二維帶尖點區(qū)域上Boussinesq方程組在有限時間爆破的局部光滑解

康 靜，鄧大文

（湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105）

Boussinesq方程組描述了不可壓流體在有熱對流時的流動情況，模擬大氣、洋流等實際現(xiàn)象[1-3]。二維無粘性無熱傳導(dǎo)的Boussinesq方程組的全局正則性是個開問題，即還不清楚局部光滑解是否一定可以延拓為全局光滑解。R2和二維光滑區(qū)域上不可壓Euler方程組具有全局正則性[4-6]，Kiselev和Zlatos[7]在一個有尖點的區(qū)域上，對該方程組構(gòu)造了一類在有限時間爆破的局部光滑解。對無黏性無熱傳導(dǎo)的Boussinesq方程組，在上述3種區(qū)域上的全局正則性都是開問題，本文用Kiselev和Zlatos的方法，在他們使用的有尖點區(qū)域上，構(gòu)造一類在有限時間內(nèi)爆破的局部光滑解。

1 預(yù)備知識

我們先回憶一般二維有界光滑區(qū)域Ω上的Boussinesq方程組

其中 u=(u1(x,t),u2(x,t))是速度場，θ=θ(x,t)∈R是溫度場,p=p(x,t)∈R是壓力場，x=(x1,x2)∈Ω，t＞0，e2=(0,1)，n是?Ω的單位外法向量，u在?Ω上滿足u·n=0。本文約定，(1)i指式（1）中的第i條方程，i=1,2,3?？梢园咽剑?）寫成渦量-流函數(shù)形式，令ω=為渦量，又由div u=0，知存在流函數(shù) ψ：Ω→R ，使 u=?⊥ψ ,其中 ?⊥:=(-?x2,?x1)。由式 (1)4，可知ψ|?Ω為常數(shù)，不妨設(shè)為0。所以式（1）可寫成

可參看文獻[4，8]等對Euler方程渦量-流函數(shù)形式的描述。由式(2)3和(2)4

其中GΩ(·,·)為區(qū)域 Ω 上的格林函數(shù)的負，即

其中 KΩ(x,y)=GΩ(x,y)。注意在 Ω×Ω 上，GΩ(·,·)＜ 0 ，GΩ(x,y)|x∈?Ω=0 ，即 ?Ω 是 GΩ(·,y)的0-等值線。所以?xGΩ(x,y)與?Ω垂直，指向Ω外，GΩ(x,y)與?Ω 相切，指向反時針方向。在R2上式（1）的局部光滑解存在性定理，可參看文獻[10]。我們將用到二維有界光滑區(qū)域上Boussinesq方程組的局部存在性定理：若ω和θ的初值ω0和θ0都在 C1(Ω)，則存在T＞0，使式（2）在 Ω×[0,T]上有C1解?？捎妙愃朴诙SEuler方程的Yudovich定理的證明方法得到，可參看文獻[5]和本文末段的概述。

以下描述本文中的尖點區(qū)域D'。我們沿用文獻[7]中的區(qū)域（圖1）。令

為兩個分別以(0,1)和(0,-1)為中心的球場形區(qū)域，每個的高度是 2r＞0（圖1(a)）。注意只是C1,1區(qū)域。通過在圓弧和直線段的接口處適當(dāng)?shù)馗膭訄A弧，可得無窮光滑的區(qū)域。這個改動可以任意小，使和的面積任意接近。最后，令L ，其中 L=(-1,1)×{0}為開線段，用D:=表示D'的上半部，如圖1(b)所示。

在D'上考慮式(2)，設(shè)其上的光滑初值ω0和θ0對x2反對稱，且在L的一個鄰域內(nèi)為0，則從光滑區(qū)域上的局部存在定理得到它們有互為正負的局部光滑解，由Dθ/Dt=0和Dω/Dt=θx1，容易知道對小的時間 t，ω(·,t)和 θ(·,t)在 L 的一個鄰域內(nèi)仍為0，所以兩個解光滑地粘合成為D'上的局部光滑解。注：這樣的在D'上的解的速度場u在x∈D處的值可由u(x,t)=(x,y)ω(y,t)dy給出。

圖1 尖點區(qū)域

本文用Kiselev和Zlatos[7]的方法，在 D'上對無黏性無熱傳導(dǎo)Boussinesq方程組構(gòu)造在有限時間內(nèi)爆破的局部光滑解。與文獻[7]中對二維Euler方程的討論不同，從式(2)1可見，當(dāng)θx1非零時（若要構(gòu)造式(2)非平凡的解，θx1就不能恒為0），渦量不是簡單地被搬運，而是隨著流體質(zhì)點的流動可以變動，以致變號，為估計邊界上質(zhì)點的移動速度增添了難度。本文通過選取適當(dāng)?shù)某跏紲囟圈?，限制了在任何時候θx1≠0的區(qū)域的面積，從而解決了問題。

2 定理及其證明

在陳述主要定理前，先證一個引理。

又因為?D在每個x∈?D處都滿足內(nèi)球條件，所以由Hopf引理，對任意的x∈?D，

(?v·n)(x)=(?v/?n)(x)＞0

從而 ?v(x)≠0→，且因 ?D 是緊的，所以

ε：=inf{ ||?v(x)，x∈?D}＞0斷言得證。

以下我們完成引理1的證明。因為?D是GD(·,y) 和 v(·) 的 0-等 值 線 ，所 以 對 x∈ ?D ，?xGD(x,y)和?v(x)都與?D垂直，都指向外。因此，在?D上，對y∈

