淺析函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅僅教授學(xué)生做對(duì)題目，更重要的是要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法。函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，教師在教學(xué)中要立足教材挖掘內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生對(duì)思想方法的轉(zhuǎn)化，通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生體驗(yàn)思想，在實(shí)踐中鞏固所學(xué)的知識(shí)，以此將函數(shù)與方程思想滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高學(xué)生的解題能力以及學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)與方程思想；滲透

作者簡(jiǎn)介：李清，西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)教師。（江蘇 蘇州 215000）

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）19-0098-02

函數(shù)與方程思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不斷提升學(xué)生的函數(shù)與方程思想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)能力與解決問(wèn)題的能力具有積極的意義。因此，初中數(shù)學(xué)教師在展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要有目的、有意識(shí)地將函數(shù)與方程思想滲透到課堂教學(xué)中。通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)教材和教學(xué)任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度的思考，提升學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題的能力，讓函數(shù)與方程思想貫穿于學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，以指導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

一、立足教材，挖掘函數(shù)與方程思想的教學(xué)內(nèi)容

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，主要包含了數(shù)與代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)，而其中函數(shù)與方程則占據(jù)了很大部分，是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心與重點(diǎn)。因此，教師要想將函數(shù)與方程思想有效地滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先就需要從初中數(shù)學(xué)教材出發(fā)，認(rèn)真研讀教材，挖掘函數(shù)與方程相關(guān)的內(nèi)容，并在這些內(nèi)容的教學(xué)中向?qū)W生滲透函數(shù)與方程思想。

例如，教師在對(duì)“二次函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先需要對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入分析，確定學(xué)生在該知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中需要掌握的重點(diǎn)，即二次函數(shù)的概念。一般我們將具有這樣形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的式子稱(chēng)為二次函數(shù)。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生解讀這個(gè)式子的數(shù)學(xué)概念，結(jié)合以往所學(xué)過(guò)的一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)對(duì)比分析，找到二次函數(shù)與一元二次方程兩者之間的聯(lián)系。教師可以在列出二次函數(shù)的一般式后，將一元二次方程的一般式“ax2+bx+c=0（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）”一并列出來(lái)。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)二次函數(shù)的“y=0”時(shí)，二次函數(shù)就變成了一元一次方程式。上述的教學(xué)內(nèi)容很好地體現(xiàn)出了函數(shù)與方程思想，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的知識(shí)時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)換思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用方程的知識(shí)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。所以，通過(guò)在數(shù)學(xué)教材中挖掘跟函數(shù)與方程相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行有目的的數(shù)學(xué)思想滲透，有助于優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量與提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二、啟發(fā)思考，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程思想的轉(zhuǎn)化

所謂的函數(shù)與方程思想，實(shí)際上就是借助函數(shù)模型將一些較難處理、較難解決的方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，而后運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決方程問(wèn)題；或是通過(guò)分析一些難以解決的函數(shù)問(wèn)題，尋找到與之等量的關(guān)系以建立方程，利用方程的相關(guān)知識(shí)解決函數(shù)問(wèn)題。所以，函數(shù)與方程思想在很大程度上體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯思維能力和思維的靈活性。故而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要啟發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度的思考，使其能夠靈活掌握并很好地運(yùn)用函數(shù)與方程知識(shí)，讓學(xué)生在知識(shí)的轉(zhuǎn)化中形成函數(shù)與方程思想。

例如，在教學(xué)“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的圖像和性質(zhì)”時(shí)，教師要想在這一節(jié)內(nèi)容中向?qū)W生滲透函數(shù)與方程思想，可以通過(guò)為學(xué)生設(shè)置問(wèn)題情境的方式，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度的思考。比如，教師可以設(shè)置這樣一個(gè)問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。問(wèn)題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的圖像，與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)跟一元二次方程ax2+bx+c=0的解具有什么樣的一種關(guān)系？在設(shè)置這個(gè)問(wèn)題時(shí)，同時(shí)還需要給予學(xué)生一點(diǎn)提示：要考慮到二次函數(shù)圖像與X軸相交時(shí)可能存在的幾種情況，如兩者相交沒(méi)有交點(diǎn)、只有一個(gè)交點(diǎn)或是有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。此時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)教師提出的問(wèn)題進(jìn)行思考并結(jié)合教師所給出的提示，能夠得到以下結(jié)論：當(dāng)函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）與X軸并無(wú)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與X軸相交且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與X軸相交存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么方程ax2+bx+c=0則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。通過(guò)設(shè)置問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的感知，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的形成。

