桿網(wǎng)系統(tǒng)基于高斯原理的動(dòng)力學(xué)建模*

劉延柱

(上海交通大學(xué) 工程力學(xué)系, 上海 200240)

引言

利用可展網(wǎng)架式空間結(jié)構(gòu)的大型航天器已成為航天技術(shù)中的前沿課題[1].由多個(gè)彈性細(xì)桿組成的桿網(wǎng)系統(tǒng)是帶有多個(gè)回路的非樹(shù)多體系統(tǒng).其動(dòng)力學(xué)模型可利用多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的各種方法建立,其中利用高斯最小拘束原理的建模方法具有獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)[2-5].國(guó)內(nèi)的動(dòng)力學(xué)教材對(duì)高斯原理建模方法有較詳細(xì)敘述[6,7].高斯原理的特點(diǎn)在于,無(wú)需建立和求解動(dòng)力學(xué)微分方程,而是通過(guò)尋求函數(shù)極值方法確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.即在任意時(shí)刻,對(duì)系統(tǒng)的位形和速度相同但加速度不同的各種可能運(yùn)動(dòng)進(jìn)行比較,以拘束函數(shù)取極小值作為真實(shí)運(yùn)動(dòng)的判斷依據(jù).高斯原理建模方法的形式統(tǒng)一,能適應(yīng)多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或約束條件的改變.對(duì)于帶控制的多體系統(tǒng),動(dòng)力學(xué)分析與系統(tǒng)的優(yōu)化可結(jié)合進(jìn)行.高斯原理在上世紀(jì)70年代已被用于機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析[8,9].近期也用于多柔體系統(tǒng)[10,11]及彈性細(xì)桿的建模[12-15].本文討論空間中任意數(shù)量彈性細(xì)桿組成任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)架系統(tǒng),敘述其基于高斯原理的動(dòng)力學(xué)建模方法.利用結(jié)構(gòu)圖表示桿網(wǎng)的聯(lián)結(jié)狀況.采用Kirchhoff的彈性桿模型,將桿件的變形轉(zhuǎn)化為剛性截面沿中心線(xiàn)的姿態(tài)變化,其大變形的幅度不受限制.以沿桿中心線(xiàn)的弧坐標(biāo)為自變量,表示截面姿態(tài)的參數(shù)為未知變量,列寫(xiě)每個(gè)桿件的拘束函數(shù).如忽略細(xì)長(zhǎng)桿件的扭矩和扭率的相應(yīng)項(xiàng),則桿件的拘束函數(shù)由桿中心線(xiàn)的形狀完全確定.將各桿件的拘束函數(shù)疊加為系統(tǒng)的總拘束函數(shù).根據(jù)高斯原理,以拘束函數(shù)的最小值條件從各種可能運(yùn)動(dòng)中確定系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng).在網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)處,聯(lián)結(jié)鉸對(duì)桿件的約束條件可在給定各桿件的可能運(yùn)動(dòng)時(shí)預(yù)先給予滿(mǎn)足.如桿件充分柔軟,允許忽略其抗彎和抗扭剛度但考慮拉伸變形,則轉(zhuǎn)化為由柔索組成的索網(wǎng)系統(tǒng).文中以5桿系統(tǒng)為例說(shuō)明具體的建模過(guò)程.

1 桿網(wǎng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖1 五桿系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure graph of 5-rods system

j1234α(j)1145∕α(j)22∕∕∕α(j)33∕∕∕β(j)1∕123β(j)2∕∕∕4β(j)3∕∕∕5

為簡(jiǎn)化表達(dá),省略上述符號(hào)中用下標(biāo)表示的桿件標(biāo)號(hào)i,將(O0-ξηζ)的原點(diǎn)移至P點(diǎn),設(shè)(P-ξηζ)繞ξ軸轉(zhuǎn)過(guò)ψ角為(P-x0y0z0),繞y0軸轉(zhuǎn)過(guò)?角為截面的主軸坐標(biāo)系(P-xyz),z軸為截面的法線(xiàn)軸.忽略截面的剪切變形,設(shè)(P-xyz)繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)φ角后與截面固定,記作(P-xsyszs).ψ,?,φ為確定截面姿態(tài)的卡爾丹角(圖3) 對(duì)于圓截面情形,(P-xyz)與(P-xsyszs)均為截面的主軸坐標(biāo)系.截面坐標(biāo)系(P-xsyszs)的角位移對(duì)弧坐標(biāo)s或時(shí)間t的變化率分別為桿的彎扭度和相對(duì)B0的角速度,記作ωS和ΩS.(P-xyz)的角位移對(duì)s或t的變化率記作ω和Ω.文中分別以撇號(hào)和點(diǎn)號(hào)表示對(duì)s或t的偏導(dǎo)數(shù),以下標(biāo)k=1,2,3表示各矢量在(P-xyz)中的投影,得到：

