基于采樣PD反饋的倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性*

王強(qiáng) 梁松 王在華,?

(1.解放軍陸軍工程大學(xué), 南京 211101) (2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016)

引言

倒立擺是一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的力學(xué)模型,具有廣泛的應(yīng)用.例如,靜止站立的人體[1-4],豎立在手指指尖的火柴棒[1,5],旋轉(zhuǎn)的機(jī)器人關(guān)節(jié)[6]和平衡車[7]等都可以抽象成倒立擺模型.倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng),粘性阻尼不能使倒立擺力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定,可具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.倒立擺系統(tǒng)由于其廣泛應(yīng)用和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性吸引了眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究.在倒立擺的鎮(zhèn)定控制中,文獻(xiàn)[6]使用PD(proportional-derivative)控制器研究了機(jī)器人姿態(tài)平衡問題,并驗(yàn)證了該控制器對(duì)彈性參數(shù)及載荷質(zhì)量均具有很好的魯棒性.文獻(xiàn)[8]在倒立擺系統(tǒng)中使用了多個(gè)PID(proportional-integral-derivative)控制器,成功實(shí)現(xiàn)了開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制和軌跡控制,并且控制器對(duì)大振幅干擾和高頻干擾具有很好的魯棒性.文獻(xiàn)[9]結(jié)合經(jīng)典的LQR(linear quadratic regulator)方法與基因算法給出了控制倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法,模擬結(jié)果表明,對(duì)基因算法求得的最優(yōu)參數(shù),控制器比經(jīng)典控制具有更好的控制效果.其它控制手段,如:非線性控制[10]、模糊控制[11]、自動(dòng)控制[12]等都可實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制.在控制環(huán)節(jié),信息采集、傳輸、處理以及作動(dòng)器響應(yīng)等過程都需要一定時(shí)間,不可避免地存在時(shí)滯,從而控制系統(tǒng)方程是時(shí)滯微分方程.研究表明,對(duì)于小時(shí)滯,時(shí)滯PD控制器能有效地控制倒立擺系統(tǒng),但是當(dāng)時(shí)滯量超過一個(gè)臨界值時(shí),時(shí)滯PD控制器將不能使倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定[1,13].如果在時(shí)滯PD控制器中增加時(shí)滯加速度反饋項(xiàng),得到時(shí)滯PDA(proportional-derivative-acceleration)控制,能有效地增大增益平面穩(wěn)定性區(qū)域的大小[14,15].

數(shù)字采樣控制是當(dāng)前控制工程技術(shù)領(lǐng)域的一種主流控制技術(shù),它基于計(jì)算機(jī)完成信號(hào)采樣、分析、傳輸,并以離散的數(shù)字信號(hào)作為控制輸入.采樣控制是具有分段線性時(shí)滯的反饋控制,時(shí)滯量和采樣周期對(duì)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有重要影響.例如,在研究采樣PD控制作用下單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),文獻(xiàn)[16]將采樣控制中的時(shí)滯量從一個(gè)采樣周期滯后[17]推廣到了多個(gè)采樣周期滯后,理論上說明了隨著時(shí)滯量的增加,穩(wěn)定性區(qū)域?qū)⒅饾u減小.文獻(xiàn)[18]討論了位移與速度反饋具有不同時(shí)滯時(shí),時(shí)滯PD采樣控制中不同時(shí)滯量組合對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的力控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域的影響,與等時(shí)滯情形相比較,當(dāng)位移信號(hào)的時(shí)滯量?jī)杀队谒俣刃盘?hào)的時(shí)滯量時(shí),在增益參數(shù)平面內(nèi)具有更大的穩(wěn)定性區(qū)域.文獻(xiàn)[19]以單自由度系統(tǒng)為研究對(duì)象,考慮了速度信號(hào)和加速度信號(hào)都具有時(shí)滯效應(yīng)的反饋控制,發(fā)現(xiàn)時(shí)滯加速度信號(hào)在采樣作用下可以被看作是一種含時(shí)滯的參數(shù)激勵(lì),其能使不穩(wěn)定系統(tǒng)得到鎮(zhèn)定,同時(shí),在一定范圍的采樣周期下,增大采樣周期會(huì)使得穩(wěn)定性區(qū)域增大.這表明,采樣控制的時(shí)滯量與采樣周期都可能給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來復(fù)雜的影響.目前,多數(shù)文章研究了時(shí)滯量對(duì)采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,少有文章考慮采樣周期對(duì)穩(wěn)定性的影響.本文將采樣PD反饋控制應(yīng)用于一個(gè)含阻尼的倒立擺系統(tǒng)上,不僅考慮時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,而且考慮采樣周期對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響,以及時(shí)滯量和采樣周期對(duì)收斂速度的影響.