三、結(jié)合問(wèn)題，增強(qiáng)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用體驗(yàn)

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題甚至是生活中的問(wèn)題，都需要運(yùn)用函數(shù)與方程進(jìn)行解決，通過(guò)建立函數(shù)、方程模型，從而將抽象的問(wèn)題變得具體化，使答案顯而易見(jiàn)。因此，教師在向?qū)W生滲透函數(shù)與方程思想時(shí)，可以結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程思想去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想的體驗(yàn)。

例如，教師在教學(xué)“一元二次方程與二次函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容后，可以給學(xué)生布置這樣一道習(xí)題：已知方程x2-3x+k=0的兩個(gè)根取值范圍分別為大于1的數(shù)和小于1的數(shù)，那么請(qǐng)問(wèn)“k”的取值范圍是？在布置這個(gè)題目后，讓學(xué)生分析二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，利用二次函數(shù)的知識(shí)解答問(wèn)題。通過(guò)教師的指導(dǎo)，學(xué)生的分析如下：由該方程可以知道，方程的兩個(gè)根為一個(gè)取值范圍，也就是不確定的數(shù)值，因此該方程不能夠用方程的知識(shí)進(jìn)行解答。通過(guò)分析二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，將這一方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，可以把x2-3x+k=0看為一個(gè)二次函數(shù)，方程兩個(gè)不同的根則為二次函數(shù)自變量x的值；根據(jù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，知道這是一個(gè)圖像呈開(kāi)口向上的拋物線函數(shù)，而當(dāng)y=0則為這個(gè)方程的解?；仡^看題目所給的已知條件“兩個(gè)根分別為大于1和小于1的實(shí)數(shù)”，故而，推斷出：當(dāng)x=1時(shí)，y<0，將x=1帶入方程，能夠得到k值小于2。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題，從而加深學(xué)生對(duì)這一種數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)與理解，使其能夠更好地運(yùn)用這種思想。

四、引導(dǎo)回顧，推進(jìn)函數(shù)與方程思想的內(nèi)化

學(xué)生能夠簡(jiǎn)單、機(jī)械地記憶函數(shù)與方程思想，是這種數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的最低層次，也是學(xué)生掌握這種思想的基礎(chǔ)。而只有學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，能夠不由自主地重構(gòu)這種數(shù)學(xué)思想，使這一思想內(nèi)化為學(xué)生大腦知識(shí)結(jié)構(gòu)中的一部分，才能說(shuō)明學(xué)生真正地掌握了這種思想。所以，在學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程、應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行回顧，通過(guò)回顧分析，理清應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題的思路，并對(duì)解題過(guò)程中函數(shù)與方程思想的應(yīng)用進(jìn)行反思，使學(xué)生在應(yīng)用——反思——應(yīng)用的過(guò)程中，將這種數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為自身的思維方法，進(jìn)而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，能夠自覺(jué)、自然而然地應(yīng)用這種思想指導(dǎo)學(xué)習(xí)并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，在上文提到的“x2-3x+k=0”這一道題的解答中，教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決這道數(shù)學(xué)問(wèn)題后，應(yīng)該及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的過(guò)程進(jìn)行回顧、反思。讓學(xué)生在反思中學(xué)會(huì)梳理解題思路，明確這一道題是在運(yùn)用一元二次方程知識(shí)無(wú)法解決后，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用函數(shù)圖像與性質(zhì)解答的。教師引導(dǎo)學(xué)生共同對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧：首先，在理解題意、分析題目后，明確該方程不能用方程知識(shí)解答；其次，通過(guò)分析二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)；最后，借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行解答。在這樣一個(gè)回顧、反思過(guò)程中，學(xué)生不僅對(duì)函數(shù)、方程知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)和鞏固，同時(shí)還對(duì)函數(shù)與方程思想有了進(jìn)一步的理解與認(rèn)識(shí)，這對(duì)于函數(shù)與方程思想的內(nèi)化具有積極的作用。

函數(shù)與方程思想是初中階段的重要數(shù)學(xué)思想之一，加強(qiáng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)與方程思想的滲透，能夠讓學(xué)生掌握并學(xué)會(huì)應(yīng)用這一種思想，這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)水平的提升和發(fā)散思維、邏輯思維能力的培養(yǎng)，以及綜合素養(yǎng)的提升具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張為成.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2015，（35）.

[2] 季霞.函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014，（12）.

[3] 張暉萍.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)思想和方程思想[J].考試周刊，2015，（45）.

責(zé)任編輯 羅 佳