解答。喜歡的讀者可以試一試。

三、 感悟

對(duì)于一道試題的改編題，學(xué)生們給出了多種不同的解法，特別是前幾種解法，以及與學(xué)生的對(duì)話交流，我們有如下的一些感悟。第一、學(xué)生易于接受，并能掌握的解法，說明它符合學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際，這樣的解法也就是自然解法。第二、解題方法能否有多樣性與學(xué)生所掌握的知識(shí)有一定的必然聯(lián)系，而且只要在教學(xué)中堅(jiān)持循序漸進(jìn)、循環(huán)上升的原則，解題教學(xué)的效果一定會(huì)提高。第三、獲取自然解法的關(guān)鍵是學(xué)生理解掌握了對(duì)問題的求解分析，通過對(duì)求解分析的思維活動(dòng)才可能成功地獲取解題路徑。同時(shí)也讓我們感受到在平時(shí)的教學(xué)中堅(jiān)持啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解解題分析，在這個(gè)環(huán)節(jié)上多下功夫是可行的、有效的，必須堅(jiān)持的。第四、從學(xué)生給出的解法與其對(duì)話中，還進(jìn)一步肯定了在教學(xué)中重視對(duì)定義、定理、公式、法則等基本概念的教學(xué)，不僅讓學(xué)生記住它們的題設(shè)與結(jié)論，更要讓學(xué)生深刻地領(lǐng)悟和認(rèn)識(shí)這些基本概念的豐富內(nèi)涵及相互聯(lián)系，并形成一定的知識(shí)鏈。例如在對(duì)勾股定理及其逆定理的教學(xué)中，不僅讓學(xué)生記住這兩定理，還讓學(xué)生透過這兩個(gè)定理進(jìn)一步地理解認(rèn)識(shí)平面幾何所研究的兩大對(duì)象“形”與“數(shù)”以及相互的關(guān)聯(lián)性，即形可以用數(shù)來進(jìn)行刻畫，數(shù)在一定的法則下可進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果又可以展示形的特征。因此學(xué)生們能給出解法7也就在情理之中了。

作者簡(jiǎn)介：

章偉，重慶市，重慶市第十八中學(xué)。