本文第一節(jié)給出了采樣控制作用下的倒立擺控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,它是一個(gè)微分-差分方程,然后在滿足采樣定理?xiàng)l件下將其轉(zhuǎn)化為差分方程;第二節(jié)基于差分方程研究了采樣周期與時(shí)滯量對(duì)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域大小的影響;第三節(jié)給出了控制增益的選取方法,使倒立擺控制系統(tǒng)具有最快收斂速度,并且討論了采樣周期與時(shí)滯量對(duì)收斂速度的影響;第四節(jié)為本文的總結(jié).

1 受控倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

考察圖1所示的作平面運(yùn)動(dòng)的倒立擺系統(tǒng),擺長(zhǎng)L,質(zhì)量m,擺的質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸的距離l,擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,滑塊的質(zhì)M,滑塊與滾軸的摩擦阻力忽略不計(jì),滑塊受到水平的控制力Q.設(shè)擺桿偏離豎直向上的角度為θ,滑塊的水平位移為x.

圖1 倒立擺模型Fig.1 Model of an inverted pendulum

(1)

其中,qj為廣義坐標(biāo),T,V,D和Fqj分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能和廣義力.圖1的倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)二自由度系統(tǒng),我們考慮的廣義坐標(biāo)是小車的位移x和擺角θ.注意到:

于是有:

(2)

將(2)式代入(1)中,得倒立擺的運(yùn)動(dòng)方程為:

(3)

(4)

在θ=0處進(jìn)行線性化和無量綱化,得到關(guān)于擺角θ滿足的二階微分方程:

(5)

采用等時(shí)長(zhǎng)的采樣,采樣周期Δt=ti-ti-1,利用零階采樣保持,具有輸入時(shí)滯的采樣PD反饋控制可表示為:

(6)

其中,t∈[ti,ti+1),ti-m=ti-mΔt,m∈Z+,kp和kd分別表示位移反饋增益和速度反饋增益.

下面考慮受控倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性,將(6)式代入(5)式中,得到如下分段線性微分-差分方程:

t∈[ti,ti+1)

(7)

kdy2(ti-m)

其中,t∈[ti,ti+1).再令Y=[y1y2]T,得到受控倒立擺的狀態(tài)方程:

(8)

在區(qū)間t∈[ti,ti+1)使用常數(shù)變易法,得到:

令s=t-τ,有:

將t=ti+1代入上式可以得到采樣點(diǎn)之間的關(guān)系式:

(9)

由于|A|=-Ω2≠0,從而(9)式右端項(xiàng)可寫為:

(10)

為了計(jì)算eAΔt,首先求矩陣AΔt特征值:

進(jìn)而可得:

將上述結(jié)果代入(10),得:

y1(ti+1)=a11y1(ti)+a12y2(ti)+

b11y1(ti-m)+b12y2(ti-m)

y2(ti+1)=a21y1(ti)+a22y2(ti)+

b21y1(ti-m)+b22y2(ti-m)

(11)

其中各系數(shù)分別為:

進(jìn)一步,令:

[z1(ti),…,zm+1(ti),zm+2(ti),…,z2m+2(ti)]T

=[y1(ti),…,y1(ti-m),y2(ti),…,y2(ti-m)]T

=Z(ti)

方程(11)可改寫成:

Z(ti+1)=GZ(ti)

(12)

其中,

2 穩(wěn)定性分析

在滿足采樣定理?xiàng)l件下,受控倒立擺系統(tǒng)(7)的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是差分方程(12)中的系數(shù)矩陣G的所有特征值的復(fù)數(shù)模小于1.下面首先求出矩陣G的特征函數(shù),然后討論對(duì)哪些反饋增益值,其所有零點(diǎn)的模均小于1.