(1)

圖2 第i桿的位置坐標(biāo)Fig.2 Position coordinates of i-th rod

圖3 表示截面姿態(tài)的卡爾丹角Fig.3 Cardan′s angles of the attitude of cross section

其中ωS1,ωS2為桿在P點(diǎn)處的曲率,ωS3為扭率.準(zhǔn)坐標(biāo)φ定義為：

(2)

設(shè)r(s,t)為P點(diǎn)相對(duì)O0點(diǎn)的矢徑,沿P點(diǎn)處的中心線(xiàn)取弧長(zhǎng)為Δs的微元段PQ,對(duì)應(yīng)的矢徑增量為Δr=Δsez.ez為z軸的基矢量,等于矢徑r對(duì)弧坐標(biāo)s的偏導(dǎo)數(shù)：

r′=ez

(3)

桿中心線(xiàn)幾何形狀由P點(diǎn)在(O0-ξηζ)中的笛卡爾坐標(biāo)ξ(s,t),η(s,t),ζ(s,t)確定.矢徑r(s,t)表示為：

r(s,t)=ξ(s,t)eξ+η(s,t)eη+ζ(s,t)eζ

(4)

根據(jù)式(3),r′在(O0-ξηζ)中的投影ξ′,η′,ζ′分別等于基矢量ez相對(duì)ξ,η,ζ各軸的方向余弦

ξ′=sin?,η′=-sinψcos?,ζ′=cosψcos?

(5)

桿中心線(xiàn)幾何形狀給定以后,上式可用于確定桿截面的姿態(tài)角?(s,t)和ψ(s,t)：

?=arcsinξ′,ψ=arctan(-η′/ζ′)

(6)

(7)

2 桿網(wǎng)系統(tǒng)的拘束

應(yīng)用高斯原理討論彈性桿動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),以時(shí)間t為自變量,弧坐標(biāo)si為計(jì)算Ri桿拘束函數(shù)的積分變量.省略Ri桿的下標(biāo)i,設(shè)ρ,S,J分別為桿的密度、截面積及單位長(zhǎng)度的慣量張量.J在(P-xyz)中的坐標(biāo)陣為J=diag(J1J1J3),其中J1=ρI,J3=ρI0,I,I0為截面的慣量矩和極慣量矩.設(shè)f為桿的單位長(zhǎng)度分布力,忽略分布力矩,F和M為P點(diǎn)處截面作用力的主矢和主矩.在Kirchhoff條件限制下,中心線(xiàn)無(wú)拉伸變形,主矢F被視為獨(dú)立變量.主矩遵循線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系M=D·ωs,由桿的彎扭度ωS確定.剛度D在(P-xyz)中的坐標(biāo)陣為D=diag(AAC),其中A=EI,C=GI0分別為抗彎剛度和抗扭剛度,E,G為桿的楊氏模量和剪切模量.M在(P-xyz)中的投影為：

M1=AωS1,M2=AωS2,M3=CωS3

(8)

(9)

其中ΔF,ΔM為微元段PQ上作用的內(nèi)力和力矩增量(圖4).

圖4 彈性桿微元段的受力狀態(tài)Fig.4 Forces on the infinitesimal segment of rod

(10)

f=ρS(g+g0)=-2δρSg0eζ

(11)

恢復(fù)各符號(hào)與Ri桿相關(guān)的下標(biāo)i,將Ri桿微元段的拘束寫(xiě)作ΔZi=ΓiΔsi.將式(10),(11)代入式(9),利用式(3)令Δri=eizΔsi,導(dǎo)出函數(shù)Γi：

(12)

(13)

將所有桿件的拘束求和,得到桿網(wǎng)系統(tǒng)的總拘束：

(14)

此拘束函數(shù)是形式上與桿網(wǎng)約束狀態(tài)無(wú)關(guān)的獨(dú)立變量.根據(jù)桿件可能運(yùn)動(dòng)計(jì)算拘束函數(shù)尋求最小值時(shí),結(jié)點(diǎn)的約束條件可在供選擇的可能運(yùn)動(dòng)中預(yù)先給予滿(mǎn)足.

