初探高考解析幾何中的定點、定值問題

林全德

【摘 要】解析幾何是高考中數學的重要組成部分，每年的高考都會涉及若干個小題，及一道大題。這道大題經?？疾橹本€與圓錐曲線的位置關系，其中尤為常見的是考查直線過定點、某些幾何量的斜率、長度、角度、面積為定值等問題。這部分內容對考生的運算求解能力、數形結合思想、坐標建模思維、用代數方法解決幾何問題要求比較高。本文通過近三年全國各地高考試卷定點、定值問題的分析，希望對考生如何做好解析幾何此類問題有所幫助。

【關鍵詞】解析幾何；定點；定值

【中圖分類號】G633.65 【文獻標識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0066-02

題型一：過定點問題

直線或者曲線過定點問題，是高考中數學的熱點，我們通常可以通過聯(lián)立方程組，求出直線中含有參數的方程，然后證明其過某個定點。

例1.【2017課標1，理20】已知橢圓C： （a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點。

分析：（1）略；（2）先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，在設直線l的方程，當l與x軸垂直，通過計算，不滿足題意，再設設l：y=kx+m（M=1），將y=kx+m代入+y2=1，寫出判別式，韋達定理，表示出k1+k2，根據k1+k2=-1列出等式表示出k和m的關系，判斷出直線恒過定點。

解法：

設P2A，P2B的斜率分別為k1，k2（k1+k2=-1）

P2A與P2B兩直線方程為（k1x+1-y）（k2x+1-y）=0

化簡得k1k2x2+（1-y）2+（1-y）（k1+k2）x=0

橢圓方程變形為x2=4（1-y2），代入可得

得4k1k2（1-y2）+（1-y）2-x（1-y）=0，

此方程的解是橢圓與兩條直線的三個公共點P2，A，B的坐標。

若y≠1，即A，B兩點坐標滿足4k1k2（1+y）+（1-y）-x=0（此即直線AB方程）

根據直線系方程可得該直線系必過點（2，-1），本題得證。

點評：雙聯(lián)立的解法，非常巧妙，計算量非常小，其關鍵是抓住了本質：兩條直線同時與橢圓聯(lián)立得到的方程的解就是三個公共點的坐標，從而得到直線AB方程，再結合直線系方程求得定點，直線與圓錐曲線相交問題，不應該是簡單粗暴的聯(lián)立方程組，而是在根本上體現數與形的轉化。

例2.【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：+y2=1 上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 。

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點Q在直線x=-3上，且 ·=1。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。

分析：（1）略；（2）利用·=1可得坐標關系-3m-m2+tn-n2=1，結合（1）中的結論整理可得 ·=0，即⊥，據此即可得出題中的結論。

解法：（2）由題意知F（-1，0）。設Q（-3，t），P（m，n）則=（-3，t），=（-1-m-n），·=3+3m-tn，=（m，n），=（-3-m，t-n）。

由·=1得-3m-m2+tn-n2，又由（1）知m2+n2，故3+3m-yn=0。

所以·=0，即⊥。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點F。

點評：利用·=1可得坐標關系-3m-m2+tn-n2=1，結合（1）中的結論整理可得·=0，即⊥，據此即可得出題中的結論，從而大大減少計算量。

題型二：定值問題

解決定值問題的方法，常將問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式，證明該式的值與參數無關。

例3.【2015高考新課標2，理20】已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；

分析：題中涉及弦的中點坐標問題，故可以采取“點差法”或“韋達定理”兩種方法求解：設端點A，B的坐標，代入橢圓方程并作差，出現弦AB的中點和直線l的斜率；設直線l的方程同時和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦AB的中點，并尋找兩條直線斜率關系。

解法一：（Ⅰ）設直線l：y=kx+b（k=0，b=0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）。

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM= =- ，yM=kxM+b= 。于是直線OM的斜率kOM= =- ，即kOM·k=-9所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值。

例4.【2016年高考北京理數】已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），ΔOPQ的面積為1。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P的橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N。

求證：|AN|·|BM|為定值。

分析：（1）略；

（2）根據已知條件分別求出|AN|，|BM|的值，求其乘積為定值。

解：（2）由（Ⅰ）知，A（2，0），B（0，1）

設P（x0，y0），則x02+4y02=4

當x0=0時，直線PA的方程為y= （x-2）

令x=o，得ym=-

從而|BM|=|1-yM|=|1+ |

直線PB的方程為y= x+1

令y=0，得xN=-

從而 |AN|=|2-xN|=|2+ |

所以|AN|·|BM|=|2+ |·|1+ |

=

= =4

當x0=0時，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2

所以|AN|·|BM|=4。

綜上，|AN|·|BM|為定值。

點評：本題直接利用題目條件，得到直線PA、PB的方程，然后求出|AN|、|BM|的值。

例5. 【2016高考山東文數】已知橢圓C：（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2。

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點M（0，m）（m>0）的直線交x軸與點N，交C于點A，P（P在第一象限），且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B。

（i）設直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值。

分析：（I）略；（Ⅱ）（i）設P（x0，y0）（x0>0，y0>0），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，-2m）.得到直線PM、直線QM的斜率，即可得證。

解：（Ⅱ）（i）設P（x0，y0）（x0>0，y0>0），由M（0，m），可得 P（x0，2m），Q（x0，-2m）。

所以 直線PM的斜率 k= = ，直線QM的斜率k= =- 。

此時=-3，所以為定值-3。

點評：本題利用對稱性可以得到相關點的坐標，從而得到斜率，屬于中等題。