2.1 增益平面的穩(wěn)定性區(qū)域

求矩陣λI-G的行列式的值,將其按第2列和第m+3列進(jìn)行展開,可得矩陣G的特征函數(shù):

|λI-G|=λ2m+2-β1λ2m+1+β2λ2m-β3λm+1+β4λm+β5

(13)

其中,

β1=a11+a22,β2=a11a22-a12a22,

β3=b11+b22,β4=a11b22+b11a22-a21b12-a12b21,

β5=b11b22-b21b12.

由于|W|=0,所以有:

β5=|A-1(eAΔt-I)W|=0

因而(13)式可化簡(jiǎn)為|λI-G|=λmpG(λ),其中:

pG(λ)=λm+2-β1λm+1+β2λm-β3λ+β4

(14)

其中的系數(shù)可進(jìn)一步表示為:

=eλ1+λ2=e-2ξΩΔt

方程(12)的穩(wěn)定性由多項(xiàng)式pG(λ)的零點(diǎn)分布完全確定,進(jìn)而得到在增益平面上的穩(wěn)定性區(qū)域.

為此考察臨界穩(wěn)定性條件,將λ=±1代入(14)式,得:

因?yàn)棣?λ2=-Ω2Δ2t≠0, 所以由pG(±1)=0推出kp=Ω2,此為臨界曲線一支.將λ=eiω=cosω+isinω,ω∈(0,π),代入(14)式,分離pG(eiω)的實(shí)部與虛部得到:

rp(ω,kp,kd) =R(pG(eiω))

=cos((m+2)ω)-β1cos((m+1)ω)+

β2cos(mω)-β3cosω+β4

ip(ω,kp,kd) =I(pG(eiω))

=sin((m+2)ω)-β1sin((m+1)ω)+

β2sin(mω)-β3sinω

再由關(guān)于增益的線性方程組:

(15)

求出(kp,kd)關(guān)于ω的參數(shù)方程,在參數(shù)平面上確定臨界曲線的另一支.穩(wěn)定性區(qū)域的邊界曲線由臨界曲線組成.臨界曲線將平面區(qū)域劃分成多個(gè)連通子區(qū)域,在每一個(gè)連通子區(qū)域內(nèi),模小于(或大于)1的特征值的個(gè)數(shù)是相同的,所以,在連通子區(qū)域中任意選取一組增益值對(duì)應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可確定系統(tǒng)在整個(gè)子區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定性.

2.2 采樣周期對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域影響

下列算例中,取ξ=0.1,Ω=1,此時(shí)kp=Ω2=1是臨界曲線之一.取固定的時(shí)滯量mΔt=0.1,不同的采樣周期Δt=0.01,0.02,0.05,0.1,即所對(duì)應(yīng)的m=10,5,2,1.下面分別對(duì)這4種情況進(jìn)行討論.

(1)當(dāng)Δt=0.01,m=10時(shí),pG(λ)=0化為:

λ12-0.1998×10λ11+0.9980λ10+

(0.4997×10-4kp+0.9990×10-2kd)λ-

0.9990×10-2kd+0.4993×10-4kp=0

(16)

將λ=cosω+isinω代入(16)式,從中可以求得kp,kd關(guān)于ω的參數(shù)方程.令ω取遍[0,π),即得到臨界曲線,如圖2所示.在所圍成的封閉區(qū)域中,取一組參數(shù)值(kp,kd)=(30,8),方程(16)的所有復(fù)根如表1所示,這12個(gè)根的模均小于1,所以系統(tǒng)在臨界曲線與臨界直線kp=Ω2=1所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

圖2 采樣周期對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響,其中τ=0.1Fig.2 Effect of sampling period on the stability region where the delay value is fixed,τ=0.1

root λmodule |λ|0.94170.9417-0.73500.73500.9759±0.9350×10-1i0.98040.6092±0.5318i0.80870.1844±0.7462i0.7686-0.2660±0.6995i0.7484-0.6078±0.4188i0.7381

(2)當(dāng)Δt=0.02,m=5時(shí),pG(λ)=0化為:

λ7-0.1996×10-1λ6+0.9960×10-1λ5+

(0.1997×10-3kp+0.1996×10-2kd)λ-

0.1996×10-1kd+0.1995×10-3kp=0

(17)