定理1帶有尖點的區(qū)域D'上二維Boussinesq方程組（2）存在有限時間內(nèi)爆破的局部光滑解。詳細地，若初始溫度和渦量 θ0, ω0∈C1(Dˉ')對 x2反對稱，在L的一個鄰域內(nèi)為0，在D內(nèi)它們非負，θ0只在足夠小的區(qū)域上非0，ω0在θ0的支撐內(nèi)不恒為零，且ω0在?DL上與尖點P（圖1(b)）的距離足夠小的一點處非0，則ω在有限時間內(nèi)變得不連續(xù)。

證明：選取對 x2反對稱的ω0,θ0，從而由Biot-Savart公式知速度場u相對于x1-軸對稱，使在某時間t0＞0前在?D上的質(zhì)點最低以某速度沿反時針方向流動，且在足夠接近尖點P的某點x'∈?D處ω0(x')＞0，且保證從x'出發(fā)的質(zhì)點流動時渦量不變。則從ω0對 x2的反對稱性，當(dāng) x'與它相對于x1-軸的鏡像x''同時流到L時，ω就在L處不連續(xù)。以下是詳細證明。

第一步：選初始渦量和溫度ω0,θ0：D'→R滿足以下條件

(i) ω0,θ0∈C1(Dˉ')，對 x2反對稱；

(ii)在 D 內(nèi)，ω0,θ0≥0，不恒等于0；

(iii)ω0,θ0各在 L的某開鄰域 Nω0,Nθ0內(nèi)為0；

(v)∫W0ω0(y)dy＞0 令，即 ω0在W0內(nèi)不恒為0；

(vi)ω0在?DL離P足夠近的一點處非零（第三步中詳細描述）。

設(shè)X(x,t)為從x出發(fā)的質(zhì)點軌跡，即滿足的唯一解。令

所以在 DWt上 ω(·,t)≥0 。事實上，若 ?W0，則存在的一個鄰域 N，N?W0=φ ，其上 θ≡0 ，從而θx1

≡0，Dω/Dt=0。因為 X(·,t)是 D 上的同胚，所以

第二步：由光滑區(qū)域上局部光滑解的存在性，可知存在T＞0，使在 D×[0,T]上式（2）有以 ω0,θ0為初值的光滑解，若它在有限時間內(nèi)爆破，則定理1結(jié)論已成立。以下設(shè)它可以延拓為D上的全局光滑解。

我們斷言：若x∈?D，u(x,t)=∫DKD(x,y)ω(y,t)dy 與 ?D 相切，指向反時針方向，且存在常數(shù)C＞0，t0＞0，使當(dāng)t∈[0,t0]時，有|u(x,t)|≥C。

為證明此斷言，取δ＞0，使

以上所涉及的區(qū)域可參看圖2。把速度u分解為

圖2 區(qū)域D，和Wt

以下分別估計I,II和III。從式（4）后的討論可知，對 x∈?D,y∈D,KD(x,y)與?D相切，指向反時針方向。因為在(D)Wt上 ω(y ,t)≥0，所以I指向反時針方向。對于II,同樣地在積分區(qū)域里ω(y,t)≥0，令

由式（8）可得，|S|≥δ,ω≥δ 。令τ為 ?D 上指向反時針方向的單位切向量，則

由引理1，II是長度不小于εδ2，跟?D相切，指向反時針方向的向量。以下估計III。由積分中值定理，

分以下兩種情況討論：若對所有 t≥0，ω(y0,t)≥0，則在任何時間III都指向反時針方向，得u(x,t)滿足 |u(x,t)|≥εδ2，指向反時針方向的 ?D 的切向量(此時取t0為任意正數(shù))。若存在時間t，使ω(y0(t),t)＜0，則令t0為使

第三步：從第二步可知直到時間t0，?D上的質(zhì)點沿反時針方向至少移動εδ2t0?，F(xiàn)在選x'∈?D,x'在令θ0消失的L的開鄰域 Nθ0內(nèi)（從而 x'?W0，ω(X(x',t),t)=ω0(x')），并從x'沿反時針方向到尖點P的距離小于εδ2t0，那么在t0之前的某時間t1，從x'出發(fā)的質(zhì)點將流到L中，又由ω對x2的反對稱性（從而由Biot-Savart公式u1和u2分別對 x2對稱和反對稱），在上x'相對于 x1-軸的鏡像 x''也同時流到 L。有兩種情況：若 ω0(x')＞0，則ω0(x'')＜0，ω(·,t1)在 L 處將不連續(xù)；若 ω0(x')=0，則對ω0在x'附近作小改動使得ω0(x')＞0，這樣增加ω0后，I仍然指向反時針方向。對已選的δ，式（6）依然成立。所以在t0之前的某t1，仍有ω(·,t1)在L處不連續(xù)。定理1證畢。

以下粗略描述一般二維光滑區(qū)域Ω上Boussinesq方程組經(jīng)典解的局部存在性。把式（2）補上u和θ的初值條件(10)5、 (10)6，把式(2)3、 (2)4換成等價的式(10)3、 (10)4后得到

存在性的證明平行于文獻[5]中對二維Euler方程的討論。先假定 ω0∈L∞(Ω)，θ0∈C1(Ω)，證明式（10）存在局部弱解，即存在T＞0，及

n=1,2，…?？勺C式（12）有解，并在區(qū)域Ω×[0,T]內(nèi)收斂到式（11）的解 ω,θ∈L∞(Ω×[0,T])，然后證明它們是式（10）的弱解。進一步，當(dāng)ω0∈C1(Ω)時，可用類似于文獻[5]的方法證明

ω,θ∈C1(Ω×[0,T])。

3 結(jié)論

本文考慮無黏性無熱傳導(dǎo)的Boussinesq方程組的全局正則性。通過粘合兩個光滑區(qū)域上的光滑解，我們得到一個在帶尖點區(qū)域上有限時間失去光滑性的局部光滑解。所以在這類區(qū)域上，這組方程組不具有全局正則性。