3 索網(wǎng)系統(tǒng)的拘束

如系統(tǒng)中的桿件充分柔軟,忽略其抗彎和抗扭剛度即簡(jiǎn)化為柔索.桿網(wǎng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為由柔索組成的索網(wǎng)系統(tǒng).如需考慮柔索的拉伸變形,則Kirchhoff桿的中心線(xiàn)無(wú)拉伸條件不再成立.在柔索中心線(xiàn)的任意點(diǎn)P處,取長(zhǎng)度為Δs的柔索微元段PQ(圖5).令式(9)中的慣量張量J為零,略去彎矩和扭矩,其拘束函數(shù)ΔZ簡(jiǎn)化為：

(15)

圖5 柔索微元段的受力狀態(tài)Fig.5 Forces on the infinitesimal segment of flexible cable

其中速度v由式(7)確定.截面作用力的主矢F即沿柔索中心線(xiàn)切線(xiàn)的張力T(圖4).基于胡克定律,T與柔索的拉伸應(yīng)變?chǔ)懦烧龋?/p>

F=T=Tez,T=ESε

(16)

變形后的矢徑增量為Δr=(1+ε)ezΔs.令Δs→0,化作：

r′=(1+ε)ez

(17)

令上式各項(xiàng)與ez點(diǎn)積,將式(5)代入,導(dǎo)出：

ε=ξ′sin?-η′sinψcos?+ζ′cosψcos?-1

(18)

恢復(fù)下標(biāo)i,將柔索Ri的微元段拘束寫(xiě)作ΔZi=ΓiΔsi導(dǎo)出：

(19)

4 約束條件

r0j=rαk(j)(0,t)=rβk(j)(lβk(j),t)

(20)

如為圓柱鉸約束,除式(20)以外,約束條件還應(yīng)作些補(bǔ)充.即結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的所有桿在結(jié)點(diǎn)處的中心線(xiàn)切線(xiàn)均應(yīng)與圓柱鉸的轉(zhuǎn)軸正交.切線(xiàn)基矢量在(O0-ξηζ)中的投影可利用式(3),(4)導(dǎo)出.如為固定端約束,還應(yīng)再增加中心線(xiàn)切線(xiàn)的夾角保持常值不變的約束條件.

以圖1表示的桿網(wǎng)系統(tǒng)為例,如所有鉸均為球鉸,其約束條件為：

O1：r1(0,t)=r2(0,t)=r3(0,t)

O2：r4(0,t)=r1(l1,t)

O3：r5(0,t)=r2(l2,t)

O4：r3(l3,t)=r4(l4,t)=r5(l5,t)

如所有鉸均為圓柱鉸,須增加以下約束條件:

O1：

O2,O3：無(wú)附加條件.

O4：

如所有鉸均為固定端,再增加以下約束條件:

O1：

O4：

其中γ12,γ23,γ31分別為O1鉸處R1桿與R2桿、R2桿與R3桿、R3桿與R1桿之間夾角的正弦,γ41為O2鉸處R4桿與R1桿之間夾角的正弦,γ52為O3鉸處R5桿與R2桿之間夾角的正弦,γ34,γ45,γ53分別為O4鉸處R3桿與R4桿、R4桿與R5桿、R5桿與R3桿之間夾角的正弦.

5 結(jié)論

(1)高斯最小拘束原理可用于對(duì)多個(gè)彈性細(xì)桿組成的桿網(wǎng)系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型.其特點(diǎn)是應(yīng)用變分方法直接得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律,而無(wú)需建立和求解微分方程.其形式統(tǒng)一,不隨桿網(wǎng)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和約束條件的變化而改變.對(duì)于帶控制的多體系統(tǒng),有利于結(jié)合系統(tǒng)的優(yōu)化進(jìn)行.

(2)文中對(duì)任意數(shù)量彈性細(xì)桿以任意方式聯(lián)結(jié)的桿網(wǎng)系統(tǒng)建立基于高斯原理的數(shù)學(xué)模型.列寫(xiě)桿網(wǎng)的拘束函數(shù)時(shí),如忽略充分細(xì)長(zhǎng)桿件的扭矩和扭率的相應(yīng)項(xiàng),則拘束函數(shù)由桿中心線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)完全確定.

(3)桿件端部必須滿(mǎn)足聯(lián)結(jié)鉸的約束條件,此約束條件可在各桿件供選擇的可能運(yùn)動(dòng)中預(yù)先給予滿(mǎn)足.無(wú)需在尋求最小拘束過(guò)程中再予考慮.

(4)忽略桿件的抗彎和抗扭剛度,但考慮拉伸變形,則轉(zhuǎn)化為由柔索組成的索網(wǎng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.

(5)對(duì)于桿件或柔索超大變形情形,可采用歐拉參數(shù)代替角度坐標(biāo)建立系統(tǒng)的拘束函數(shù).