與(1)的方法相同,可畫出臨界曲線,如圖2所示.在所圍成的封閉區(qū)域中,取一組參數(shù)值(kp,kd)=(30,8),方程(17)的所有復(fù)根(7個(gè)根)的模均小于1,所以系統(tǒng)在臨界曲線與臨界直線kp=1所圍的封閉區(qū)域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

(3)當(dāng)Δt=0.05,m=2時(shí),pG(λ)=0化為:

λ4-0.1993×10λ3+0.9900λ2+

(0.1246×10-2kp+0.4977×10-1kd)λ-

0.4977×10-1kd+0.1242×10-2kp=0

(18)

其臨界曲線如圖2所示.在所圍成的封閉區(qū)域中取一組參數(shù)值(kp,kd)=(20,8),方程(18)的所有復(fù)根的模均小于1,所以系統(tǒng)在臨界曲線與臨界直線kp=1所圍的封閉區(qū)域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

(4)當(dāng)Δt=0.1,m=1時(shí),pG(λ)=0化為:

λ3-0.1990×10λ2+(0.9802+0.4971×10-2kp+

0.9917×10-1kd)λ-0.9917×10-1kd+

0.4938×10-2kp=0

(19)

其臨界曲線如圖2所示.在所圍成的封閉區(qū)域中,取一組參數(shù)值(kp,kd)=(10,6),方程(19)的所有復(fù)根的模均小于1,所以系統(tǒng)在臨界曲線與臨界直線kp=1所圍的封閉區(qū)域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

由圖2可以看出,對(duì)于固定時(shí)滯量的系統(tǒng)(7),采樣頻率越高(采樣周期越短),其穩(wěn)定性區(qū)域越大.其原因可能是采樣頻率越高,采樣器在單位時(shí)間內(nèi)獲取系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)信息就越多[18],其更有利于控制系統(tǒng)穩(wěn)定.

2.3 時(shí)滯量對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域影響

選取固定的采樣周期Δt=0.01,不同的時(shí)滯量τ=mΔt=0.1,0.11,0.12,0.13,即對(duì)應(yīng)的m=10,11,12,13.其中m=10,已在前一節(jié)討論過,對(duì)于m=11,12,13,使用同樣的分析方法可以得到漸近穩(wěn)定區(qū)域,其結(jié)果如圖3所示.

圖3 時(shí)滯量對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響,其中Δt=0.01Fig.3 Influence of time delay on stable region with sampling period where Δt=0.01

由圖3可以看出,對(duì)于固定采樣周期的系統(tǒng)(7),穩(wěn)定性區(qū)域的大小對(duì)時(shí)滯量的變化非常敏感:時(shí)滯量的小改變,會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定性區(qū)域的大變化.

3 最優(yōu)反饋增益

令向量e(k)=Z*-Z(tk)表示迭代公式(12)的第k步的狀態(tài)誤差,其中Z*=0是唯一的平衡點(diǎn),Z(tk)表示第k步迭代結(jié)果.以e(0)=Z0為初始狀態(tài),則狀態(tài)誤差滿足e(k+1)=Ge(k),進(jìn)而有e(k)=Gke(0),上式兩邊取范數(shù)得:

||e(k)||≤||Gk||·||e(0)||=(||Gk||1/k)k·||e(0)||

故||Gk||1/k的大小決定狀態(tài)誤差e(k)收斂到零向量的速度, ||Gk||1/k越小,收斂速度越快.由于:

其中,ρ(G)是矩陣G的譜半徑,其值等于矩陣G的所有特征值的復(fù)數(shù)模最大值.當(dāng)ρ(G)<1時(shí),迭代格式收斂,ρ(G)越小,收斂速度越快.

3.1 計(jì)算方法

以2.2(1)的討論為例,取m=10,Δt=0.01.令λ=reiω代入(18)式中,得:

pG(λ)=r12e12iω-1.998r11e11iω+0.9980r10e10iω+

(0.4997×10-4kp+0.9990×10-2kd)reiω-

0.9990×10-2kd+0.499×10-4kp

(20)

當(dāng)ω=0時(shí),即λ=r,由pG(r)=0求得臨界曲線中的一條直線l1,再根據(jù)隱函數(shù)定理,其斜率為:

(21)

當(dāng)ω∈(0,π)時(shí),由pG(reiω)=0得到參數(shù)方程:

kp(ω)=H1(r,ω)

kd(ω)=H2(r,ω)

(22)

上述參數(shù)方程表示臨界曲線中的另外一支曲線l2.由pG(λ)的連續(xù)性知:

故l1與l2在ω=0處相交,并且相切情形發(fā)生在ω=0處.不難算出曲線l2在ω→0時(shí)的斜率:

(23)

曲線l1與l2發(fā)生相切時(shí),即:

S1(r)=S2(r)

(24)

可解得r(0

如圖4所示,在 遞減的過程中,分別取r=0.99,0.98,0.97,0.946,臨界曲線所圍的封閉區(qū)域越來越小,直至r=0.946時(shí)穩(wěn)定性區(qū)域幾乎為空集,區(qū)域內(nèi)部的增益值對(duì)應(yīng)的譜半徑都比0.946要小,對(duì)應(yīng)于(16)的所有特征根的模均小于0.946.

圖4 譜半徑與穩(wěn)定性區(qū)域(m=10,Δt=0.01)Fig.4 Plot of spectral radius and stability regions(m=10,Δt=0.01)

將r*=0.9451代入(22)中,并令ω→0,得:

(25)

將上述增益代入(16)中,求出特征函數(shù)的零點(diǎn),所有零點(diǎn)均在以r*為半徑的圓內(nèi),此時(shí)ρ(G)=r*.

3.2 采樣周期對(duì)最快收斂速度的影響

固定時(shí)滯量τ=mΔt=0.1,考察采樣周期為Δt=0.02,0.05,0.1 時(shí)的最快收斂速度.

由特征函數(shù)及(21)～(25)式可以求出各系統(tǒng)參數(shù)下的最小譜半徑和最優(yōu)增益.表2給出4種不同采樣周期下最優(yōu)增益及最快收斂速度的關(guān)系,從中可以看出,隨著m減小,即采樣周期增大,最優(yōu)增益中的速度增益和位移增益均減小,并且最小譜半徑也減小.在相同時(shí)間段τ=mΔt=0.1,系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)的速度由r*m決定,由表2最后一列可知,采樣周期越大,實(shí)際的最快收斂速度越慢.

表2 采樣周期對(duì)最優(yōu)增益及最快收斂速度的影響Table 2 Effect of sampling period on the optimal gain and the fastest convergence rate

3.3 時(shí)滯量對(duì)最快收斂速度的影響

時(shí)滯量對(duì)最快收斂速度有重要影響,以2.2節(jié)中的mΔt=0.1,0.11,0.12,0.13為例,根據(jù)3.2節(jié)的結(jié)果,取Δt=0.01,經(jīng)計(jì)算,得到時(shí)滯量與譜半徑的關(guān)系,如表3所示,采樣周期固定時(shí),隨著時(shí)滯量的增加,系統(tǒng)最快收斂速度將減小.

表3 時(shí)滯量對(duì)最優(yōu)增益及最快收斂速度的影響Table 3 Effect of time delay on the optimal gain and the fastest convergence rate

4 結(jié)論

采樣PD反饋控制作用下倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性受諸多因素的影響,如采樣周期、時(shí)滯量、反饋增益等.研究表明,一方面,采樣周期的減小可使反饋增益平面的穩(wěn)定性區(qū)域會(huì)增大、最快收斂速度得到提高.時(shí)滯影響了反饋控制的性能:時(shí)滯量越大,系統(tǒng)越難以控制,這極大地減小了穩(wěn)定性區(qū)域的大小,同時(shí)降低了最快收斂速度.另一方面,如果適當(dāng)增大采樣周期,即降低對(duì)采樣器性能的要求,雖然會(huì)使得穩(wěn)定性區(qū)域減小,最快收斂速度減小,但是,相應(yīng)的反饋增益可能會(huì)大大減小,即降低了對(duì)作動(dòng)器性能的要求.在實(shí)際應(yīng)用中,應(yīng)根據(jù)現(xiàn)實(shí)條件與需求來設(shè)計(jì)控制策略,合理地采用作動(dòng)器、采樣器以及控制指標(biāo)來設(shè)定相關(guān)參數(shù).